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大数史：修订间差异

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创建页面，内容为“'''前大数时期（before 1889）''' * 约 BC 3500 - BC 500 年，苏美尔与巴比伦的大数使用：苏美尔人使用60进制（sexagesimal）系统，在行政、天文和数学文本中频繁记录大数。例如：《普林顿322》（Plimpton 322）泥板（约公元前1800年）记录了毕达哥拉斯三元组，其中涉及较大的整数（如1,590,000），用于土地测量或建筑计算。乌尔第三王朝（约公元前2112–前2004年…”
 
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'''前大数时期（before 1889）'''
'''早期大数时期（* - 1889）'''


* 约 BC 3500 - BC 500 年，苏美尔与巴比伦的大数使用：苏美尔人使用60进制（sexagesimal）系统，在行政、天文和数学文本中频繁记录大数。例如：《普林顿322》（Plimpton 322）泥板（约公元前1800年）记录了毕达哥拉斯三元组，其中涉及较大的整数（如1,590,000），用于土地测量或建筑计算。乌尔第三王朝（约公元前2112–前2004年）的行政记录中，使用“gur”的倍数表示谷物储备，如“10 gur”或更大数量。巴比伦人进一步发展了60进制，在天文表（如《当娜星表》）中记录行星运动周期。<ref>Eleanor Robson, Mathematics in Ancient Iraq: A Social History, 2008.</ref><ref>Piotr Steinkeller, The Administration of the Ur III Empire, 1981.</ref><ref>A. Leo Oppenheim, Ancient Mesopotamia: Portrait of a Dead Civilization ,1964.</ref>
* 约 BC 3500 - BC 500 年，苏美尔与巴比伦的大数使用：苏美尔人使用 60 进制（sexagesimal）系统，在行政、天文和数学文本中频繁记录大数。例如：《普林顿322》（Plimpton 322）泥板（约 BC 1800 年）记录了毕达哥拉斯三元组，其中涉及较大的整数（如 1590000），用于土地测量或建筑计算。乌尔第三王朝的行政记录中，使用“gur”的倍数表示谷物储备，如“10 gur”或更大数量。巴比伦人进一步发展了60进制，在天文表（如《当娜星表》）中记录行星运动周期。<ref>Robson, E. (2008). ''Mathematics in Ancient Iraq: A Social History''. Princeton University Press.</ref><ref>Steinkeller, P. (1981). ''The Administration of the Ur III Empire''. Undena Publications.</ref><ref>Oppenheim, A. L. (1964). ''Ancient Mesopotamia: Portrait of a Dead Civilization''. University of Chicago Press.</ref>
* 约 BC 3300 - BC 1300 年，哈拉帕文明的大数使用：哈拉帕文明使用十进制系统，在度量衡（如长度、重量）中体现对大数的划分。例如：长度单位“cubit”的倍数（如“10 cubit”），重量单位“karsha”的倍数（如“100 karsha”）。“Dholavira符号”等可能记录了更大的数量。<ref>A. S. Seshadri, The Indus Valley Civilization: A Reappraisal, 1982.</ref><ref>R. N. Singh, The Decipherment of Indus Script, 2008.</ref>
* 约 BC 3300 - BC 1300 年，哈拉帕文明的大数使用：哈拉帕文明使用十进制系统，在度量衡（如长度、重量）中体现对大数的划分。例如：长度单位“cubit”的倍数（如“10 cubit”），重量单位“karsha”的倍数（如“100 karsha”）。“Dholavira符号”等可能记录了更大的数量。<ref>Seshadri, A. S. (1982). ''The Indus Valley Civilization: A Reappraisal''. Munshiram Manoharlal Publishers.</ref><ref>Singh, R. N. (2008). ''The Decipherment of Indus Script''. Aryan Books International.</ref>
