BMS

Bashicu矩阵系统(Bashicu Matrix System,BMS)是一个序数记号。Bashicu Hyudora在2018年给出了它的良好定义。直至今日，BMS依然是已经证明良序的最强的序数记号。

定义

原定义

Bashicu最初在他的未命名的BASIC编程语言改版上提交了BMS的定义。BMS的原定义是一个大数记号，理论的输出是一个大数。该程序并未设计为实际运行，原因在于语言修改的未定义性，同时也受限于内存与计算时间的现实约束，无法计算出这个大数的实际最终值。因此，Fish编写了名为"Bashicu矩阵计算器"的程序来演示预期的计算流程（该程序已得到Bashicu验证）。故Bashicu矩阵的正式定义可参考Fish程序的源代码。

正式定义

中文googology社区提到BMS默认是一个序数记号。以下是序数记号BMS的定义及说明：

首先是BMS合法式：BMS的合法式是二维的自然数构成的序列，在外观上看是一个矩阵。如$\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 1\\ 0& 1& 1& 1\\ 0& 1& 0& 1\end{array}\right)$就是一个BMS的合法式。在很多场合，这种二维的结构书写起来不是很方便，因此我们也常常把BMS从左到右、从上到下按列书写，每一列的不同行之间用逗号隔开，不同列之间用括号隔开。例如，上面的BMS也可以写成$(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,1)$.在很多情况下，除首列外，列末的0也可以省略不写，例如上面的BMS写为$(0)(1,1,1)(2,1)(1,1,1)$.

理论上来说，只要是这样的式子就可以按照BMS的规则进行处理了。但实际操作过程中，我们还可以排除一些明显不标准的式子：

• 首列并非全0
• 每一列并非不严格递减，即出现一列中下面的数大于上面的数。
• 出现一个元素a，它比它同行左边所有元素都大超过1.

在了解BMS的展开规则之前，需要先了解一些概念。

1. 第一行元素的父项：对于位于第一行的元素a，它的父项b是满足以下条件的项当中，位于最右边的项：1）同样位于第一行且在a的左边；2） 小于a。这里和PrSS判定父项的规则是相同的。显然，0没有父项。
2. 祖先项：一个元素自己，以及它的父项、父项的父项、父项的父项的父项……共同构成它的祖先项。
3. 其余行元素的父项：对于不位于第一行的元素c，它的父项d指满足以下条件的项当中，位于最右边的项： 1）与c位于同一行且在c的左边； 2）小于c；3）d正上方的项e是c正上方的项f的祖先项。0没有父项。
4. 坏根：最后一列位于最下方的非零元素的父项所在列，称为坏根。如果最后一列所有元素为0，则这个BMS表达式无坏根。值得一提的是，末列最靠下的非零元素记作LNZ(Lowermost Non-Zero)
5. 好部、坏部：这两个概念与PrSS是相似的。位于坏根左边的所有列称为好部，记作G，G可以为空；从坏根到倒数第二列(包括坏根、倒数第二列)的部分称为坏部，记作B。
6. 阶差向量：在一个n行BMS中，我们把末列记为$({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)$,把坏根列记为$({\beta }_1,{\beta }_2,\cdots ,{\beta }_n)$,并且我们规定${\alpha }_{n+1}=0$.则阶差向量$\mathrm{\Delta }=({\delta }_1,{\delta }_2,\cdots ,{\delta }_n)$按照这样的规则得到：${\delta }_i=\{\begin{array}{ll}{\alpha }_i-{\beta }_i,& {\alpha }_{i+1}\ne 0\\ 0,& {\alpha }_{i+1}=0\end{array}$。通俗的说，如果末列的第$i+1$项等于0，则${\delta }_i=0$,否则${\delta }_i$等于末列第i行减去坏根列第i行。阶差向量记作$\mathrm{\Delta }$.
7. $B_m$:$B_m$是B中每一列都加上$\mathrm{\Delta }$的m倍所得到的新矩阵。但是有一点需要注意：如果B中某个元素t的祖先项不包含坏根中的元素，则在$B_m$对应位置的元素的值依然是t，它不加$\mathrm{\Delta }$.

了解概念后，以下是BMS的展开规则：

1. 空矩阵=0
2. 如果表达式是非空矩阵S，如果它没有坏根，那么S等于S去掉最后一列之后，剩余部分的后继 。
3. 否则，确定这个BMS表达式S的坏根、G、B、$\mathrm{\Delta }$,S的基本列第n项$S[n]=G\sim B\sim B_1\sim B_2\sim B_3\sim \cdots \sim B_{n-1}$.其中~表示序列拼接。或者称S的展开式是$G\sim B\underset{\omega }{\underbrace{\sim B_1\sim B_2\sim \cdots }}$.

