基数：修订间差异

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2025年7月8日 (二) 10:54的版本

基数^[1]是一类特殊的序数。

定义

我们说两个集合 $A, B$ 等势，当且仅当在它们之间存在一个双射（一一对应），记为 $| A | = | B |$ 。

对于任意一个序数 $α$ 而言， $α$ 的势，记为 $| α |$ ，是与 $α$ 等势的最小序数，即

$| α | = m i n {β \leq α | | α | = | β |}$ 。

一个序数 $α$ 是基数，当且仅当 $α = | α |$ 。

基数上的序关系

基数的序被定义为如下形式

$| X | \leq | Y |$ ，如果存在一个单射自 $X$ 到 $Y$ .

我们同样可以定义严格序

$| X | < | Y |$ 表示 $| X | \leq | Y |$ 且 $| X | \neq | Y |$ .

例：

$| A | < | 𝔓 (A) | = | {\emptyset, {\emptyset}}^{A} |$ .

有限基数和无穷基数（超限基数）

$\forall n \in ω (n = | n |)$ ，这意味着所有的自然数 $n$ 都是一个基数。

从而，我们称呼一个集合 $X$ 的基数是有限的，当且仅当存在一个自然数 $n \in ℕ$ 使得

$| X | = | n | = n$

此时我们称呼 $X$ 是有 $n$ 个元素的。有限基数即全体自然数。

若一个基数不是有限的，则我们称它为无穷基数（超限基数）。

极限基数和后继基数

一个基数 $k$ 是一个后继基数，当且仅当存在一个基数 $λ$ ，使得 $k$ 是最小的大于 $λ$ 的基数，此时也称 $k$ 为 $λ$ 的基数后继

一个基数 $k$ 是一个极限基数，当且仅当对于任意 $λ < k$ ， $λ$ 的基数后继也小于 $k$

有以下定理：

若一个无穷序数是基数，我们便称之为阿列夫数；
$ℵ_{0} = ω = | ω |$ ， $ω$ 是第一个无穷基数；
$ℵ_{1} = ω_{1} = | ω_{1} |$ ， $ω_{1}$ 是第一个不可数基数。
第一个不可数的极限基数为 $ℵ_{ω}$

由此我们定义阿列夫数的递增序列

$ℵ_{0} = ω$ ;
$ℵ_{α + 1} = ω_{α + 1} = ℵ_{α}$ 的基数后继;
$ℵ_{γ} (γ 是非零极限序数) = ⋃ {ω_{α} | α < γ}$ .

我们称一个基数为 $ℵ_{0}$ 的无穷集合是可数的（countable），一个基数不为 $ℵ_{0}$ 的无穷集合是不可数的（uncountable）。

基数的运算

我们依赖集合的基本运算，来定义基数的运算。

对于两个基数 $a, b$ ，有两个基数分别为 $a, b$ 且互不相交的集合 $A, B$ ，有

$a + b | A \cup B |$

$a \cdot b = | A \times B |$

$a^{b} = | A^{B} |$

其中 $A^{B}$ 表示全体从 $B$ 到 $A$ 的映射所构成的集合。

基数有以下的运算规律：

对于任意基数 $a, b, c$ ，有

$a + b = b + a$ ;
$a \cdot b = b \cdot a$ ;
$a + (b + c) = (a + b) + c$ ;
$a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$ ;
$(a \cdot b)^{c} = a^{c} \cdot b^{c}$ ;
$a^{b + c} = a^{c} \cdot a^{b}$ ;
$(a^{b})^{c} = a^{b \cdot c}$ ;
如果 $a \leq b$ ，那么 $a^{c} \leq b^{c}$ ;
如果 $0 < b \leq a$ ，那么 $c^{b} \leq c^{a}$ ;
$a^{0} = 1, 1^{b} = b$ ，若c非空， $0^{c} = 0$ .

基数有如下定理：

$ℵ_{α} \cdot ℵ_{α} = ℵ_{α}$ ;
$ℵ_{α} + ℵ_{β} = ℵ_{α} \cdot ℵ_{β} = m a x {ℵ_{α}, ℵ_{β}}$ .

