第一章超运算

在小学，我们从日常生活的实例出发，学习了四则运算，即加、减、乘、除，还初步认识了乘方中的平方；在初中，我们对平方、立方与较小指数的乘方运算有了深入认识，知道了它们的一些性质。也许你认为10¹⁰或古戈尔——10¹⁰⁰已经很大，但在大数的世界中这些仍只是最初级、最渺小的数。
本章我们将认识一种更高级的运算——连幂，它可以使用两个只有两位的数字很容易地超过宇宙的原子数、普朗克体积数，乃至庞加莱回归时间和所有原子的排列组合数；我们还将探究加法、乘法、乘方、连幂内的规律，并总结出超运算和上箭号表示法。届时，葛立恒数将不再遥不可及。

1.1 连幂运算

连幂是比乘方更高级的运算，接下来我们将深入学习。

1.1.1 乘方运算律

我们学过加法、乘法的交换律和结合律，和乘法的分配律。幂，即乘方运算，也有自己的运算律。
首先，幂运算没有交换律和结合律：

 大多数情况下，
     $a^{b} \neq b^{a}$ ，
     $(a^{b})^{c} \neq a^{(b^{c})}$ 。

其次，幂的“分配律”有二种：
$a^{b + c} = a^{b} \times a^{c}$ ，此时指数上的“ $+$ ”移下来后会变成“ $\times$ ”；
$a^{b \times c} = (a^{b})^{c}$ ，即“ $a$ 的 $b$ 次方的幂的 $c$ 次方”。它们分别被称为同底数幂法则和幂的乘方法则。
让我们举几个例子看看：
幂没有交换律：

3^{2} = 9, 2^{3} = 8, 9 \neq 8 .

幂没有结合律：

\begin{aligned} (2^{3})^{2} = (8)^{2} = 64, \\ 2^{(3^{2})} = 2^{9} = 512, \\ 64 \neq 512 . \end{aligned}

同底数幂法则：

\begin{aligned} 首先,以下等式是显然的: \\ \begin{aligned} 2^{6} & = 2^{3 + 3} = 2^{2 + 2 + 2} \\ = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 (6 个 2) \\ = (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2) \\ = 2^{3} \times 2^{3} \\ = (2 \times 2) \times (2 \times 2) \times (2 \times 2) \\ = 2^{2} \times 2^{2} \times 2^{2} . \end{aligned} \\ 于是,我们可以得知 \\ 2^{3 + 3} = 2^{3} \times 2^{3}, \\ 2^{2 + 2 + 2} = 2^{2} \times 2^{2} \times 2^{2} . \end{aligned}

根据同底数幂法则，有

\begin{aligned} 2^{12} & = 2^{4 + 4 + 4} = 2^{3 + 3 + 3 + 3} = 2^{4 \times 3} = 2^{3 \times 4} \\ = 2^{4} \times 2^{4} \times 2^{4} = (2^{4})^{3} \\ = 2^{3} \times 2^{3} \times 2^{3} \times 2^{3} = (2^{3})^{4}, \end{aligned}

即 $(2^{4})^{3} = (2^{3})^{4} .$
这便是幂的乘方法则。

探究与发现左结合与右结合
我们现在学过的运算有加、减、乘、除法和乘方运算，它们有左结合的，有右结合的，也有双向结合的。那么，这是什么意思呢？左结合，也就是计算时要且只能从左往右计算。例如减法和除法： $a - b - c = (a - b) - c \neq a - (b - c)$ 和 $a \div b \div c = (a \div b) \div c \neq a \div (b \div c)$ 。右结合，则是只能从右往左计算。乘方运算，和我们将会学习的各级高德纳箭号表示法都是右结合： $a^{b^{c}} = a^{(b^{c})} \neq (a^{b})^{c} = a^{b \times c}$ ， $a ↑^{d} b ↑^{d} c = a ↑^{d} (b ↑^{d} c) \neq (a ↑^{d} b) ↑^{d} c$ 。双向结合即从两头计算都可以得到相同结果，即符合结合律。加法和乘法就是双向结合的： $a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)$ ， $a \times b \times c = (a \times b) \times c = a \times (b \times c)$ 。

