BEAF

曾经最为重要的大数记号早早地止步于 ${\epsilon }_0$，并最终湮没于历史的长河之中，这不禁令人扼腕叹息。
------ 曹知秋

Bowers' Exploding Array Function（BEAF，鲍尔斯爆炸数组函数）是由乔纳森·鲍尔斯（Jonathan Bowers）发明的一种表示大数的符号系统。BEAF 类似于链式箭头符号，都是一种历史记号，但强度远超后者。

BEAF 是一个在大数历史上非常重要的数阵记号，它是单行线性数阵（Bowers' Array Notation）和扩展数阵记号（Extended Array Notation）的超集，两者均由Bowers发明。然而，对于四维数阵以上的符号系统，目前尚无统一认可的定义。因此，严格来说，四维数阵以上的 BEAF 是未明确定义的，而四维数阵及以下的 BEAF 则是定义明确的。

定义

以下是对 BEAF 工作原理的大致框架性描述。如前所述，对于原始 BEAF 在四维数阵之外的扩展，目前尚未达成共识的定义，因此这并非一个完整的定义。

一个 BEAF 表达式形如：

$\{b,p,c,d,e,\dots (n)\alpha ,\beta ,\gamma ,\dots (m)\dots \}$

其中$b,p,c,d,e,\alpha ,\beta ,\gamma$均为正整数，$n,m$是自然数（序列），$(n),(m)$分别表示n级分隔符与m级分隔符，特别地，0级分隔符 $(0)$ 是 ,（即逗号，用于分割数组中同一行内的每个项）。

我们定义如下概念：

• 底数（base）：数组的第一个元素，记为 $b$。
• 指数（prime）：数组的第二个元素，记为 $p$。
• 驾驶员（pilot）：指数之后第一个非 1 的元素，可能最早出现在第三个元素的位置。
• 副驾驶（copilot）：驾驶员左侧的第一个元素。若驾驶员是某行的第一个元素，则副驾驶不存在。
• 结构（structure）：数组中由低维组构成的部分。例如：一个数为0维结构，一行为1维结构，一个平面为2维结构，一个立方块为3维结构，...，以此类推。记为 $X^n$。
• 前结构（previous structures）
  • 前项（previous entry）：驾驶员之前、且与所有其他前项在同一行的元素。
  • 前行（previous row）：驾驶员所在行之前、且与所有其他前行在同一平面的行。
  • 前平面（previous plane）：驾驶员所在平面之前、且与所有其他前平面在同一立方块的平面。
  • ...
  • 这些统称为“前结构”，即若驾驶员处于X维结构中，那前结构为0维到X-1维的所有结构。
• 指数块（prime block）：
  • 对于自然数n，某 $n+1$ 维结构的指数块指的是该 $n+1$ 维结构的前 $p$ 个n维结构，若n维结构的个数少于 $p$，则使用由1填充的n维结构补充直到满足该条件。
  • 对于序列 $A=⟨a_1,a_2,a_3,\dots ,a_n⟩$，某 $A$ 维结构的指数块指的是$a_0+a_{1}p+a_2{p}^2+\cdots +a_n{p}^n$ 维结构；若序列 $A$ 内存在高级分隔符，则按BEAF定义展开。
• 飞机（airplane）：包含驾驶员、所有前项以及所有前结构的指数块。
• 乘客（passengers）：飞机中既非驾驶员也非副驾驶的元素。

规则

令$A$是一个 BEAF 表达式，其值计算有以下规则：

1. 主规则（Prime rule）：
   • 若 $p=1$，则 $A=b$.
2. 初始规则（Initial rule）：
   • 若不存在驾驶员，则 $A=b^p$.
3. 灾难性规则（Catastrophic rule）：若上述两条规则均不适用，则执行以下操作：
   • 驾驶员减 1；
   • 副驾驶变为 原数组中指数 $p$ 减 1 后的数组；
   • 所有乘客变为 $b$ ；
   • 数组其余部分保持不变。

线性数阵

BEAF中的单行线性数阵是几乎所有数阵记号的基础。上文已经介绍过其原版规则，这里不再赘述。 这里介绍一种改进的线性数阵。它将经典的线性数阵改成了容易分析增长率的一元函数，将每一项的默认值改成了0，且删除了对增长率提升没有帮助的操作。 一个合法的线性数阵表达式形如$F(x,a_1,a_2,\cdots ,a_n)$，其中，$x,n,a_i$均为非负整数。