共尾度

对于一个良序集合 $(W, <)$ 而言，我们称序数 $α$ 为它的长度或者序型，记成 $α = o t (W, <)$ ，当且仅当它与 $(α, <)$ 同构。

设 $α$ 是一个非零极限序数， $α$ 的共尾度，记为 $c f (α)$ ，由以下等式定义：

$c f (α) = m i n {o t (A, <) | A \subseteq α \land \forall β (β < α \to \exists γ (γ \in A \land β < γ))}$

即， $c f (α)$ 是 $α$ 的最短的无界子集的长度。

设 $α \geq γ \geq ω$ 为两个极限序数，那么以下三个命题等价：

$γ = c f (α)$ ;
存在从 $γ$ 到 $α$ 的无界单增映射，并且对于任何一个 $η < γ$ ，任意一个从 $η$ 到 $α$ 上的映射一定在 $α$ 中有界;
$γ$ 为最小的序数 $β$ ，使得存在一个严格递增的长度为 $β$ 的序数序列 $⟨ α_{ξ} : ξ < β ⟩$ ， $\lim_{ξ \to β} α_{ξ} = α$ .

显然，共尾度是一个极限序数且当 $α$ 为极限序数时它的共尾度是正则的。

一个基数是正则的当且仅当它的共尾度为自身。一个基数是奇异的当且仅当它不是正则的。

有如下定理：

所有后继基数都是正则基数。
所有奇异基数都是极限基数。

参考资料

↑ 冯琦. 集合论导引[M]. 北京: 科学出版社, 2019.

[1] 冯琦. 集合论导引[M]. 北京: 科学出版社, 2019.

[1]

