-1-Y

-1-Y 是一种 Worm 型序数记号。−1−Y 等价于 1 row Y。

定义

合法式

一个合法的 -1-Y 表达式是形如 $S=(s_1,s_2,\cdots ,s_n)$，且满足 $n,s_1,s_2,\cdots ,s_n\in \mathbb{\mathbb{N}},s_1=1$ 的序列（特别地，空序列 $()$ 是合法的 -1-Y 表达式）。

例：

• $(1,3,3)$ 是一个合法的 -1-Y 表达式
• $(\mathrm{\Omega },1,2)$ 不是一个合法的 -1-Y 表达式，因为 $\mathrm{\Omega }\notin \mathbb{\mathbb{N}}$
• $(1,9)$ 是一个合法的 -1-Y 表达式

结构

合法的 -1-Y 表达式可以分为零表达式、后继表达式、极限表达式，其定义如下：

• 零表达式：满足 $n=0$ 的表达式，即空序列 $()$
• 后继表达式：满足 $n>0$ 且 $s_n=1$ 的表达式，例如 $(1,3,1)$
• 极限表达式：满足 $n>0$ 且 $s_n>1$ 的表达式，例如 $(1,3,2)$

一个 -1-Y 的极限表达式由以下四个部分组成：

1. 末项（Last Term）
2. 坏部（Bad Part）
3. 坏根（Bad Root）
4. 好部（Good Part）

末项：对于最大下标为 $n$ 的 -1-Y 表达式 $S=(s_1,s_2,\cdots ,s_n)$，其末项 $L=s_n$，即 $S=(s_1,s_2,\cdots ,L)$

坏根：对于 $S=(s_1,s_2,\cdots ,s_n)|L=s_n$，令 $k=\max \{1\le k<n|s_k<s_n\}$，那么坏根定义为 $r=s_k$，即 $S=(s_1,s_2,\cdots ,r,\cdots ,L)$。通俗的说，是最靠右的小于末项的项。因为极限表达式满足 $L=s_n>1$ 且 $s_1=1$，所以坏根总是存在的。

坏部：对于 $S=(s_1,s_2,\cdots ,s_k,\cdots ,s_n)|L=s_n,r=s_k$，坏部定义为 $B=(s_{k+1},s_{k+1},\cdots ,s_n-1)$。通俗地说，是坏根（不含）到末项（含）的部分．坏部最短为 1 项。

好部：对于 $S=(s_1,s_2,\cdots ,s_k,\cdots ,s_n)|L=s_n,r=s_k$，好部定义为 $G=(s_1,s_2,\cdots ,s_{k-1})$，即 $S=(G,r,B)$。通俗地说，好部是坏部之前的部分。好部可以为空。

展开

对于一个合法的 -1-Y 表达式 $S=(s_1,s_2,\dots ,s_{n-1},s_n)$，其展开规则如下：

• 如果 $S$ 是零表达式，则 $S$ 代表序数 $0$
• 如果 $S$ 是后继表达式，则其前驱是 $S^{\prime }=(s_1,s_2,\dots ,s_{n-1})$
• 如果 $S$ 是极限表达式，则根据前文定义确定好部、坏部，得到 $S=(G,r,B)$，则其基本列的第 $m$ 项定义为 $S[m]=(G,r,\underset{m}{\underbrace{B,B,B,\cdots ,B}})$，其中 $m\in \mathbb{\mathbb{N}}$。或者说 $S$ 的展开式为 $(G,r,\underset{\omega }{\underbrace{B,B,B,\cdots }})$。

举例：

$S=(1,3,3,3)$

末项是标绿的 $3$，坏根是从右往左数第一个比 $3$ 小的数，也就是标红色的 $1$。

接下来，根据坏部的定义可以知道坏部是 $(3,3,3)$。

坏根之前的好部不用管，末项 -1：

$S=(1,3,3,2)$

复制坏部：

$S=(1,3,3,2,3,3,2,\cdots )$

我们就成功地展开了一个 -1-Y 表达式。

与 PrSS 的对应

合法 PrSS 表达式一定是一个合法 -1-Y 表达式，但合法 -1-Y 表达式不一定是合法 PrSS 表达式。两者的极限表达式不同。若将-1-Y中差大于 1 的相邻项之间被省略的连续的项补回去，那么它将变回 PrSS。我们有

$-1-\mathrm{Y}(1)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1)=1$

$-1-\mathrm{Y}(1,1)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,1)=2$

$-1-\mathrm{Y}(1,2)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2)=\omega$

$-1-\mathrm{Y}(1,2,1)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,1)=\omega +1$

$-1-\mathrm{Y}(1,2,1,2)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,1,2)=\omega \cdot 2$

