植的大数数学入门教程

第一章 超运算

  在小学，我们从日常生活的实例出发，学习了四则运算，即加、减、乘、除，还初步认识了乘方中的平方；在初中，我们对平方、立方与较小指数的乘方运算有了深入认识，知道了它们的一些性质。也许你认为10¹⁰或古戈尔——10¹⁰⁰已经很大，但在大数的世界中这些仍只是最初级、最渺小的数。
  本章我们将认识一种更高级的运算——连幂，它可以使用两个只有两位的数字很容易地超过宇宙的原子数、普朗克体积数，乃至庞加莱回归时间和所有原子的排列组合数；我们还将探究加法、乘法、乘方、连幂内的规律，并总结出超运算和上箭号表示法。届时，葛立恒数将不再遥不可及。

1.1 连幂运算

  连幂是比乘方更高级的运算，接下来我们将深入学习。

1.1.1 乘方运算律

  我们学过加法、乘法的交换律和结合律，和乘法的分配律。幂，即乘方运算，也有自己的运算律。
  首先，幂运算没有交换律和结合律：

 大多数情况下，
    $a^b\ne b^a$，
    $(a^b{)}^c\ne a^{(b^c)}$。

  其次，幂的“分配律”有二种：
  $a^{b+c}=a^b\times a^c$，此时指数上的“$+$”移下来后会变成“$\times$”；
   $a^{b\times c}=(a^b{)}^c$，即“$a$的$b$次方的幂的$c$次方”。它们分别被称为同底数幂法则和幂的乘方法则。
  让我们举几个例子看看：
  幂没有交换律：

  $3^2=9,2^3=8,9\ne 8.$

  幂没有结合律：

  $\begin{array}{rl}& (2^3{)}^2=(8{)}^2=64,\\ & 2^{(3^2)}=2^9=512,\\ & 64\ne 512.\end{array}$

  同底数幂法则：

$\begin{array}{rl}& \text{首先,以下等式是显然的:}\\ & \begin{array}{rl}{2}^6& =2^{3+3}=2^{2+2+2}\\ & =2\times 2\times 2\times 2\times 2\times 2(6\text{个}2)\\ & =(2\times 2\times 2)\times (2\times 2\times 2)\\ & =2^3\times 2^3\\ & =(2\times 2)\times (2\times 2)\times (2\times 2)\\ & =2^2\times 2^2\times 2^2.\end{array}\\ & \text{于是,我们可以得知}\\ & 2^{3+3}=2^3\times 2^3,\\ & 2^{2+2+2}=2^2\times 2^2\times 2^2.\end{array}$

  根据同底数幂法则，有

$\begin{array}{rl}{2}^{12}& =2^{4+4+4}=2^{3+3+3+3}=2^{4\times 3}=2^{3\times 4}\\ & =2^4\times 2^4\times 2^4=(2^4{)}^3\\ & =2^3\times 2^3\times 2^3\times 2^3=(2^3{)}^4,\end{array}$

  即$(2^4{)}^3=(2^3{)}^4.$
  这便是幂的乘方法则。

探究与发现 左结合与右结合

我们现在学过的运算有加、减、乘、除法和乘方运算，它们有左结合的，有右结合的，也有双向结合的。那么，这是什么意思呢？   左结合，也就是计算时要且只能从左往右计算。例如减法和除法：$a-b-c=(a-b)-c\ne a-(b-c)$和$a÷b÷c=(a÷b)÷c\ne a÷(b÷c)$。   右结合，则是只能从右往左计算。乘方运算，和我们将会学习的各级高德纳箭号表示法都是右结合：$a^{b^c}=a^{(b^c)}\ne (a^b{)}^c=a^{b\times c}$，$a{\uparrow }^{d}b{\uparrow }^{d}c=a{\uparrow }^d(b{\uparrow }^{d}c)\ne (a{\uparrow }^{d}b){\uparrow }^{d}c$。   双向结合即从两头计算都可以得到相同结果，即符合结合律。加法和乘法就是双向结合的：$a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)$，$a\times b\times c=(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$。