1.1.2 指数塔

在上一课中，我们知道了幂没有结合律，其式子中有一个式子（解析式） $a^{b^{c}}$ 。对于这个式子，我们发现它的指数是一个乘方算式 $b^{c}$ ；像这样，一个乘方算式，其指数也是一个乘方算式，我们称这个乘方算式为指数塔^{[定义不可靠]}。例如， $3^{4^{5}}$ ， $6^{2^{3^{2}}}$ ， $5^{5^{5^{5^{5}}}}$ 都是指数塔。
需要注意的是， $a^{b^{c}}$ 应读作“a的b的c次幂次幂”； $a^{b^{c^{d}}}$ 读作“a的b的c的d次幂次幂次幂”，而不是“a的b次幂的c次幂的d次幂”，后者指 $((a^{b})^{c})^{d}$ 。
一个乘方算式，若其指数上没有指数塔但有乘方算式，则其是一个三层指数塔。如 $3^{3^{3}}$ ， $3^{2^{5 + 5}}$ ， $3^{3^{2} \times 3}$ 都是三层指数塔。 $2^{9}$ 不是三层指数塔，但 $2^{3^{2}}$ 是三层指数塔。一个n层指数塔的层数或高度是n。
一个乘方算式，若其指数上有指数塔，其层数相当于其指数上最高的指数塔（高度最大的指数塔）的层数加一。如 $3^{2^{3^{2^{4}}}}$ 的层数为5， $2^{2^{(2^{3})^{2} \times 2} \times 3 + 1}$ 是四层指数塔。由下向上，指数塔可分为第1、2……层。如 $2^{3^{2} + 2^{3}}$ 的第二层是 $3^{2} + 2^{3}$ ，第三层是2和3（注意不是2+3等）。

1.1.3 连幂

连幂运算是乘方的迭代，又称迭代幂次。
连幂运算有多种写法。常见的写法有三种，分别是 $^{b} a$ ， $a ⇈ b$ （*也作 $a ↑^{2} b$ ）， $b a$ ^^ $b$ 。第一种写法是仿照 $a^{b}$ 的形式，第三种是 $a^{b}$ 的另一种写法—— $b a$ ^ $b$ 的拓展；第二种则是高德纳箭号表示法，我们将在以后学习。在本文中，我们使用第二种写法。
我们知道， $a \times b$ 表示b个a相加， $a^{b}$ 表示b个a相乘。经过简单的推理，你应该知道 $a ⇈ b$ 表示b个a相“乘方”。如何相“乘方”呢？ $a ↑ ↑ b$ 表示a的b层指数塔，即$a\upuparrows b=\underbrace{a^{a^{\ldotp\cdot^{\ldotp a}}}}_{b\text{个}a}$。需要注意的是，指数塔是右结合的，应从右上往左下计算。 $\bbox[blue,3px]{\color{white}\text{习题1.1}}$
$\bbox[5px,border:3px solid blue]{\begin{array}{l}\text{复习巩固}\\1. \text{运用乘方运算律计算下列各式.}\\(1)\,2^9;\quad(2)\,3^4;\quad(3)\,5^3.\\2. \text{说出下列各指数塔的层数.}\\(1)\,2^{3^4+2+1};\quad(2)\,3^{(2^2)^3\times2};\\(3)\,3^{(3^2)^{4^2+(2^2)^{3+2^2}}}.\\3. \text{将下列含指数塔的式子转化成不含指数塔、只含连幂算式的式子.}\\(1)\,3^{4^{4^{4^4}}};\quad(2)\,4^{2^2\times2}+4^{4^4};\\(3)\,(3\upuparrows3)^{(3^{3^3})^{3^{3^3}}}.\\4. \text{将下列连幂算式展开成指数塔（或乘方算式）的形式.}\\(1)\,a\upuparrows5;\quad(2)\,7\upuparrows3;\quad(3)\,5\upuparrows2\end{array}}$