$-1-\mathrm{Y}(1,2,2)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,2)={\omega }^2$

$-1-\mathrm{Y}(1,3)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3)={\omega }^{\omega }$

$-1-\mathrm{Y}(1,3,1)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,1)={\omega }^{\omega }+1$

$-1-\mathrm{Y}(1,3,1,1)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,1,1)={\omega }^{\omega }+2$

$-1-\mathrm{Y}(1,3,1,2)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,1,2)={\omega }^{\omega }+\omega$

$-1-\mathrm{Y}(1,3,1,2,1,2)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,1,2,1,2)={\omega }^{\omega }+\omega \cdot 2$

$-1-\mathrm{Y}(1,3,1,2,2)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,1,2,2)={\omega }^{\omega }+{\omega }^2$

$-1-\mathrm{Y}(1,3,1,3)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,1,2,3)={\omega }^{\omega }\cdot 2$

$-1-\mathrm{Y}(1,3,2)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,2)={\omega }^{\omega +1}$

$-1-\mathrm{Y}(1,3,2,1,3)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,2,1,2,3)={\omega }^{\omega +1}+{\omega }^{\omega }$

$-1-\mathrm{Y}(1,3,2,1,3,2)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,2,1,2,3,2)={\omega }^{\omega +1}\cdot 2$

$-1-\mathrm{Y}(1,3,2,2)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,2,2)={\omega }^{\omega +2}$

$-1-\mathrm{Y}(1,3,2,3)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,2,3)={\omega }^{\omega \cdot 2}$

$-1-\mathrm{Y}(1,3,2,3,2)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,2,3,2)={\omega }^{\omega \cdot 2+1}$

$-1-\mathrm{Y}(1,3,2,3,2,3)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,2,3,2,3)={\omega }^{\omega \cdot 3}$

$-1-\mathrm{Y}(1,3,2,3,2,3,2)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,2,3,2,3,2)={\omega }^{\omega \cdot 3+1}$

$-1-\mathrm{Y}(1,3,3)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,3)={\omega }^{{\omega }^2}$

$-1-\mathrm{Y}(1,3,3,2)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,3,2)={\omega }^{{\omega }^2+1}$

$-1-\mathrm{Y}(1,3,3,2,3)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,3,2,3)={\omega }^{{\omega }^2+\omega }$

$-1-\mathrm{Y}(1,3,3,2,3,2,3)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,3,2,3,2,3)={\omega }^{{\omega }^2+\omega \cdot 2}$

$-1-\mathrm{Y}(1,3,3,2,3,2,3,2)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,3,2,3,2,3,2)={\omega }^{{\omega }^2+\omega \cdot 2+1}$

$-1-\mathrm{Y}(1,3,3,2,3,3)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,3,2,3,3)={\omega }^{{\omega }^2\cdot 2}$

$-1-\mathrm{Y}(1,3,3,2,3,3,2)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,3,2,3,3,2)={\omega }^{{\omega }^2\cdot 2+1}$

$-1-\mathrm{Y}(1,3,3,2,3,3,2,3,3,2)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,3,2,3,3,2,3,3)={\omega }^{{\omega }^2\cdot 3+1}$

$-1-\mathrm{Y}(1,3,3,3)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,3,3)={\omega }^{{\omega }^3}$

$-1-\mathrm{Y}(1,4)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,4)={\omega }^{{\omega }^{\omega }}$

$-1-\mathrm{Y}(1,4,2)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,4,2)={\omega }^{{\omega }^{\omega }+1}$

$-1-\mathrm{Y}(1,4,2,3)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,4,2,3)={\omega }^{{\omega }^{\omega }+\omega }$

$-1-\mathrm{Y}(1,4,2,3,2,3)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,4,2,3,2,3)={\omega }^{{\omega }^{\omega }+\omega \cdot 2}$

$-1-\mathrm{Y}(1,4,2,3,3)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,4,2,3,3)={\omega }^{{\omega }^{\omega }+{\omega }^2}$

$-1-\mathrm{Y}(1,4,2,4)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,4,2,3,4)={\omega }^{{\omega }^{\omega }\cdot 2}$

$-1-\mathrm{Y}(1,4,2,4,2)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,4,2,3,4,2)={\omega }^{{\omega }^{\omega }\cdot 2+1}$

$-1-\mathrm{Y}(1,4,2,4,2,4,2)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,4,2,3,4)={\omega }^{{\omega }^{\omega }\cdot 3+1}$

$-1-\mathrm{Y}(1,4,3)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,4,3)={\omega }^{{\omega }^{\omega +1}}$