* 约 BC 3100 - BC 300 年，古埃及的大数使用：古埃及人使用十进制系统，在数学纸草（如《莱因德纸草》和《莫斯科纸草》）中记录大数，主要用于土地分配、谷物存储和金字塔建设。例如《莱因德纸草》（约公元前1650年）中提到“1,000,000”用于计算金字塔石块的体积（问题第79题）。法老对神的献祭记录中，使用“百”、“千”等单位（如“10,000头牛”），反映对大数的实用化命名。古埃及的“hekat”单位（约4.8升）的倍数（如“1,000 hekat”）也体现了对大数的系统化记录。<ref>Richard Gillings, Mathematics in the Time of the Pharaohs, 1972.</ref><ref>William Kelly Simpson, The Literature of Ancient Egypt, 1973.</ref>
* 约 BC 3100 - BC 300 年，古埃及的大数使用：古埃及人使用十进制系统，在数学纸草（如《莱因德纸草》和《莫斯科纸草》）中记录大数，主要用于土地分配、谷物存储和金字塔建设。例如《莱因德纸草》（约公元前1650年）中提到“1000000”用于计算金字塔石块的体积（问题第79题）。法老对神的献祭记录中，使用“百”、“千”等单位（如“10000头牛”），反映对大数的实用化命名。古埃及的“hekat”单位的倍数（如“1,000 hekat”）也体现了对大数的系统化记录。<ref>Gillings, R. J. (1972). ''Mathematics in the Time of the Pharaohs''. MIT Press.</ref><ref>Simpson, W. K. (1973). ''The Literature of Ancient Egypt''. Yale University Press.</ref>
* 约 BC 1600 - BC 256 年，中国的大数使用：商代甲骨文中，使用“百”、“千”、“万”等单位记录祭祀品数量（甲骨文卜辞“壬午卜，贞：王宾歳亡尤？ 百牛、百犬。”）周代金文（如《毛公鼎》）中，使用“万”单位（如“赐汝马四匹、牛二十又七、羊三百又五十”）。《尚书·牧誓》中“百万”一词首次出现（“率诸侯之师百万”）。<ref>郭沫若《甲骨文合集》（1978–1982）</ref><ref>陈梦家《西周铜器断代》（1955）</ref><ref>李迪《先秦数学文献研究》（1991）</ref>
* 约 BC 1600 - BC 256 年，中国的大数使用：商代甲骨文中，使用“百”、“千”、“万”等单位记录祭祀品数量（甲骨文卜辞“壬午卜，贞：王宾歳亡尤？ 百牛、百犬。”）周代金文（如《毛公鼎》）中，使用“万”单位（如“赐汝马四匹、牛二十又七、羊三百又五十”）。《尚书·牧誓》中“百万”一词首次出现（“率诸侯之师百万”）。<ref>郭沫若. (1978–1982). 《甲骨文合集》. 中华书局.</ref><ref>陈梦家. (1955). 《西周铜器断代》. 科学出版社.</ref><ref>李迪. (1991). 《先秦数学文献研究》. 内蒙古文化出版社.</ref>
* 约 BC 216 年，阿基米德（Archimedes，Ἀρχιμήδης）写下了《数沙者》（Ψαμμίτης）一书，其中描述了一种基于 myriad 的记数系统。<ref>Ἀρχιμήδης, Ψαμμίτης. Ilan Vardi's website, The Legacy of Archimedes. http://www.lix.polytechnique.fr/Labo/Ilan.Vardi/psammites.ps</ref><ref>Cal State La | Archimedes, Sand-Reckoner, August 19, 2009. http://www.calstatela.edu/faculty/hmendel/Ancient&#x20;Mathematics/Archimedes/SandReckoner/SandReckoner.html</ref>
* 约 BC 216 年，阿基米德（Archimedes，Ἀρχιμήδης）写下了《数沙者》（Ψαμμίτης）一书，其中描述了一种基于 myriad 的记数系统，并达到了 <math>10^{8\times10^{16}}</math><ref>Archimedes. (c. 216 BCE). ''Psammitēs'' (The Sand Reckoner). [Ancient Greek mathematical text].</ref><ref>Vardi, I. (n.d.). ''Psammites'' [Archimedes' Sand-Reckoner]. In ''The Legacy of Archimedes''. École Polytechnique. Retrieved from http://www.lix.polytechnique.fr/Labo/Ilan.Vardi/psammites.ps</ref><ref>Cal State La. (2009, August 19). ''Archimedes, Sand-Reckoner''. Retrieved from http://www.calstatela.edu/faculty/hmendel/Ancient+Mathematics/Archimedes/SandReckoner/SandReckoner.html</ref>
