可构造宇宙：修订间差异

2025年7月5日 (六) 20:59的版本

可构造宇宙(又称“哥德尔的可构造宇宙L”、“可构造性全域”)，是哥德尔为了证明命题的一致性问题而提出的一个内模型。

定义

设 $U$ 为传递集，我们称一个 $U$ 的子集集合 $A$ 是在结构 $⟨ U, \in ⟩$ 上可定义的，当且仅当存在一个公式 $ϕ (x, a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . .)$ 使得 $X = {x : ⟨ U, \in ⟩ | ϕ (x, a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . .)}$ 。我们将 $d e f (U)$ 表示 $⟨ U, \in ⟩$ 上全体可定义的子集组成的集合，也称可定义幂集。可构造宇宙的定义如下：

$L_{0} = \emptyset$

$L_{α + 1} = d e f (L_{α})$

$L_{α} (α$ 为极限序数 $) = \cup_{β < α} L_{β}$

$L = \cup_{α \in O r d} L_{α}$

对于任意集合 $a$ ，若存在 $L_{b}$ 使得 $a \in L_{b}$ ，则称 $a$ 是可构造的。

定理

我们可以验证，假设ZF是一致的，那么L是ZF的模型，且是一个真类，且Ord是L的子类。

L还蕴含V=L即可构造公理，以及选择公理AC和广义连续统假设GCH。并且，L是ZF最小的内模型。

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-可构造宇宙，又称哥德尔的可构造宇宙L，可构造性全域，是哥德尔为了证明命题的一致性问题而提出的一个内模型，其定义如下
+'''可构造宇宙(又称“哥德尔的可构造宇宙L”、“可构造性全域”)'''，是哥德尔为了证明命题的一致性问题而提出的一个[[内模型]]。
-设U为传递集，我们称一个U的子集集合A是在结构<U,∈>上可定义的，当且仅当存在一个公式φ（x,a1,a2,a3,...）使得
+==== 定义 ====
-X={x：<U,∈>满足φ（x,a1,a2,a3,...）}，我们将def（U）表示<U,∈>上全体可定义的子集组成的集合，也称可定义幂集
+设<math>U</math>为[[传递集]]，我们称一个<math>U</math>的[[子集]]集合<math>A</math>是在结构 <math>\langle U,\in\rangle</math>上可定义的，当且仅当存在一个公式<math>\phi(x,a_{1},a_{2},a_{3},...)</math>使得<math>X=\{x:\langle U,\in\rangle |\phi(x,a_{1},a_{2},a_{3},...)\}</math>。我们将<math>def(U)</math>表示<math>\langle U,\in\rangle</math>上全体可定义的子集组成的集合，也称可定义幂集。可构造宇宙的定义如下：
-L_0=空集
+<math>L_{0}=\emptyset</math>
-L_a+1=def（L_a）
+<math>L_{\alpha+1}=def(L_{\alpha})</math>
-L_a(a为[[极限序数]])=U _b<a Lb
+<math>L_{\alpha}(\alpha</math>为[[序数#极限序数|极限序数]]<math>)=\cup_{\beta<\alpha}\ L_{\beta}</math>
-L=U _a∈ord L_a
+<math>L=\cup_{\alpha\in Ord}\ L_{\alpha}</math>
-对于任意集合a,若存在L_b使得a∈L_b，则称a是可构造的
-我们可以验证，假设ZF是一致的，那么L是ZF的模型，且是一个真类，且ord是L的子类
+对于任意集合<math>a</math>，若存在<math>L_{b}</math>使得<math>a\in L_{b}</math>，则称<math>a</math>是'''可构造的'''。
-L还蕴含V=L即可构造公理，以及选择公理AC和广义连续统假设GCH，并且，L是ZF最小的内模型
+==== 定理 ====
+我们可以验证，假设[[ZF]]是一致的，那么L是ZF的模型，且是一个真类，且Ord是L的子类。
+L还蕴含V=L即可构造公理，以及[[ZFC公理体系#选择公理|选择公理]]AC和[[连续统假设|广义连续统假设]]GCH。并且，L是ZF最小的内模型。
 [[分类:集合论相关]]