初等嵌入

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">

[1]

<mtable columnalign="left">

[2]

<mtr>

<mtd>

<mstyle mathvariant="bold" mathsize="1.2em">

<mtext>非平凡初等嵌入</mtext>

</mstyle>

</mtd>

</mtr>

[3]

<mtr>

<mtd>

<mrow>

<mtext>设</mtext>

<mi>M</mi>

<mo>,</mo>

<mi>N</mi>

<mtext>为传递类且满足 ZF⁻；映射</mtext>

<mi>j</mi>

<mo>:</mo>

<mi>M</mi>

<mo>→</mo>

<mi>N</mi>

<mtext>称为初等嵌入当且仅当</mtext>

</mrow>

<mrow>

<mo>∀</mo>

<mi>φ</mi>

<mo>(</mo>

<msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>

<mo>,</mo>

<mo>…</mo>

<mo>,</mo>

<msub><mi>x</mi><mi>n</mi></msub>

<mo>)</mo>

<mo>,</mo>

<mo>∀</mo>

<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>

<mo>,</mo>

<mo>…</mo>

<mo>,</mo>

<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>

<mo>∈</mo>

<mi>M</mi>

</mrow>

<mrow>

<mi>M</mi>

<mo>⊨</mo>

<mi>φ</mi>

<mo>[</mo>

<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>

<mo>,</mo>

<mo>…</mo>

<mo>,</mo>

<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>

          <mo>]</mo>

<mo>⇔</mo>

<mi>N</mi>

<mo>⊨</mo>

<mi>φ</mi>

<mo>[</mo>

<mi>j</mi>

<mo>(</mo>

<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>

<mo>)</mo>

<mo>,</mo>

<mo>…</mo>

<mo>,</mo>

<mi>j</mi>

<mo>(</mo>

<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>

<mo>)</mo>

          <mo>]</mo>

</mrow>

<mtext>；且称为</mtext>

<mstyle mathvariant="bold">

<mtext>非平凡</mtext>

</mstyle>

<mtext>当且仅当</mtext>

<mo>∃</mo>

<mi>x</mi>

<mo>∈</mo>

<mi>M</mi>

<mo>,</mo>

<mi>j</mi>

<mo>(</mo>

<mi>x</mi>

<mo>)</mo>

<mo>≠</mo>

<mi>x</mi>

<mo>.</mo>

</mtd>

</mtr>

<mtr><mtd><mspace height="0.6em"/></mtd></mtr>

[4]

<mtr>

<mtd>

<mstyle mathvariant="bold" mathsize="1.2em">

<mtext>临界点</mtext>

</mstyle>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mrow>

<mtext>对非平凡初等嵌入</mtext>

<mi>j</mi>

<mo>:</mo>

<mi>M</mi>

<mo>→</mo>

<mi>N</mi>

<mtext>，存在最小序数</mtext>

<mi>κ</mi>

<mtext>使得</mtext>

<mi>j</mi>

<mo>(</mo>

<mi>κ</mi>

<mo>)</mo>

<mo>≠</mo>

<mi>κ</mi>

<mo>，记</mtext>

<mtext>crit</mtext>

<mo>(</mo>

<mi>j</mi>

<mo>)</mo>

<mo>=</mo>

<mi>κ</mi>

<mo>.</mo>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr><mtd><mspace height="0.6em"/></mtd></mtr>

[5]

<mtr>

<mtd>

<mstyle mathvariant="bold" mathsize="1.2em">

<mtext>共尾性</mtext>

</mstyle>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mrow>

<mtext>嵌入</mtext>

<mi>j</mi>

<mo>:</mo>

<mi>M</mi>

<mo>→</mo>

<mi>N</mi>

<mtext>称为共尾，当且仅当</mtext>

<mo>∀</mo>

<mi>y</mi>

<mo>∈</mo>

<mi>N</mi>

<mo>,</mo>

<mo>∃</mo>

<mi>x</mi>

<mo>∈</mo>

<mi>M</mi>

<mo>,</mo>

<mi>y</mi>

<mo>∈</mo>

<mi>j</mi>

<mo>(</mo>

<mi>x</mi>

<mo>)</mo>

<mo>.</mo>

</mrow>

<mtext>若</mtext>

<mi>M</mi>

<mo>⊨</mo>

<mtext>ZF</mtext>

<mtext>且</mtext>

<mi>N</mi>

<mo>⊆</mo>

<mi>M</mi>

<mtext>，则任何初等嵌入都是共尾的</mtext>

<mo>.</mo>

</mtd>

</mtr>

<mtr><mtd><mspace height="0.6em"/></mtd></mtr>

[6]

<mtr>

<mtd>

<mstyle mathvariant="bold" mathsize="1.2em">

<mtext>一致性</mtext>

</mstyle>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

<mrow>

<mtext>在 ZFC 中不存在非平凡初等嵌入</mtext>

<mi>j</mi>

<mo>:</mo>

<mi>V</mi>

<mo>→</mo>

<mi>V</mi>

<mo>.</mo>

</mrow>

<mrow>

<mtext>更具体地（Kunen, 1971）：对任意序数</mtext>

<mi>λ</mi>

<mtext>，不存在非平凡初等嵌入</mtext>

<mi>j</mi>

<mo>:</mo>

<msub><mi>V</mi><mrow><mi>λ</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></msub>

<mo>→</mo>

<msub><mi>V</mi><mrow><mi>λ</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></msub>

<mtext>。</mtext>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</math>