BMS的极限基本列是$\{(0)(1),(0,0)(1,1),(0,0,0)(1,1,1),(0,0,0,0)(1,1,1,1),\cdots \}$,从这个基本列中元素开始取前驱或取基本列所能得到的表达式是BMS的标准式。

以下是BMS展开的一些实例：

例一:$(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,0)(0,0,0)$

因为末列全都是0，因此这个BMS没有坏根。根据规则2，它是$(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,2,0)$的后继。

例二：$(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,2,0)$

LNZ是末列第二行的2.首先确定末列第1行元素的祖先项，即标红的部分（末列本身不染色，下同）：$(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,2,0)$.因此末列第二行的2的父项只能在含有标红元素的这些列中选取。于是确定LNZ的父项为(标绿):$(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,2,0)$.因此确定$(1,1,1)$是坏根。好部G是$(0,0,0)$,坏部B是$(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)$.计算出阶差向量$\mathrm{\Delta }=(3,0,0)$.检查B中是否存在祖先项不包含坏根中元素的项（当然，我们只需要检查$\mathrm{\Delta }$非零的那些行），很幸运，没有。于是我们得到展开式是$(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)(4,1,1)(5,2,2)(6,3,3)(7,1,1)(8,2,2)(9,3,3)\cdots$

例三：$(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,3,1,1)(4,2,0,0)(5,1,1,1)(6,2,2,1)(7,3,1,1)$

LNZ是末列第四行的1.首先确定末列第一行元素7的祖先项（标红）：$(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,3,1,1)(4,2,0,0)(5,1,1,1)(6,2,2,1)(7,3,1,1)$.在含有标红元素的列中寻找末列第二行元素3的祖先项（标绿）：$(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,3,1,1)(4,2,0,0)(5,1,1,1)(6,2,2,1)(7,3,1,1)$.在含有标绿元素的列中寻找末列第三行元素1的祖先项（标蓝）：$(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,3,1,1)(4,2,0,0)(5,1,1,1)(6,2,2,1)(7,3,1,1)$.在含有标蓝元素的列中寻找LNZ的父项，即首列第四行的0.于是得到坏根是$(0,0,0,0)$，好部G是空矩阵，坏部B是$(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,3,1,1)(4,2,0,0)(5,1,1,1)(6,2,2,1)$，计算阶差向量$\mathrm{\Delta }=(7,3,1,0)$。检查B中是否存在祖先项不包含坏根中元素的项（只检查$\mathrm{\Delta }$非0的行）得到第五列第三行的0祖先项不经过坏根。于是我们得到展开式是$(0,0,0,0)(1,1,1,1)(2,2,2,1)(3,3,1,1)(4,2,0,0)(5,1,1,1)(6,2,2,1)(7,3,1,0)(8,4,2,1)(9,5,3,1)(10,6,2,1)(11,5,0,0)(12,4,2,1)(13,5,3,1)(14,6,2,0)(15,7,3,1)(16,8,4,1)(17,9,3,1)(18,8,0,0)(19,7,3,1)(20,8,4,1)\cdots$

展开BMS可以靠BMS计算器或notation explorer辅助。

数学定义

kotetian给出BMS的数学定义。但是他给出的定义是大数记号版本的。以下是根据他的定义改写的序数记号版BMS的定义：

$\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{x}\mathrm{:}\mathit{S}={\mathit{S}}_0{\mathit{S}}_1\cdots {\mathit{S}}_{X-1}$

$\mathrm{V}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{:}{\mathit{S}}_x=(S_{x0},S_{x1},\cdots ,S_{x(Y-1)})$

$\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{f}{S}_{xy}:P_y(x)=\{\begin{array}{ll}max\{p|p<x\wedge S_{py}<S_{xy}\wedge \mathrm{\exists }a(p=(P_{y-1}{)}^a(x))\}& \text{if }y>0\\ max\{p|p<x\wedge S_{py}<S_{xy}\}& \text{if }y=0\end{array}$

$\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{z}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{:}t=\max \{y|S_{(X-1)y}>0\}$

$\mathrm{B}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{:}r=P_t(X-1)$gfhyrth

$\mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{f}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{:}{\mathrm{\Delta }}_y=\{\begin{array}{ll}{S}_{(X-1)y}-S_{ry}& \text{if }y<t\\ 0& \text{if }y\ge t\end{array}$

$\mathrm{A}\mathrm{s}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{x}\mathrm{:}{A}_{xy}=\{\begin{array}{ll}1& (\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{\exists }a(r=(P_y{)}^a(r+x)))\\ 0& (\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{e})\end{array}$

$\mathrm{G}\mathrm{o}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{:}\mathit{G}={\mathit{S}}_0{\mathit{S}}_1\cdots {\mathit{S}}_{r-1}$

$\mathrm{B}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{:}{\mathit{B}}^{(a)}={\mathit{B}}_0^{(a)}{\mathit{B}}_1^{(a)}\cdots {\mathit{B}}_{X-2-r}^{(a)}$

${\mathit{B}}_x^{(a)}=(B_{x0}^{(a)},B_{x1}^{(a)},\cdots ,B_{x(Y-1)}^{(a)})$

$B_{xy}^{(a)}=S_{(r+x)y}+a{\mathrm{\Delta }}_y{A}_{xy}$

$\varnothing =0$

$\mathit{S}=\{\begin{array}{ll}{\mathit{S}}_0{\mathit{S}}_1{\mathit{S}}_2\cdots {\mathit{S}}_{X-2},& \text{if }\mathrm{\forall }y,{\mathit{S}}_{(X-1)y}=0\\ sup\{G,G{B}^{(0)},G{B}^{(0)}{B}^{(1)},G{B}^{(0)}{B}^{(1)}{B}^{(2)},\cdots \}& \text{otherwise}\end{array}$