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-'''基数'''是一类特殊的[[序数]]。
+'''基数'''<ref>冯琦. 集合论导引[M]. 北京: 科学出版社, 2019.</ref>是一类特殊的[[序数]]。
-我们称呼两个集合<math>A,B</math>拥有相同的基数，当且仅当，存在一个一对一函数 <math>f: A \rightarrow B</math>
+==== 定义 ====
-一个序数 <math>a</math> 是一个基数，当且仅当对于任意 <math>b<a</math> ，都不存在函数 <math>f</math> 使得 <math>f: b \rightarrow a</math> 是一个一对一函数
+我们说两个集合<math>A,B</math>'''等势'''，当且仅当在它们之间存在一个'''双射（一一对应）'''，记为<math>|A|=|B|</math>。
-==== 基数上的序关系 ====
+对于任意一个序数<math>\alpha</math>而言，<math>\alpha</math>的'''势'''，记为<math>|\alpha|</math>，是与<math>\alpha</math>等势的最小序数，即
-基数的序被定义为如下形式
+* <math>|\alpha| = min\{\beta \leq \alpha\ |\ |\alpha|=|\beta|\}</math>。
-<math>|X| \leq |Y|</math>
+一个序数<math>\alpha</math>是'''基数'''，当且仅当<math>\alpha=|\alpha|</math>。
-如果存在一个单射自<math>X</math>到<math>Y</math>
+==== 基数上的序关系 ====
-我们同样可以定义严格序
+基数的'''序'''被定义为如下形式
-<math>|X| < |Y|</math>
+<math>|X| \leq |Y|</math>，如果存在一个单射自<math>X</math>到<math>Y</math>.
-表示 <math>|X| \leq |Y|</math> 且 <math>|X| \neq |Y|</math>
-==== 有限基数和无穷基数/超限基数 ====
+我们同样可以定义严格序
-我们称呼一个集合<math>X</math>的基数是有限的，当且仅当存在一个自然数<math>n \in \mathbb{N}</math>使得
+<math>|X| < |Y|</math>表示 <math>|X| \leq |Y|</math> 且 <math>|X| \neq |Y|</math>.
-<math>|X|=|n|</math>
-此时我们称呼<math>X</math>是有<math>n</math>个元素的
+例：
-我们用自然数来定义有限基数
+<math>|A|<|\mathfrak{P}(A)|=|\{\emptyset,\{\emptyset\}\}^{A}|</math>.
-对于任意 <math>n \in \mathbb{N},|X|=|n|=n</math>
+==== 有限基数和无穷基数（超限基数） ====
+<math>\forall n \in \omega(n=|n|)</math>，这意味着所有的自然数<math>n</math>都是一个基数。
-若一个基数不是有限的，则我们称它为'''无穷基数'''/'''超限基数'''
+从而，我们称呼一个集合<math>X</math>的基数是有限的，当且仅当存在一个自然数<math>n \in \mathbb{N}</math>使得
-==== 阿列夫数 ====
+<math>|X|=|n|=n</math>
-若一个无穷序数是基数，我们便称之为'''阿列夫数'''
+此时我们称呼<math>X</math>是有<math>n</math>个元素的。'''有限基数'''即全体自然数。
-对于任意一个良序集<math>W</math>，它的基数就是最小的一个序数<math>a</math>使得<math>|W|=|a|</math>
+若一个基数不是有限的，则我们称它为'''无穷基数（超限基数）'''。
-序数<math>\omega</math>是最小的一个无穷基数，注意到每一个无穷基数都是极限序数。
+==== 极限基数和后继基数 ====
-==== 极限基数和后继基数 ====
+一个基数<math>k</math>是一个'''后继基数'''，当且仅当存在一个基数<math>\lambda</math>，使得<math>k</math>是最小的大于<math>\lambda</math>的基数，此时也称<math>k</math>为<math>\lambda</math>的基数后继
-我们称一个基数<math>k</math>是后继基数，当且仅当存在一个基数<math>\lambda</math>，使得<math>k</math>是最小的大于<math>\lambda</math>的基数，此时也称<math>k</math>为<math>\lambda</math>的基数后继
+一个基数<math>k</math>是一个'''极限基数'''，当且仅当对于任意<math>\lambda < k</math>，<math>\lambda</math>的基数后继也小于<math>k</math>
-我们称一个基数<math>k</math>是极限基数，当且仅当，对于任意<math>\lambda < k</math>，<math>\lambda</math>的基数后继也小于<math>k</math>
+有以下定理：
+# 若一个[[序数#有限序数与超限序数|无穷序数]]是基数，我们便称之为'''阿列夫数'''；
+# <math>\aleph_{0} = \omega = |\omega|</math>，<math>\omega</math>是第一个无穷基数；
+# <math>\aleph_{1} = \omega_{1} = |\omega_{1}|</math>，<math>\omega_{1}</math>是第一个不可数基数。
+# 第一个不可数的极限基数为<math>\aleph_{\omega}</math>
 由此我们定义阿列夫数的递增序列
-<math>\aleph_{0}=\omega</math>
+* <math>\aleph_{0}=\omega</math>;
+* <math>\aleph_{\alpha+1}=\omega_{\alpha+1}=\aleph_{\alpha}</math>的基数后继;
-<math>\aleph_{a+1}=\omega_{a+1}=\aleph_{a}</math>的基数后继
+* <math>\aleph_{\gamma}\text{(}\gamma\text{是非零极限序数)}=\bigcup\{\omega_{\alpha}|\alpha<\gamma\}</math>.
