超初等序列

超初等序列(Hyper Primitive Sequence System, HPrSS)，是一种Worm型序数记号，它是PrSS的一种扩展。

定义

合法表达式

一个合法的 HPrSS 表达式是以 1 开头的正整数序列，即形如

$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)(n,a_1,a_2,\cdots ,a_n\in \mathbb{\mathbb{N}},a_1=1)$

的序列。

例如：$(1,4,6,4)$和$(1,1,4,5,1,4)$都是合法的 HPrSS 表达式，而$(1,2,\pi )$不是。

结构

HPrSS的合法式可分为零表达式、后继表达式和极限表达式。

• 零表达式指$n=0$的表达式，即空序列；
• 后继表达式指$n>0,a_n=1$的表达式，即末项为1的非空序列；
• 极限表达式指$n>0,a_n>1$的表达式，末项不为1的非空序列。

对于 HPrSS 的一个极限表达式$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$，定义以下术语：

父项

对于$m\in \{1,2,\cdots ,n\}$，记$p_m=\max \{1\le p_m<m\mid a_{p_m}<a_m\}$，若这样的$p_m$存在，则称$a_{p_m}$为$a_m$的父项。

如果这样的$p_m$不存在，我们也可以把$a_m$的父项定义为一个虚构的“第0项”，其值为$a_0=0$。

通俗的说，$a_m$的父项是在$a_m$左边、最靠右的、且小于$a_m$的项。

例如，在$(1,3,5,4,1,3)$中，4的父项是第一个3，而第二个1没有父项。

祖先

对于$m\in \{1,2,\cdots ,n\}$，记$m_0=m$，$m_{i+1}=p_{m_i}$，$P_m=\{m_i\mid i\ge 0\}$我们将$a_m$的祖先定义为所有$a_p(p\in P_m)$。

通俗地说，某一项的祖先是它本身、它的父项、父项的父项、父项的父项的父项……中的某一项。

例如，$(1,4,6,7,6,7)$中，末项7的祖先是所有红色的项。

阶差

对于$m\in \{1,2,\cdots ,n\}$，若$a_m$的父项是$a_{p_m}$，则定义$a_m$的阶差为$d_m=a_m-a_{p_m}$;若没有父项，则定义$a_m$的阶差为$d_m=a_m$。

由父项的定义可知，阶差一定是正整数。

阶差序列

设$a_m$的阶差为$d_m$，我们把$(d_1,d_2,\cdots ,d_n)$称为$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$的阶差序列。

坏根

给定极限表达式$(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$，其末项的阶差为$d_n$。我们记序列的坏根为$a_r$，其中$r$定义如下：

• 若$d_n=1$，则$r=p_n$，即序列的坏根定义末项的父项；

• 若$d_n\ge 1$，则$r=\max \{k\in P_n|d_k<d_n\}$。通俗地说，序列的坏根为末项的祖先中，最靠右的，且阶差小于末项阶差的项。

序列的阶差

序列的阶差定义为$\delta =a_n-a_r-1$，这一点和 LPrSS 一致。

坏部&好部

坏部、好部的定义和 PrSS 一致：坏部$B=(a_r,a_{r+1},\cdots ,a_{n-1})$，好部$G=(a_1,a_2,\cdots ,a_{r-1})$。

展开

对于一个合法的 HPrSS 表达式$S=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$，其展开规则如下：

• 若$S$为零表达式，则$S$代表序数0；
• 若$S$为后继表达式，则其前驱是$S^{\prime }=(a_1,a_2,\cdots ,a_{n-1})$；
• 若$S$为极限表达式，根据前文定义确定坏根、阶差、好部、坏部；记$B_t=(a_r+t\delta ,a_{r+1}+t\delta ,\cdots ,a_{n-1}+t\delta )$，它可以看成坏部的每一项加上阶差的t倍，则其基本列的第$m$项为$S[m]=(G,B,B_1,B_2,\cdots ,B_m)$。或者说，$S$的展开式为$(G,B,B_1,B_2,\cdots )$。

举例

考虑 HPrSS 表达式$(1,4,6,6)$。

首先，找出末项6的所有祖先项，用红色表示：$(1,4,6,6)$。

其次，计算出阶差序列，为$(1,3,2,2)$。

然后，我们从末项的祖先项中，找到最右边的阶差小于2的项。这里4的阶差为3，我们跳过它，故坏根是首项1。

根据末项和坏根，我们得到了好部$G=()$，坏部$B=(1,4,6)$，阶差$\delta =6-1-1=4$。

根据坏部和阶差，我们可以求出$B_1=(5,8,10)$，$B_2=(9,12,14)$，等等。

最后，我们得到了展开式$(1,4,6,6)=(1,4,6,5,8,10,9,12,14,\cdots )$。

可以将其和 LPrSS 中相同表达式的展开进行对比。