* 约 1 世纪，普鲁塔克（Plutarch）在《道德小品》（Moralia）的《论灵魂的原始与命运》（De animae procreatione in Timaeo）中，普鲁塔克通过柏拉图《蒂迈欧篇》的注释，讨论了宇宙的无限性与时间的永恒性。他提到“无限大的数”（ἄπειρος ἀριθμός）作为哲学隐喻，反映古希腊对“无限”概念的早期探索，尽管非严格数学定义，但为后世大数理论提供了哲学基础。<ref>Plutarch, Moralia.</ref><ref>H. Cherniss, Plutarch's Moralia, Vol.12.</ref><ref>A. A. Long, The Cambridge Companion to Plutarch, 2016.</ref>
* 约 BC 190 年，佩尔加的阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga，Ἀπολλώνιος）撰写了《圆锥曲线论》，并发明了罗马数字中高位数的上标符号。<ref>Ἀπολλώνιος ὁ Περγαῖος. (c. 225 BCE). ''Κωνικές Τομές'' [Conic Sections].</ref><ref>Taliaferro, R. (Ed.). (1952). ''Apollonius of Perga: Conica'' (Vol. 2). Harvard University Press.</ref>
* 约 190 - 210 年，东汉数学家徐岳（或约公元 540 - 560 年，南北朝时期数学家甄鸾）撰写出《数术记遗》一书，相当完整地记载了中国表示数量的数词，这些数词计有：一、二 、三、四、五、六、七、八、九、 十、百、千、万（十千）、亿、兆（万亿）、京、垓 、秭、穰、沟、涧、正、载。还描述了中国古代三种数字单位制：上数、中数、下数。<ref>郭书春 刘钝校点．《算经十书》第二册，《数术记遗》．辽宁．辽宁教育出版社．1998．第3页</ref><ref>吴文俊主编．《中国数学史大系》第四卷第五章《数术记遗》 ．北京．北京师范大学出版社．2000．90-91页</ref><ref>Joseph Needham, Science and Civilisation in China, Vol.3, 1959.</ref>
* 约 BC 200 - 100 年，《方便心论》可能将"Jaghanya Parīta Asaṃkhyāta"大致定义为约 <math>10\uparrow\uparrow(1.285\times10^{136})</math>。<ref>《方便心论》. (n.d.).</ref>
* 约 3-4 世纪，《华严经》成书，涉及阿僧祇、无量、不可说不可说转等大数，与中国上数记数核心一致。<ref>《大方广佛华严经》</ref><ref>Paul Demiéville, The Mirror of the Mind.</ref>
* 约 1 世纪，普鲁塔克（Plutarch）在《道德小品》（Moralia）的《论灵魂的原始与命运》（De animae procreatione in Timaeo）中，普鲁塔克通过柏拉图《蒂迈欧篇》的注释，讨论了宇宙的无限性与时间的永恒性。他提到“无限大的数”（ἄπειρος ἀριθμός）作为哲学隐喻，反映古希腊对“无限”概念的早期探索，尽管非严格数学定义，但为后世大数理论提供了哲学基础。<ref>Plutarch. (n.d.). ''Moralia''.</ref><ref>Cherniss, H. (1976). ''Plutarch's Moralia'' (Vol. 12). Harvard University Press.</ref><ref>Long, A. A. (Ed.). (2016). ''The Cambridge Companion to Plutarch''. Cambridge University Press.</ref>
* 约 4-5 世纪，《孙子算经》载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京，万万京曰陔，万万陔曰秭，万万秭曰壤，万万壤曰沟，万万沟曰涧，万万涧曰正，万万正曰载。”和《数术记遗》一致。<ref>《孙子算经》．https://www.zhzidian.com/dianji/sunzisuanjing/</ref>
* 约 190 - 210 年，东汉数学家徐岳（或约公元 540 - 560 年，南北朝时期数学家甄鸾）撰写出《数术记遗》一书，相当完整地记载了中国表示数量的数词，这些数词计有：一、二 、三、四、五、六、七、八、九、 十、百、千、万（十千）、亿、兆（万亿）、京、垓 、秭、穰、沟、涧、正、载。还描述了中国古代三种数字单位制：上数、中数、下数。<ref>郭书春, 刘钝(校点). (1998). 《算经十书》第二册: 《数术记遗》. 辽宁教育出版社.</ref><ref>吴文俊(主编). (2000). 《中国数学史大系》第四卷: 第五章《数术记遗》. 北京师范大学出版社.</ref><ref>Needham, J. (1959). ''Science and Civilisation in China'' (Vol. 3). Cambridge University Press.</ref>
* 703 年，贝德（Venerable Bede）在《时间的计算》（De temporum ratione）中，系统化了时间单位的命名，包括“世纪”（saeculum，100年）、“千年”（millennium，1000年）等。<ref>Venerable Bede, De temporum ratione, 703.</ref><ref>C. W. Jones, Bedae Opera de Temporibus.</ref><ref>D. J. Shaw, The Cambridge History of Medieval English Literature, 1999.</ref>
