Catching 函数

Catching 函数，是由 HypCos 创造的序数记号，用以记录 FGH 和 SGH 的追平点。

定义

将 $C(\alpha )$ 用于表示这个函数，其定义如下：

• 当 $\alpha =0$ 时：$C(0)$ 是第一个序数 $\beta$，使得 $g_{\beta (n)}$ 与 $f_{\beta (n)}$ 可比；
• 当 $\alpha$ 为后继序数时（即 $\alpha =\gamma +1$）：$C(\alpha +1)$ 是 $C(\alpha )$ 之后下一个满足 $g_{\beta (n)}$ 与 $f_{\beta (n)}$ 可比的序数 $\beta$；
• 当 $\alpha$ 为极限序数时（即 $\alpha =L$）：$C(\alpha )[n]=C(\alpha [n])$（其中 $\alpha [n]$ 表示 $\alpha$ 的基本列第 $n$ 项）。

此外，$C(\alpha )$ 是最小的序数 $\beta$，使得 $g_{\beta (n)}$ 与 $f_{\beta (n)}$ 可比，且对于所有 $\gamma <\alpha$，$\beta$ 都大于 $C(\gamma )$。

"可比"是一个模糊的术语，但此处可理解为：$f_{\beta (n)}$ 与$g_{\beta (n)}$ 可比当且仅当存在某个 $k$，使得对任意 $n$ 都有 $g_{\beta (n+k)}>f_{\beta (n)}$D。

现在，使用第一个不可数序数 Ω 作为 C() 中的对角化器。想象一下：当我们遇到一个 Ω 并需要处理它时，首先找到最近的 C() 结构，然后复制该 C() 内部的内容（但不包括这个 Ω 本身）n 次，每次都将复制的内容插入到原本 Ω 的位置。换句话说，C(#Ω@) 等于嵌套 n 层的 C(#C(...C(#0@)...@)@)，其中 @ 位置不包含任何序数（即仅保留结构占位）。

我们知道，一个 Catching 序数必定形如 $\psi (\alpha )$。也就是说，它是满足 $\beta \to {\omega }^{\beta }$ 的固定点。而一个基数 $\alpha$ 可以作为 ${\psi }_{\alpha }()$ 中的对角化参数。在常规记法中，${\psi }_{{\mathrm{\Omega }}_{1+k}}()$ 对于正整数 $k$ 也可写作 ${\psi }_k()$，而 ${\psi }_{\mathrm{\Omega }}()$ 也可简写为 $\psi ()$。自然地，一个更强的 Catching 层次结构应运而生。

• $C_{\pi }(0)={\psi }_{\pi }({\mathrm{\Omega }}_{\omega })$
• 若 $C_{\pi }(\alpha )={\psi }_{\pi }(\beta )$，则$C_{\pi }(\alpha +1)={\psi }_{\pi }(\gamma )$，其中 $\psi (\gamma )$ 是满足 $g_{\psi (\gamma )}(n)$ 与 $f_{\psi (\gamma )}(n)$ 可比较的最小序数，且 $\gamma >\beta$，同时 ${\psi }_{\pi }(\beta )$ 和 ${\psi }_{\pi }(\gamma )$ 均为完全简化的。
• 对于极限序数 $\alpha$，$C_{\pi }(\alpha )[n]=C_{\pi }(\alpha [n])$
• $\pi$ 是 $C_{\pi }()$ 函数的对角化参数

对于正整数 $k$，$C_{{\mathrm{\Omega }}_{1+k}}()$ 也可写作 $C_k()$，而 $C_{\mathrm{\Omega }}()$ 可简写为 $C()$。

- 什么是完全简化的？

- 记法 $\psi (\beta )$ 是完全简化的当且仅当 $\psi (\beta +1)>\psi (\beta )$。例如，$\psi ({\mathrm{\Omega }}_2)$ 是完全简化的，但$\psi ({\psi }_1({\mathrm{\Omega }}_2))$则不是，因为 $\psi ({\mathrm{\Omega }}_2+1)>\psi ({\mathrm{\Omega }}_2)=\psi ({\psi }_1({\mathrm{\Omega }}_2)+1)=\psi ({\psi }_1({\mathrm{\Omega }}_2))$。有时 $\psi$ 函数会增长，有时则保持不变，而完全简化记法处于增长部分或保持部分的末尾。

形式化定义

我们记 $\mathbf{𝐎}\mathbf{𝐫}\mathbf{𝐝}$ 为序数类；${\mathbf{𝐎}\mathbf{𝐫}\mathbf{𝐝}}_{\text{lim}}$ 为极限序数；$\alpha [n]$ 是极限序数 $\alpha$ 的基本列；称 ${\psi }_{\alpha }(\beta )$ 是完全简化的（Full-simplified），当且仅当 ${\psi }_{\alpha }(\beta +1)>{\psi }_{\alpha }(\beta )$。

$C(\alpha )=\mu \beta \in \mathbf{𝐎}\mathbf{𝐫}\mathbf{𝐝}\left(\begin{array}{r}(\alpha =0\Rightarrow \mathrm{\forall }n\mathrm{\exists }k\mathrm{\forall }m(g_{\beta }(m+k)>f_{\beta }(m)))\wedge \\ (\alpha =\gamma +1\Rightarrow \beta >C(\gamma )\wedge \mathrm{\forall }n\mathrm{\exists }k\mathrm{\forall }m(g_{\beta }(m+k)>f_{\beta }(m)))\wedge \\ (\alpha \in {\mathbf{𝐎}\mathbf{𝐫}\mathbf{𝐝}}_{\text{lim}}\Rightarrow \mathrm{\forall }n(\beta [n]=C(\alpha [n])))\wedge \\ \mathrm{\forall }\gamma <\alpha (\beta >C(\gamma ))\end{array}\right)$

$C_{\pi }(\alpha )=\mu \beta \in \mathbf{𝐎}\mathbf{𝐫}\mathbf{𝐝}\left(\begin{array}{r}(\alpha =0\Rightarrow \beta ={\psi }_{\pi }({\mathrm{\Omega }}_{\omega }))\wedge \\ (\alpha =\gamma +1\Rightarrow \mathrm{\exists }{\gamma }^{\prime }\in \mathbf{𝐎}\mathbf{𝐫}\mathbf{𝐝}(\beta ={\psi }_{\pi }({\gamma }^{\prime })\wedge C_{\pi }(\gamma )={\psi }_{\pi }({\beta }_{\gamma })\wedge {\gamma }^{\prime }>{\beta }_{\gamma }\wedge \begin{array}{r}\mathrm{\forall }n\mathrm{\exists }k\mathrm{\forall }m{g}_{\beta }(m+k)>f_{\beta }(m))\wedge \\ {\psi }_{\pi }({\beta }_{\gamma }),{\psi }_{\pi }({\gamma }^{\prime })\text{ is full-simplified}\end{array}))\wedge \\ (\alpha \in {\mathbf{𝐎}\mathbf{𝐫}\mathbf{𝐝}}_{\text{lim}}\Rightarrow \mathrm{\forall }n(\beta [n]=C(\alpha [n])))\wedge \\ \mathrm{\forall }\gamma <\alpha (\beta >C(\gamma ))\end{array}\right)$