1.1.2 指数塔

  在上一课中，我们知道了幂没有结合律，其式子中有一个式子（解析式）$a^{b^c}$。对于这个式子，我们发现它的指数是一个乘方算式$b^c$；像这样，一个乘方算式，其指数也是一个乘方算式，我们称这个乘方算式为指数塔^{[定义不可靠]}。例如，$3^{4^5}$，$6^{2^{3^2}}$，$5^{5^{5^{5^5}}}$都是指数塔。
  需要注意的是，$a^{b^c}$应读作“a的b的c次幂次幂”；$a^{b^{c^d}}$读作“a的b的c的d次幂次幂次幂”，而不是“a的b次幂的c次幂的d次幂”，后者指$((a^b{)}^c{)}^d$。
  一个乘方算式，若其指数上没有指数塔但有乘方算式，则其是一个三层指数塔。如$3^{3^3}$，$3^{2^{5+5}}$，$3^{3^2\times 3}$都是三层指数塔。$2^9$不是三层指数塔，但$2^{3^2}$是三层指数塔。一个n层指数塔的层数或高度是n。
  一个乘方算式，若其指数上有指数塔，其层数相当于其指数上最高的指数塔（高度最大的指数塔）的层数加一。如$3^{2^{3^{2^4}}}$的层数为5，$2^{2^{(2^3{)}^2\times 2}\times 3+1}$是四层指数塔。由下向上，指数塔可分为第1、2……层。如 $2^{3^2+2^3}$ 的第二层是 $3^2+2^3$，第三层是2和3（注意不是2+3等）。

1.1.3 连幂

  连幂运算是乘方的迭代，又称迭代幂次。
  连幂运算有多种写法。常见的写法有三种，分别是${}^{b}a$，$a\upuparrows b$（*也作$a{\uparrow }^{2}b$），$ba$^^$b$。第一种写法是仿照$a^b$的形式，第三种是$a^b$的另一种写法——$ba$^$b$的拓展；第二种则是高德纳箭号表示法，我们将在以后学习。在本文中，我们使用第二种写法。
  我们知道，$a\times b$表示b个a相加，$a^b$表示b个a相乘。经过简单的推理，你应该知道$a\upuparrows b$表示b个a相“乘方”。如何相“乘方”呢？$a\uparrow \uparrow b$表示a的b层指数塔，即\(a\upuparrows b=\underbrace{a^{a^{\ldotp\cdot^{\ldotp a}}}}_{b\text{个}a}\)。需要注意的是，指数塔是右结合的，应从右上往左下计算。 \(\bbox[blue,3px]{\color{white}\text{习题1.1}}\)
\(\bbox[5px,border:3px solid blue]{\begin{array}{l}\text{复习巩固}\\1. \text{运用乘方运算律计算下列各式.}\\(1)\,2^9;\quad(2)\,3^4;\quad(3)\,5^3.\\2. \text{说出下列各指数塔的层数.}\\(1)\,2^{3^4+2+1};\quad(2)\,3^{(2^2)^3\times2};\\(3)\,3^{(3^2)^{4^2+(2^2)^{3+2^2}}}.\\3. \text{将下列含指数塔的式子转化成不含指数塔、只含连幂算式的式子.}\\(1)\,3^{4^{4^{4^4}}};\quad(2)\,4^{2^2\times2}+4^{4^4};\\(3)\,(3\upuparrows3)^{(3^{3^3})^{3^{3^3}}}.\\4. \text{将下列连幂算式展开成指数塔（或乘方算式）的形式.}\\(1)\,a\upuparrows5;\quad(2)\,7\upuparrows3;\quad(3)\,5\upuparrows2\end{array}}\)