1.2 高德纳上箭号表示法

在上一节，我们学习了连幂。那么连幂的迭代又是什么运算呢？再迭代呢？我们不可能给每一种运算都另起一个新名字，回想我们小学时所学的数量单位：个、十、百、千、……，以及扩展的“京”“垓”等等，直到“极”，我们距离古戈尔还远。但当有了科学计数法，古戈尔就可以简单地写成 $1 0^{100}$ ，而不是1000…0或一万亿亿…亿。在这过程中，我们把“不断创造新单位”或“在末尾加一个零”变成了“在10的指数上增加一”，十是 $1 0^{1}$ ，百是 $1 0^{2}$ ，千是 $1 0^{3}$ ……。类比一下，我们现在应该怎么做呢？是的，这正是高德纳箭号表示法所做的。高德纳箭号表示法，又称上箭号表示法。其一般写作“ $a \underset{n}{\underset{⏟}{↑ ↑ \dots ↑}} b$ ”或“ $a ↑^{n} b$ ”，如 $2 ↑^{2} 4$ （ $2 ↑ ↑ 4$ ）， $3 ↑ ↑ ↑ 3$ （ $3 ↑^{3} 3$ ）都是高德纳箭号表示法的表达式。高德纳箭号表示法中，乘方运算 $a^{b}$ 写作 $a ↑ b$ ，连幂写作 $a ↑ ↑ b$ 或 $a ↑^{2} b$ 。那么，连幂的迭代，暂且称为迭代连幂，显然应表示为 $a ↑ ↑ ↑ b$ 或 $a ↑^{3} b$ ，并且有 $a ↑^{2} a ↑^{2} \dots ↑^{2} a (b 个 a)$ $= a ↑^{3} b$ 。不同数量的高德纳箭号的计算优先级相同，且都是右结合，如 $3 ↑^{2} 3 ↑^{2} 3 = 3 ↑^{2} (3 ↑^{2} 3)$ ，所以实际上严谨一点应写作 $a ↑^{2} (a ↑^{2} (\dots (a ↑^{2} a) \dots)) (b 个 a, (b - 1) 对圆括号, (b - 1) 个“ ↑^{2} ”) = a ↑^{3} b$ 。显然还有“ $↑^{4}$ ”，“ $↑^{5}$ ”，“ $↑^{6}$ ”等等，以下是完整的定义：
$\begin{array}{c}\begin{array}{l}1.a\uparrow^1b=a\uparrow b.\\2.a\uparrow^cb=\begin{cases}a^b&,c=1\\a&,b=1\\a\uparrow^{c-1}(a\uparrow^c(b-1))&,c>1,b>1\end{cases}\\ 3.\text{如果以上均不符合,那么}a\uparrow^cb\text{的值不存在.}\end{array}\\\small\text{高德纳箭号表示法的定义}\end{array}$
例1 展开$2\uparrow\uparrow3$成指数塔。
$\begin{array}{ll}\text{解: }2\uparrow\uparrow3&=2\uparrow\uparrow2\uparrow\uparrow2 \\&=2\uparrow\uparrow(2\uparrow\uparrow2) \\&=2\uparrow\uparrow(2^2) \\&=2\uparrow\uparrow4 \\&=2\uparrow(2\uparrow\uparrow3) \\&=2^{2\uparrow\uparrow2} \\&=2^{2\uparrow(2\uparrow\uparrow2)} \\&=2^{2^{2^2}}\end{array}$
例2 $2\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow2$相当于$2$的（$2\uparrow^326$）层指数塔，或（$27$）个$2$相连幂。
$\begin{array}{ll}\text{解: }2\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow2&=2\uparrow^3(3\uparrow^22) \\&=2\uparrow^3(3^3) \\&=2\uparrow^327 \\&=2\uparrow\uparrow(2\uparrow^326)\end{array}$
使用高德纳箭号表示法，我们可以很容易地超越宇宙，乃至超越古戈尔、超越古戈尔普勒克斯等数。
——未完——
\(草稿部分{ ω^^ω=ε(0) ω^^ω>2=(ω^^ω)^^ω=ε(1) ω^^ω>3=((ω^^ω)^^ω)^^ω=ε(2) ω^^ω>ω=ε(ω) ω^^ω>(ω+1)=ε(ω+1) ω^^ω>ω^^ω=ε(ε(0)) ω^^ω>ω^^ω>ω^^ω=ε(ε(ε(0))) ω^^(ω+1)=ζ(0) (ω^^(ω+1))^^ω=ε(ζ(0)+1) (ω^^(ω+1))^^ω>ω=ε(ζ(0)+ω) (ω^^(ω+1))^^ω>(ω^^(ω+1))^^ω =ε(ε(ζ(0)+1)) (ω^^(ω+1))^^(ω+1)=ζ(1) ω^^(ω+1)>ω=ζ(ω) ω^^(ω+1)>ω^^(ω+1)>ω^^(ω+1)=ζ(ζ(ζ(0))) ω^^(ω+2)=η(0) ω^^(ω2)=φω(0) ω^^(ω^^ω)=φφ1(0)(0) ω^^^ω=Γ(0) ———————————— ω^^ω>>2=ω^^ω>ω^^ω=ε(ε(0)) ω^^ω>>ω=ζ(0) (ω^^ω>>ω)^^ω=ε(ζ(0)+1) (ω^^ω>>ω)^^ω>ω=ε(ζ(0)+ω) (ω^^ω>>ω)^^ω>(ω^^ω>>ω)^^ω =ε(ε(ζ(0)+1)) (ω^^ω>>ω)^^ω>>ω=ζ(1) ((ω^^ω>>ω)^^ω>>ω)^^ω>>ω=ζ(2) ω^^ω>>ω>ω=ζ(ω) (ω^^ω>>ω>ω)^^ω=ε(ζ(ω)+1) ω^^ω>>ω>(ω+1)=(ω^^ω>>ω>ω)^^ω>>ω =ζ(ω+1) ω^^ω>>(ω+1)=(ω^^ω>>ω)>ω^^ω=ζ(ε(0)) (ω^^ω>>(ω+1))^^ω>>ω=ζ(ε(0)+1) (ω^^ω>>(ω+1))^^ω>>ω>ω=ζ(ε(0)+ω) (ω^^ω>>(ω+1))^^ω>>(ω+1) =(ω^^ω>>(ω+1))^^ω>>ω >(ω^^ω>>(ω+1))^^ω=ζ(ε(ζ(ε(0))+1)) ((ω^^ω>>(ω+1))^^ω>>(ω+1))^^ω>>ω =ζ(ε(ζ(ε(0))+1)+1) ((ω^^ω>>(ω+1))^^ω>>(ω+1))^^ω>>(ω+1) =ζ(ε(ζ(ε(ζ(ε(0))+1))+1)) ω^^ω>>(ω+1)>ω=η(0) (ω^^ω>>(ω+1)>ω)^^ω>>ω}\)

第一章 超运算