模型

一个给定语言$\lambda$的模型是一个对$(A,I)$，其中$A$为全域/宇宙，$I$为$A$上的解释函数，负责把$\lambda$中的符号映射到A中合适的关系，函数，常元。通常我们将模型写为以下形式

$\alpha =(A,P^{\alpha },\cdots ,F^{\alpha },\cdots ,c^{\alpha })$

在中文语境中，语言的模型也被称为数学结构。

我们定义，一个数学结构$A$满足某个公式$\varphi (a,b,\cdots )$，

当且仅当$\varphi (a^A,b^B,\cdots )$在$A$中成立。

一个语句集$\mathrm{\Sigma }$的模型，是一个数学结构$A$，使得其满足这个语句集中的任意一条语句。

模型的同构

我们称两个模型$A=(\alpha ,P^A,\cdots ,F^A,\cdots ,c^A)$，$B=(\beta ,P^B,\cdots ,F^B,\cdots ,c^B)$是同构的，当且仅当存在一个$A$到$B$的一对一函数$f$使得以下四点成立：

• $P^A(x_1,x_2,x_3,\cdots )$当且仅当$P^B(f(x_1),f(x_2),f(x_3),\cdots )$($P$为某个$n$元关系且$P^A$映射到的对象是$P^B$)

• $f(F^A(x_1,x_2,x_3,\cdots ))=F^B(f(x_1),f(x_2),f(x_3),\cdots )$

• $f(c^A)=c^B$

• $A\models \varphi (a_1,a_2,\cdots )$当且仅当$B\models \varphi (f(a_1),f(a_2),\cdots )$
• 子模型
• 我们称一个模型A=（α，P^A，...F^A...c^a...）是模型B=（β，P^B，...F^B，...c^B...）的子模型，当且仅当α⊂β，P^A⊂P^B，F^A⊂F^B，c^B∈A且A在任意A上函数下封闭
• 一个从B到A的嵌入是一个B和A的子模型B_1之间的同构关系
• 一个A的子模型B是A的初等子模型，当且仅当，对于任何B中的元素（b1，b2，b3，...）
• B｜=φ（b1，b2，b3，...）当且仅当A｜=φ（b1，b2，b3，...）
• 两个模型是基本等价的 当且仅当它们满足同样的语句（无自由变量的命题）