-<math>\aleph_{a}\text{(}a\text{是极限序数)}=sup\{\omega_{b}:b<a\}</math>
-我们称一个基数为<math>\aleph_{0}</math>的集合是'''可数的（countable）'''，一个基数不为<math>\aleph_{0}</math>的无穷集合是'''不可数的（uncountable）
+我们称一个基数为<math>\aleph_{0}</math>的无穷集合是'''可数的（countable）'''，一个基数不为<math>\aleph_{0}</math>的无穷集合是'''不可数的（uncountable）。
 '''
-基数的运算
+==== 基数的运算 ====
-我们依赖集合的基本运算，来定义基数的运算
-对于两个基数a,b，有两个基数分别为a和b 的集合A，B
+我们依赖集合的基本运算，来定义基数的运算。
-a+b=|AUB|
+对于两个基数<math>a,b</math>，有两个基数分别为<math>a,b</math>且'''互不相交'''的集合<math>A,B</math>，有
-a*b=|A*B|
+<math>a+b|A\cup B|</math>
-a^b=|A^B|
+<math>a\cdot b=|A\times B|</math>
-其中A^B表示全体从B到A的函数所构成的集合
+<math>a^{b}=|A^{B}|</math>
-基数有以下的运算规律
+其中<math>A^{B}</math>表示全体从<math>B</math>到<math>A</math>的映射所构成的集合。
-基数加法和乘法满足结合律
+基数有以下的运算规律：
-（a*b）^c=a^c*b^c
+对于任意基数<math>a,b,c</math>，有
-a^(b+c)=a^c*a^b
+* <math>a+b=b+a</math>;
+* <math>a\cdot b=b\cdot a</math>;
+* <math>a+(b+c)=(a+b)+c</math>;
+* <math>a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c</math>;
+* <math>(a\cdot b)^{c}=a^{c}\cdot b^{c}</math>;
+* <math>a^{b+c}=a^{c}\cdot a^{b}</math>;
+* <math>(a^b)^{c}=a^{b\cdot c}</math>;
+* 如果<math>a\leq b</math>，那么<math>a^{c}\leq b^{c}</math>;
+* 如果<math>0<b\leq a</math>，那么<math>c^{b}\leq c^{a}</math>;
+* <math>a^{0}=1, 1^{b}=b</math>，若c非空，<math>0^{c}=0</math>.
-(a^b)^c=a^(b*c)
+基数有如下定理：
+* <math>\aleph_{\alpha} \cdot \aleph_{\alpha} = \aleph_{\alpha}</math>;
+* <math>\aleph_{\alpha}+\aleph_{\beta}=\aleph_{\alpha}\cdot \aleph_{\beta} = max\{\aleph_{\alpha},\aleph_{\beta}\}</math>.
+==== 共尾度 ====
-如果a≤b，那么a^c≤b^c
+对于一个[[良序]]集合<math>(W,<)</math>而言，我们称序数<math>\alpha</math>为它的长度或者序型，记成<math>\alpha=ot(W,<)</math>，当且仅当它与<math>(\alpha,<)</math>同构。
-如果0<b≤a,那么c^b≤c^a
+设<math>\alpha</math>是一个非零[[序数#极限序数|极限序数]]，<math>\alpha</math>的'''共尾度'''，记为<math>\mathrm{cf}(\alpha)</math>，由以下等式定义：
+* <math>\mathrm{cf}(\alpha)=min\{ot(A,<)|A\subseteq \alpha \and \forall \beta(\beta < \alpha \rightarrow \exist \gamma(\gamma \in A\and \beta < \gamma))\}</math>
-k^0=1,1^k=如果k大于0则^k=0
+即，<math>\mathrm{cf}(\alpha)</math>是<math>\alpha</math>的最短的无界子集的长度。
-定理：N_a*N_a=N_a
+设<math>\alpha \geq \gamma \geq \omega</math>为两个极限序数，那么以下三个命题等价：
+# <math>\gamma=\mathrm{cf}(\alpha)</math>;
+# 存在从 <math>\gamma</math> 到 <math>\alpha</math> 的无界单增映射，并且对于任何一个 <math>\eta<\gamma</math>，任意一个从 <math>\eta</math> 到 <math>\alpha</math> 上的映射一定在 <math>\alpha</math> 中有界;
+# <math>\gamma</math> 为最小的序数<math>\beta</math>，使得存在一个严格递增的长度为 <math>\beta</math> 的序数序列<math>\langle \alpha_{\xi}:\xi<\beta \rangle</math>，<math>\lim_{\xi\to \beta}\ \alpha_{\xi}=\alpha</math>.
-定理：N_a+N_b or N_a*N_b=max{N_a,N_b}
+显然，共尾度是一个极限序数且当<math>\alpha</math>为极限序数时它的共尾度是正则的。
-共尾度
+一个基数是'''正则的'''当且仅当它的共尾度为自身。一个基数是'''奇异的'''当且仅当它不是正则的。
-让a为一个非零极限序数，我们称一个递增的b长序列<c_n:n＜b>，其中b为极限序数，是共尾于a的当且仅当lim n→b c_n=a，同样的，一个a的子集A是共尾于a的当且仅当supA=a，当a为极限序数时，最小满足上面要求的b就是a的共尾度，显然，共尾度是一个极限序数且当a为极限序数时它的共尾度是正则的
+有如下定理：
+* 所有后继基数都是正则基数。
+* 所有奇异基数都是极限基数。
-一个基数是正则的当且仅当它的共尾度为自身
+==== 参考资料 ====
-一个基数是奇异的当且仅当它不是正则的
-'''[[分类:入门]]'''
+[[分类:入门]]
 [[分类:集合论相关]]