1.2 高德纳上箭号表示法

  在上一节，我们学习了连幂。那么连幂的迭代又是什么运算呢？再迭代呢？我们不可能给每一种运算都另起一个新名字，回想我们小学时所学的数量单位：个、十、百、千、……，以及扩展的“京”“垓”等等，直到“极”，我们距离古戈尔还远。但当有了科学计数法，古戈尔就可以简单地写成$10^{100}$，而不是1000…0或一万亿亿…亿。在这过程中，我们把“不断创造新单位”或“在末尾加一个零”变成了“在10的指数上增加一”，十是$10^1$，百是$10^2$，千是$10^3$……。类比一下，我们现在应该怎么做呢？是的，这正是高德纳箭号表示法所做的。   高德纳箭号表示法，又称上箭号表示法。其一般写作“$a\underset{n}{\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \uparrow }}b$”或“$a{\uparrow }^{n}b$”，如$2{\uparrow }^{2}4$（$2\uparrow \uparrow 4$），$3\uparrow \uparrow \uparrow 3$（$3{\uparrow }^{3}3$）都是高德纳箭号表示法的表达式。高德纳箭号表示法中，乘方运算$a^b$写作$a\uparrow b$，连幂写作$a\uparrow \uparrow b$或$a{\uparrow }^{2}b$。那么，连幂的迭代，暂且称为迭代连幂，显然应表示为$a\uparrow \uparrow \uparrow b$或$a{\uparrow }^{3}b$，并且有$a{\uparrow }^{2}a{\uparrow }^2\dots {\uparrow }^{2}a(b\text{个}a)$$=a{\uparrow }^{3}b$。不同数量的高德纳箭号的计算优先级相同，且都是右结合，如$3{\uparrow }^{2}3{\uparrow }^{2}3=3{\uparrow }^2(3{\uparrow }^{2}3)$，所以实际上严谨一点应写作$a{\uparrow }^2(a{\uparrow }^2(\cdots (a{\uparrow }^{2}a)\cdots ))(b\text{个}a,(b-1)\text{对 圆括号},(b-1)\text{个“}{\uparrow }^2\text{”})=a{\uparrow }^{3}b$。显然还有“${\uparrow }^4$”，“${\uparrow }^5$”，“${\uparrow }^6$”等等，以下是完整的定义：
\(\begin{array}{c}\begin{array}{l}1.a\uparrow^1b=a\uparrow b.\\2.a\uparrow^cb=\begin{cases}a^b&,c=1\\a&,b=1\\a\uparrow^{c-1}(a\uparrow^c(b-1))&,c>1,b>1\end{cases}\\ 3.\text{如果以上均不符合,那么}a\uparrow^cb\text{的值不存在.}\end{array}\\\small\text{高德纳箭号表示法的定义}\end{array}\)
  例1 展开\(2\uparrow\uparrow3\)成指数塔。
  \(\begin{array}{ll}\text{解: }2\uparrow\uparrow3&=2\uparrow\uparrow2\uparrow\uparrow2 \\&=2\uparrow\uparrow(2\uparrow\uparrow2) \\&=2\uparrow\uparrow(2^2) \\&=2\uparrow\uparrow4 \\&=2\uparrow(2\uparrow\uparrow3) \\&=2^{2\uparrow\uparrow2} \\&=2^{2\uparrow(2\uparrow\uparrow2)} \\&=2^{2^{2^2}}\end{array}\)
  例2 \(2\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow2\)相当于\(2\)的（\(2\uparrow^326\)）层指数塔，或（\(27\)）个\(2\)相连幂。
  \(\begin{array}{ll}\text{解: }2\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow2&=2\uparrow^3(3\uparrow^22) \\&=2\uparrow^3(3^3) \\&=2\uparrow^327 \\&=2\uparrow\uparrow(2\uparrow^326)\end{array}\)
  使用高德纳箭号表示法，我们可以很容易地超越宇宙，乃至超越古戈尔、超越古戈尔普勒克斯等数。
——未完——