* 约 3-4 世纪，《华严经》成书，涉及阿僧祇、无量、不可说不可说转等大数，与中国上数记数核心一致。<ref>《大方广佛华严经》. (n.d.).</ref><ref>Demiéville, P. (1991). The Mirror of the Mind. In ''Studies in East Asian Thought'' (pp. 1-25). Association for Asian Studies.</ref>
* 1484 年，尼古拉斯·丘卡特（Nicolas Chuquet）在著作《数的三重艺术》（Triparty en la science des nombres）中，首次系统描述了使用指数符号表示大数的方法。<ref>Chuquet, N. (1484). ''Triparty en la science des nombres''. Manuscrit BnF Fr. 2186. </ref><ref>Wagner, H. (Ed.) (1963). ''Nicolas Chuquet’s Triparty''. Les Belles Lettres, Paris.</ref>
* 约 4-5 世纪，《孙子算经》载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京，万万京曰陔，万万陔曰秭，万万秭曰壤，万万壤曰沟，万万沟曰涧，万万涧曰正，万万正曰载。”和《数术记遗》一致。<ref>《孙子算经》. (n.d.). 中华典籍网. Retrieved from https://www.zhzidian.com/dianji/sunzisuanjing/</ref>
* 1494 年，“million”（百万，10<sup>6</sup>）一词最早见于意大利数学家卢卡·帕乔利（Luca Pacioli）的《算术、几何、比与比例概要》（Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità）。<ref>Luca Pacioli, Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità, 1494.</ref>“billion”（十亿，10<sup>9</sup>）和“trillion”（万亿，10<sup>12</sup>）等术语在16世纪法国数学文献中开始使用，尽管当时定义与现代不同（如法国曾用“billion”表示10<sup>12</sup>，而英语国家用10<sup>9</sup>）。<ref>D. E. Smith, History of Mathematics, Vol.2, 1925.</ref>
* 703 年，贝德（Venerable Bede）在《时间的计算》（De temporum ratione）中，系统化了时间单位的命名，包括“世纪”（saeculum，100年）、“千年”（millennium，1000年）等。<ref>Venerable Bede. (703). ''De temporum ratione'' [On the Reckoning of Time].</ref><ref>Jones, C. W. (Ed.). (1943). ''Bedae Opera de Temporibus'' [The Works of Bede on Time]. Harvard University Press.</ref><ref>Shaw, D. J. (Ed.). (1999). ''The Cambridge History of Medieval English Literature''. Cambridge University Press.</ref>
* 1544 年，米夏埃尔·施蒂费尔（Michael Stifel）在《整数算术》（Arithmetica integra）中，提出了用“+”和“-”表示指数的符号系统，例如“12+3”表示12×10<sup>3</sup>（即12000），“12-1”表示12×10<sup>-1</sup>（即1.2）。这一符号系统简化了大数的书写，为后世科学记数法的发展奠定了基础，也体现了文艺复兴时期对大数表示的数学化尝试。<ref>Michael Stifel, Arithmetica integra, 1544.</ref><ref>J. Klein, Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra, 1968.</ref>
* 1484 年，尼古拉斯·丘卡特（Nicolas Chuquet）在著作《数的三重艺术》（Triparty en la science des nombres）中，首次系统描述了使用指数符号表示大数的方法。<ref>Chuquet, N. (1484). ''Triparty en la science des nombres'' [Manuscript]. Bibliothèque Nationale de France, Fr. 2186. </ref><ref>Wagner, H. (Ed.). (1963). ''Nicolas Chuquet’s Triparty''. Les Belles Lettres.</ref>
