基数：修订间差异

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2025年7月29日 (二) 15:49的版本

基数^[1]是一类特殊的序数。

定义

我们说两个集合 $A, B$ 等势，当且仅当在它们之间存在一个双射（一一对应），记为 $| A | = | B |$ 。

对于任意一个序数 $α$ 而言， $α$ 的势，记为 $| α |$ ，是与 $α$ 等势的最小序数，即

$| α | = \min {β \leq α | | α | = | β |}$

一个序数 $α$ 是基数，当且仅当 $α = | α |$ 。

基数上的序关系

基数的序被定义为如下形式

$| X | \leq | Y |$ ，如果存在一个单射自 $X$ 到 $Y$

我们同样可以定义严格序

$| X | < | Y |$ 表示 $| X | \leq | Y |$ 且 $| X | \neq | Y |$

例：

$| A | < | 𝔓 (A) | = | {\emptyset, {\emptyset}}^{A} |$

有限基数和无穷基数（超限基数）

$\forall n \in ω (n = | n |)$ ，这意味着所有的自然数 $n$ 都是一个基数。

从而，我们称呼一个集合 $X$ 的基数是有限的，当且仅当存在一个自然数 $n \in ℕ$ 使得 $| X | = | n | = n$

此时我们称呼 $X$ 是有 $n$ 个元素的。有限基数即全体自然数。

若一个基数不是有限的，则我们称它为无穷基数（超限基数）。

极限基数和后继基数

一个基数 $k$ 是一个后继基数，当且仅当存在一个基数 $λ$ ，使得 $k$ 是最小的大于 $λ$ 的基数，此时也称 $k$ 为 $λ$ 的基数后继。

一个基数 $k$ 是一个极限基数，当且仅当对于任意 $λ < k$ ， $λ$ 的基数后继也小于 $k$ 。

有以下定理：

若一个无穷序数是基数，我们便称之为阿列夫数；
$ℵ_{0} = ω = | ω |$ ， $ω$ 是第一个无穷基数；
$ℵ_{1} = ω_{1} = | ω_{1} |$ ， $ω_{1}$ 是第一个不可数基数。
第一个不可数的极限基数为 $ℵ_{ω}$

由此我们定义阿列夫数的递增序列

$ℵ_{0} = ω$
$ℵ_{α + 1} = ω_{α + 1} = ℵ_{α}$ 的基数后继
$ℵ_{γ} (γ 是非零极限序数) = ⋃ {ω_{α} | α < γ}$

我们称一个基数为 $ℵ_{0}$ 的无穷集合是可数的（countable），一个基数不为 $ℵ_{0}$ 的无穷集合是不可数的（uncountable）。

基数的运算

我们依赖集合的基本运算，来定义基数的运算。

对于两个基数 $a, b$ ，有两个基数分别为 $a, b$ 且互不相交的集合 $A, B$ ，有

$a + b = | A \cup B |$
$a \cdot b = | A \times B |$
$a^{b} = | A^{B} |$

其中 $A^{B}$ 表示全体从 $B$ 到 $A$ 的映射所构成的集合。

基数有以下的运算规律：

对于任意基数 $a, b, c$ ，有：

$a + b = b + a$ ;
$a \cdot b = b \cdot a$ ;
$a + (b + c) = (a + b) + c$ ;
$a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ ;
$(a \cdot b)^{c} = a^{c} \cdot b^{c}$ ;
$a^{b + c} = a^{c} \cdot a^{b}$ ;
$(a^{b})^{c} = a^{b \cdot c}$ ;
如果 $a \leq b$ ，那么 $a^{c} \leq b^{c}$ ;
如果 $0 < b \leq a$ ，那么 $c^{b} \leq c^{a}$ ;
$a^{0} = 1, 1^{b} = b$ ，若 c 非空， $0^{c} = 0$ .

基数有如下定理：

$ℵ_{α} \cdot ℵ_{α} = ℵ_{α}$ ，证明见证明。
$ℵ_{α} + ℵ_{β} = ℵ_{α} \cdot ℵ_{β} = \max {ℵ_{α}, ℵ_{β}}$

共尾度

对于一个良序集合 $(W, <)$ 而言，我们称序数 $α$ 为它的长度或者序型，记成 $α = o t (W, <)$ ，当且仅当它与 $(α, <)$ 同构。

设 $α$ 是一个非零极限序数， $α$ 的共尾度，记为 $c f (α)$ ，由以下等式定义：

$c f (α) = \min {o t (A, <) | A \subseteq α \land \forall β (β < α \to \exists γ (γ \in A \land β < γ))}$

即， $c f (α)$ 是 $α$ 的最短的无界子集的长度。

设 $α \geq γ \geq ω$ 为两个极限序数，那么以下三个命题等价：

$γ = c f (α)$
存在从 $γ$ 到 $α$ 的无界单增映射，并且对于任何一个 $η < γ$ ，任意一个从 $η$ 到 $α$ 上的映射一定在 $α$ 中有界
$γ$ 为最小的序数 $β$ ，使得存在一个严格递增的长度为 $β$ 的序数序列 $⟨ α_{ξ} : ξ < β ⟩$ ， $\lim_{ξ \to β} α_{ξ} = α$

显然，共尾度是一个极限序数且当 $α$ 为极限序数时它的共尾度是正则的。

一个基数是正则的当且仅当它的共尾度为自身。一个基数是奇异的当且仅当它不是正则的。

有如下定理：

所有后继基数都是正则基数。
所有奇异基数都是极限基数。

参考资料

↑ 冯琦. 集合论导引[M]. 北京: 科学出版社, 2019.