$-1-\mathrm{Y}(1,4,3,2)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,4,3,2)={\omega }^{{\omega }^{\omega +1}+1}$

$-1-\mathrm{Y}(1,4,3,2,3)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,4,3,2,3)={\omega }^{{\omega }^{\omega +1}+\omega }$

$-1-\mathrm{Y}(1,4,3,2,4)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,4,3,2,3,4)={\omega }^{{\omega }^{\omega +1}+{\omega }^{\omega }}$

$-1-\mathrm{Y}(1,4,3,2,4,2,4)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,4,3,2,3,4,2,3,4)={\omega }^{{\omega }^{\omega +1}+{\omega }^{\omega }\cdot 2}$

$-1-\mathrm{Y}(1,4,3,2,4,3)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,4,3,2,3,4,3)={\omega }^{{\omega }^{\omega +1}\cdot 2}$

$-1-\mathrm{Y}(1,4,3,2,4,3,2)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,4,3,2,3,4,3,2)={\omega }^{{\omega }^{\omega +1}\cdot 2+1}$

$-1-\mathrm{Y}(1,4,3,2,4,3,2,4,3,2)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,4,3,2,3,4,3,2,3,4,3,2)={\omega }^{{\omega }^{\omega +1}\cdot 3+1}$

$-1-\mathrm{Y}(1,4,3,3)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,4,3,3)={\omega }^{{\omega }^{\omega +2}}$

$-1-\mathrm{Y}(1,4,3,3,3)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,4,3,3,3)={\omega }^{{\omega }^{\omega +3}}$

$-1-\mathrm{Y}(1,4,3,4)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,4,3,4)={\omega }^{{\omega }^{\omega \cdot 2}}$

$-1-\mathrm{Y}(1,4,3,4,3)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,4,3,4,3)={\omega }^{{\omega }^{\omega \cdot 2+1}}$

$-1-\mathrm{Y}(1,4,3,4,3,4,3)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,4,3,4,3,4,3)={\omega }^{{\omega }^{\omega \cdot 3+1}}$

$-1-\mathrm{Y}(1,4,4)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,4,4)={\omega }^{{\omega }^{{\omega }^2}}$

$-1-\mathrm{Y}(1,4,4,4)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,4,4,4)={\omega }^{{\omega }^{{\omega }^3}}$

$-1-\mathrm{Y}(1,5)=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,4,5)={\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{\omega }}}$

由此可见，-1-Y的第二项每增加一，ω指数塔就增加一层。因此-1-Y的极限和PrSS相同，均为SCO，即

$-1-\mathrm{Y}(1,\omega )=\mathrm{P}\mathrm{r}\mathrm{S}\mathrm{S}(1,2,3,4,5,\cdots )={\epsilon }_0$

这就是 −1−Y 序列的极限，它与 PrSS 具有完全相同的序数结构。

拓展

超限 -1-Y

-1-Y 记号的拓展为超限 -1-Y。规则为：

结构

合法表达式的要求改为：满足 $n\in \mathbb{\mathbb{N}},s_1,s_2,\cdots ,s_n<\mathrm{\Omega },s_1=1$ 的序列。

极限表达式的定义改为：满足 $n>0$ 且 $s_n\ne 1$ 的表达式。末项、坏部、坏根、好部的定义同 -1-Y。

展开

对于一个合法的超限 -1-Y 表达式 $S=(s_1,s_2,\dots ,s_{n-1},s_n)$，其展开规则如下：

• 如果 $S$ 是零表达式，则 $S$ 代表序数 $0$
• 如果 $S$ 是后继表达式，则其前驱是 $S^{\prime }=(s_1,s_2,\dots ,s_{n-1})$
• 如果 $S$ 是不以极限序数结尾的极限表达式，则展开同 -1-Y
• 如果 $S$ 是以极限序数结尾的极限表达式，则其基本列的第 $m$ 项定义为 $S[m]=(s_1,s_2,\dots ,s_{n-1},s_n[m])$

举例：

$S=(1,{\omega }^{\omega },\omega +1)$

末项是标绿的 $\omega +1$，坏根是从右往左数第一个比 $\omega +1$ 小的数，也就是标红色的 $1$。

接下来，根据坏部的定义可以知道坏部是 $({\omega }^{\omega },\omega )$。

坏根之前的好部不用管，末项 -1：

$S=(1,{\omega }^{\omega },\omega )$

复制坏部：

$S=(1,{\omega }^{\omega },\omega ,{\omega }^{\omega },\omega ,\cdots )$

我们就成功地展开了一个超限 -1-Y 表达式。

强度

超限 -1-Y 的极限为 $\psi ({\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{\Omega }})$。

分析可参见词条超限(-1)-Y VS Veblen函数。