我们用"#"表示任意序列，"Z"表示由若干个0组成的序列。

该线性数阵的展开规则如下：

1. (基础规则)只有一项时，有$F(x)=x+1$；
2. (后继规则)若第二项不为0，有$F(x,a+1,\mathrm{\#})=f^x(x)$，其中$f(x)=F(x,a,\mathrm{\#})$。例如：$F(3,1,4)=F(F(F(3,0,4),0,4),0,4)$；
3. (删尾规则)若末项为0，有$F(\mathrm{\#},0)=F(\mathrm{\#})$，例如：$F(2,1,0)=F(2,1)$。
4. (借位规则)否则，第二项为0且存在不为0的项。此时有$F(x,Z,0,a+1,\mathrm{\#})=F(x,Z,x,a,\mathrm{\#})$。例如：$F(2,0,2,5)=F(2,2,1,5)$。

下面用快速增长层级对改进的线性数阵进行增长率分析：

$F(x)=F(x,0)=x+1=f_0(x)$

$F(x,1)=F^x(x)\sim f_0^x(x)=f_1(x)$

$F(x,2)\sim f_1^x(x)=f_2(x)$

$F(x,n)\sim f_n(x)$

$F(x,0,1)=F(x,x)\sim f_x(x)=f_{\omega }(x)$

$F(x,1,1)=F(F(\cdots ,0,1),0,1)\sim f_{\omega +1}(x)$

$F(x,n,1)\sim f_{\omega +n}(x)$

$F(x,0,2)=F(x,x,1)\sim f_{\omega +x}(x)=f_{\omega \cdot 2}(x)$

$F(x,0,n)\sim f_{\omega \cdot n}(x)$

$F(x,0,0,1)=F(x,0,x)\sim f_{\omega x}(x)=f_{{\omega }^2}(x)$

$F(x,1,0,1)\sim f_{{\omega }^2+1}(x)$

$F(x,0,1,1)=F(x,x,0,1)\sim f_{{\omega }^2+x}(x)=f_{{\omega }^2+\omega }(x)$

$F(x,0,0,2)=F(x,0,x,1)\sim f_{{\omega }^2+\omega x}(x)=f_{{\omega }^{2}2}(x)$

$F(x,0,0,0,1)=F(x,0,0,x)\sim f_{{\omega }^{2}x}(x)=f_{{\omega }^3}(x)$

$F(x,0,0,0,0,1)\sim f_{{\omega }^4}(x)$

$F(x,\underset{n}{\underbrace{0,\cdots ,0}},1)\sim f_{{\omega }^n}(x)$

一般来说，单独的线性数阵的极限增长率为${\omega }^{\omega }$，但其强度会随"后继规则"的变化而变化。

例如，若把第二条规则改为$F(x,a+1,\mathrm{\#})=F(x+1,a,\mathrm{\#})$，则上述分析应该在哈代层级下进行，故极限函数的增长率相当于$H_{{\omega }^{\omega }}(x)\sim f_{\omega }(x)$。

对于上文中的记号，通过如下方法可以快速得到增长率：

1. 取出一个表达式$F(x,a_0,a_1,\cdots ,a_n)$；
2. 取出$a_0,a_1,\cdots ,a_n$的部分并反转，得到$a_n,\cdots ,a_1,a_0$；
3. $F(x,a_0,a_1,\cdots ,a_n)$的增长率即为${\omega }^n\times a_n+\cdots +{\omega }^1\times a_1+{\omega }^0\times a_0$。

举个例子：$F(x,0,1,1)$的增长率即为${\omega }^2\times 1+{\omega }^1\times 1+{\omega }^0\times 0$。

由于以上原因，(单行)线性数阵也被称为$\omega$进制数阵，因为${\omega }^n\times a_n+\cdots +{\omega }^1\times a_1+{\omega }^0\times a_0$类似于一个“$\omega$进制数”。

另外，表达式${\omega }^n\times a_n+\cdots +{\omega }^1\times a_1+{\omega }^0\times a_0$对于每个$a_i(i=0,1,\cdots ,n)$都是“线性”的，这也是线性数阵中“线性”一词的来源。

拓展

由于BEAF的知名度，其衍生出了十分多样的数阵记号。但大多数增长率超过${\epsilon }_0$的拓展记号是不良定义的。

带&的BEAF

定义$\mathrm{\&}$符号如下，它生成扩展数阵中的项和分隔符：

$1{\mathrm{\&}}^{n}a=a$，

$b\mathrm{\&}a=a,(b-1)\mathrm{\&}a$，

$b{\mathrm{\&}}^{k+1}a=b{\mathrm{\&}}^{k}a(k)(b-1){\mathrm{\&}}^{k+1}a$。

注：在大部分版本中，$\mathrm{\&}$的指标写在左上侧。此处写在右上侧是为了避免与$b^k$混淆。

注：有的地方认为形如$b\mathrm{\&}a$的表达式直接表达了一个(扩展)数阵$\{a,a,\cdots ,a\}$，实际上这是错误的。

对于扩展数阵$\{a_{01},a_{02},\cdots ,a_{0m_0}(x_1)a_{11},\cdots ,a_{1m_1}(x_2)\cdots (x_3)\cdots (x_n)a_{n1},a_{n2},\cdots ,a_{n{m}_n}\}$，其展开规则如下：