[1] 冯琦. 集合论导引[M]. 北京: 科学出版社, 2019.

[1]

@@ 第82行： / 第82行： @@
 基数有如下定理：
-* <math>\aleph_{\alpha} \cdot \aleph_{\alpha} = \aleph_{\alpha}</math>
+* <math>\aleph_{\alpha} \cdot \aleph_{\alpha} = \aleph_{\alpha}</math>，证明见[[证明]]。
-* <math>\aleph_{\alpha}+\aleph_{\beta}=\aleph_{\alpha}\cdot \aleph_{\beta} = max\{\aleph_{\alpha},\aleph_{\beta}\}</math>
+* <math>\aleph_{\alpha}+\aleph_{\beta}=\aleph_{\alpha}\cdot \aleph_{\beta} = \max\{\aleph_{\alpha},\aleph_{\beta}\}</math>
 ==== 共尾度 ====
@@ 第90行： / 第90行： @@
 设 <math>\alpha</math> 是一个非零[[序数#极限序数|极限序数]]，<math>\alpha</math> 的'''共尾度'''，记为 <math>\mathrm{cf}(\alpha)</math>，由以下等式定义：
-* <math>\mathrm{cf}(\alpha)=min\{ot(A,<)|A\subseteq \alpha \and \forall \beta(\beta < \alpha \rightarrow \exist \gamma(\gamma \in A\and \beta < \gamma))\}</math>
+* <math>\mathrm{cf}(\alpha)=\min\{ot(A,<)|A\subseteq \alpha \and \forall \beta(\beta < \alpha \rightarrow \exist \gamma(\gamma \in A\and \beta < \gamma))\}</math>
 即，<math>\mathrm{cf}(\alpha)</math> 是 <math>\alpha</math> 的最短的无界子集的长度。
@@ 第106行： / 第106行： @@
 * 所有后继基数都是正则基数。
 * 所有奇异基数都是极限基数。
-==== 定理 <math>\aleph_\alpha\times\aleph_\alpha=\aleph_\alpha</math> 的证明 ====
-证明：我们如下定义 <math>\mathrm{Ord}^2</math> 上的良序：
-<math display=block>
-\begin{aligned}
-(\alpha,\beta)<(\gamma,\delta)\iff{}&\max\{\alpha,\beta\}<\max\{\gamma,\delta\}\\
-&\lor(\max\{\alpha,\beta\}=\max\{\gamma,\delta\}\land \alpha<\gamma)\\
-&\lor(\max\{\alpha,\beta\}=\max\{\gamma,\delta\}\land\alpha=\gamma\land\beta<\delta)\\
-\end{aligned}
-</math>
-可以证明，这个序是一个良序。
-我们令 <math>\Gamma(\alpha,\beta)</math> 表示集合 <math>\{(\gamma,\delta)\in\mathrm{Ord}^2\mid(\gamma,\delta)<(\alpha,\beta)\}</math> 的序型。可以证明，<math>\Gamma:\mathrm{Ord}^2\to\mathrm{Ord}</math> 保序且一对一。
-下面用 <math>\Gamma[\alpha\times\beta]</math> 表示 <math>\{\Gamma(\gamma,\delta)\mid(\gamma,\delta)\in\alpha\times\beta\}</math>，即集合 <math>\alpha\times\beta</math> 在 <math>\Gamma</math> 下的像集。
-注意到 <math>\Gamma[\omega_\alpha\times\omega_\alpha]=\Gamma(0,\omega_\alpha)\ge\omega_\alpha</math>，以及 <math>\mathrm\Gamma[\omega\times\omega]=\omega</math>（取对角线计数）。
-我们要证 <math>\aleph_\alpha\times\aleph_\alpha=\aleph_\alpha</math>，只需证 <math>\Gamma[\omega_\alpha\times\omega_\alpha]=\omega_\alpha</math>。
-使用反证法。令 <math>\alpha</math> 是使得 <math>\omega_\alpha<\Gamma[\omega_\alpha\times\omega_\alpha]</math> 的最小序数，则存在 <math>\beta,\gamma<\omega_\alpha</math> 使得 <math>\Gamma(\beta,\gamma)=\omega_\alpha</math>。
-那么我们取 <math>\delta</math> 满足 <math>\max\{\beta,\gamma\}<\delta<\omega_\alpha</math>，则 <math>\omega_\alpha=\Gamma(\beta,\gamma)\in\Gamma[\delta\times\delta]</math>。
-取上式两侧的基数，得到 <math>\aleph_\alpha<|\delta\times\delta|</math>。
-因为 <math>\delta>\max\{\beta,\gamma\}\ge\omega</math>，所以可设 <math>\delta</math> 的基数为 <math>\aleph_\xi</math>，其中 <math>\xi<\alpha</math>。
-我们刚才设 <math>\alpha</math> 是使得 <math>\omega_\alpha<\Gamma(\omega_\alpha\times\omega_\alpha)</math> 的最小序数，所以 <math>\omega_\xi=\Gamma[\omega_\xi\times\omega_\xi]</math>，即 <math>\aleph_\xi=\aleph_\xi\times\aleph_\xi</math>。
-所以 <math>|\delta\times\delta|=|\delta|\times|\delta|=\aleph_\xi\times\aleph_\xi=\aleph_\xi<\aleph_\alpha</math>，矛盾。
-因此，对任意序数 <math>\alpha</math>，都有 <math>\aleph_\alpha\times\aleph_\alpha=\aleph_\alpha</math>。
 ==== 参考资料 ====