历史

Bashicu在2015年的时候给出了第一版BMS的定义，即BM1。BM1创建后的首个问题便是其是否必然终止。这一疑问直到2016年用户KurohaKafka在日本论坛2ch.net发表终止性证明才暂告段落。然而Hyp cos通过构造非终止序列推翻了该证明。

为此，Bashicu发布第二版（BM2），以BASIC语言重新实现算法。2018年6月12日，他再次更新定义至BM3，但当月内Alemagno12便发现存在不终止的例证。

2018年11月11日，P進大好きbot针对PSS（即行数限制为2的BMS）完成了终止性证明。

2018年8月28日，Bubby3确认BM2确实不会终止。

Bashicu最终修正官方定义推出BM4，此为2018年9月1日的最新版本。该版本最终在2023年7月12日被Racheline（在googology社区中曾用名Yto）证明停机。

尽管BM4是最后官方修订版，但googology社区已衍生诸多非官方变体，如BM2.2、BM2.5、BM2.6、BM3.1、BM3.1.1、BM3.2及PsiCubed2版等。需注意的是，整数编号版本（1-4）均由Bashicu本人定义，其余版本均为他人修改。

由于BMS在三行之后出现提升效应造成分析上的极大困难，目前我们仍然在探索理想无提升BMS（Idealized BMS，IBMS）的定义。BM3.3一度被认为是符合预期的IBMS，然而目前已经发现了BM3.3也具有提升。

争议

test_alpha0声称Yto(Racheline)剽窃了他的证明。据test_alpha0所说，他在2022年2月16日在googology wiki上发布了关于BMS停机证明的文章，并在googology discord社区回答了相关问题，Racheline声称他的证明不严谨，但过了一段时间，Racheline在ArXiv上发了证明，框架与test_alpha0的证明完全一致。目前尚不清楚Racheline的回应。

强度分析

主词条：BMS分析，提升效应

BMS的分析是一项浩大的工程，由于提升效应造成的困难，直至今日，对BMS的强度的全部分析仍然未完成。这里列举出一些关键节点：

$\varnothing =0$

$(0)=1$

$(0)(0)=2$

$(0)(1)=\omega$

$(0)(1)(1)={\omega }^2$

$(0)(1)(2)={\omega }^{\omega }$

$(0,0)(1,1)={\epsilon }_0$

$(0,0)(1,1)(1,1)={\epsilon }_1$

$(0,0)(1,1)(2,0)={\epsilon }_{\omega }$

$(0,0)(1,1)(2,1)={\zeta }_0$

$(0,0)(1,1)(2,2)=\psi ({\mathrm{\Omega }}_2)$

$(0,0,0)(1,1,1)=\psi ({\mathrm{\Omega }}_{\omega })$

$(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)=\psi ({\mathrm{\Omega }}_{\omega }\times \mathrm{\Omega })$

$(0,0,0)(1,1,1)(2,1,0)(1,1,1)=\psi ({\mathrm{\Omega }}_{\omega }^2)$

$(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)=\psi ({\mathrm{\Omega }}_{{\omega }^2})$

$(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,0)(2,0,0)=\psi (I)$

$(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)=\psi (I_{\omega })$

$(0,0,0)(1,1,1)(2,1,1)(3,1,1)(4,1,1)=\psi (K_{\omega })$

$(0,0,0)(1,1,1)(2,2,0)=\psi (psd.{\mathrm{\Pi }}_{\omega })$

$(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)=\psi (\lambda \alpha .({\mathrm{\Omega }}_{\alpha +2})-{\mathrm{\Pi }}_1)$

$(0,0,0)(1,1,1)(2,2,1)(3,0,0)=\psi (\lambda \alpha .({\mathrm{\Omega }}_{\alpha +\omega })-{\mathrm{\Pi }}_0)$

$(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)=\psi (psd.\omega -\pi -{\mathrm{\Pi }}_0)=\psi ({\alpha }_{\omega })$

$(0,0,0)(1,1,1)(2,2,2)(3,3,3)=\psi ({\beta }_{\omega })$

$(0,0,0,0)(1,1,1,1)=\psi (\omega -Proj.)=\psi ({\psi }_S(\sigma S\times \omega ))$

$(0,0,0,0)(1,1,1,1)$之后，BMS和投影的列表分析还没有得到广泛。

$(0,0,0,0)(1,1,1,1)$被命名为TSSO(Trio Sequence System Ordinal,三行序列系统序数)，$(0,0,0,0,0)(1,1,1,1,1)$被命名为QSSO(Quardo Sequence System Ordinal,四行序列系统序数)。BMS的极限在中文googology社区被称为SHO(Small Hydra Ordinal)，但这一命名的起源不明(SHO最早被用来指代${\epsilon }_0$,后来不明不白的变成了BMS极限)，也是非正式的，因此被部分人拒绝使用。也有人称BMS极限为BMO。