1. 如果扩展数阵只有$a_{01},a_{02}$两项，扩展数阵的值为$b^p$。
2. 如果指数为1，扩展数阵的值为$b$。
3. 如果某个$a_{k{m}_k}=1$，扩展数阵的值相当于删掉$a_{k{m}_k}$后得到的扩展数阵的值。
4. 如果某个$m_k=0$，而且$k=n$或$x_k<x_{k+1}$，那么扩展数阵的值相当于删掉$(x_k)$后得到的扩展数阵的值。
5. 如果扩展数阵中没有分隔符，按数阵记号的规则展开。
6. 如果以上规则均不适用：此时扩展数阵形如$\{a,b(x_1)(x_2)(x_3)\cdots (x_n)b_1,b_2,\cdots ,b_t\mathrm{\#}\}$，满足$x_1\ge x_2\ge \cdots \ge x_n$，$b_1=b_2=\cdots =b_{t-1}=1$。
   1. 如果$t=1$，其展开为$\{b{\mathrm{\&}}^{x_1}a(x_1)b{\mathrm{\&}}^{x_2}a(x_2)b{\mathrm{\&}}^{x_3}a(x_3)\cdots b{\mathrm{\&}}^{x_n}a(x_n)b_1-1\mathrm{\#}\}$。
   2. 如果$t>1$，其展开为$\{b{\mathrm{\&}}^{x_1}a(x_1)b{\mathrm{\&}}^{x_2}a(x_2)b{\mathrm{\&}}^{x_3}a(x_3)\cdots b{\mathrm{\&}}^{x_n}a(x_n)a,a,\cdots ,a,\{a,b-1(x_1)(x_2)(x_3)\cdots (x_n)b_1,b_2,\cdots ,b_t\mathrm{\#}\},b_t-1\mathrm{\#}\}$。

类似于数阵记号，“乘客”的定义可以如下理解：

分隔符$(k)$给出了一个尺寸为$p^k$的“块”(类似于$\mathrm{\&}$符号的结构)，“乘客”则是驾驶员左侧的所有这样的块(不完整的用1补齐)去掉副驾驶员。于是上述展开规则5.和6.可以写为：

1. 复制一个这个扩展数阵的副本，并将副本中指数的值减1。
2. 将原本扩展数阵的驾驶员减1，全体乘客替换为底数。
3. 如果副驾驶存在，将副驾驶换为之前得到的扩展数阵副本。

-gions表示法

-gions表示法是基于$\mathrm{\&}$符号的一类表示法，分为如下表示：

• Legions（分隔符为L1）
• Lugions（分隔符为L2）
• Lagions（分隔符为L3）
• Ligions （分隔符为L4）
• ...

枚举

BEAF及其-gions表示法的枚举详见HypCos的分析Analysis - BEAF, FGH and SGH, (Part1) (Part2) (Part3)。

历史

数阵记号对整个大数领域的影响是重要的，其思想至今仍然可以在许多记号之中找到痕迹，而BEAF则是早期最为重要的数阵型记号。

在更强大的Array型记号（如BAN、SAN）与Worm型记号发明之前，由于其简洁性和极快的增长速度，BEAF 在 Googology 中颇具名气，更不用说那些用该函数定义的充满奇思妙想的命名数（如 golapulus 和传奇的 meameamealokkapoowa oompa——这是Bowers定义的最大数之一）。尽管克里斯·伯德（Chris Bird）和约翰·斯宾塞（John Spencer，Bowers的朋友）协助构建了 BEAF，但通常认为该函数完全由Bowers独立创造。

萨比斯·赛比安（Sbiis Saibian）指出，是否存在一种完全符合Bowers规则的符号系统，是大数研究领域的一个未解决问题。尽管他仅直接提到五维数阵，但这一问题可能也适用于 BEAF 的其他层级。

由于非四元 BEAF 是非形式化的，并且对其形式化仍然是 Googology 中的一个重要开放问题，因此四元以上的 BEAF 的可计算性在数学上没有意义。