* 1585 年，西蒙·斯特芬（Simon Stevin）在著作《十进制》（De Thiende）中，系统阐述了十进制小数，并提出用指数表示数的思想。<ref>Stevin, S. (1585). ''De Thiende''. </ref><ref>Stevin, S. (1608). ''Disme: The Art of Tenths''. London. </ref>
* 1494 年，“million”（百万，10<sup>6</sup>）一词最早见于意大利数学家卢卡·帕乔利（Luca Pacioli）的《算术、几何、比与比例概要》（Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità）。<ref>Pacioli, L. (1494). ''Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità''. Pagani.</ref>“billion”（十亿，10<sup>9</sup>）和“trillion”（万亿，10<sup>12</sup>）等术语在 16 世纪法国数学文献中开始使用，尽管当时定义与现代不同（如法国曾用“billion”表示10<sup>12</sup>，而英语国家用10<sup>9</sup>）。<ref>Smith, D. E. (1925). ''History of Mathematics'' (Vol. 2). Ginn and Company.</ref>
* 1687 年，艾萨克·牛顿（Isaac Newton）在《自然哲学的数学原理》（Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica）中，广泛使用指数符号（如“a×10<sup>b</sup>”）表示天体运动中的极大或极小数值，其符号体系已与现代形式一致。1713 年，理查德·本特利（Richard Bentley）在编辑牛顿《原理》的第二版时，进一步标准化了指数符号的书写规则，这一规则沿用至今。<ref>Newton, I. (1687). ''Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica''. London. </ref><ref>Cohen, I. B., & Whitman, A. (Eds.) (1999). ''The Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy''. University of California Press.</ref><ref>Bentley, R. (Ed.) (1713). ''The Mathematical Principles of Natural Philosophy, By Isaac Newton''. London.</ref>
* 1544 年，米夏埃尔·施蒂费尔（Michael Stifel）在《整数算术》（Arithmetica integra）中，提出了用“+”和“-”表示指数的符号系统，例如“12+3”表示12×10<sup>3</sup>（即12000），“12-1”表示12×10<sup>-1</sup>（即1.2）。这一符号系统简化了大数的书写，为后世科学记数法的发展奠定了基础，也体现了文艺复兴时期对大数表示的数学化尝试。<ref>Stifel, M. (1544). ''Arithmetica integra''. Johannes Petreius.</ref><ref>Klein, J. (1968). ''Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra''. MIT Press.</ref>
* 1705 年，“quadrillion”最早见于法国数学家安托万·帕尔芒蒂耶（Antoine Parent）的《数学分析》（Élémens de mathématiques）中。<ref>Antoine Parent, Élémens de mathématiques, 1705.</ref>
* 1585 年，西蒙·斯特芬（Simon Stevin）在著作《十进制》（De Thiende）中，系统阐述了十进制小数，并提出用指数表示数的思想。<ref>Stevin, S. (1585). ''De Thiende''. Plantin. </ref><ref>Stevin, S. (1608). ''Disme: The Art of Tenths''. Robert Barker (London). </ref>
* 1748 年，莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在《无穷分析引论》（Introductio in analysin infinitorum）中，系统化了无穷大和无穷小的概念，明确区分了“可数无穷大”（如自然数集合的基数）与“不可数无穷大”（如实数集合的基数），并指出“任何有限的数都无法完全表示无穷大”。<ref>Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum, 1748.</ref>
* 1631 年，吉田光由（Yoshida Mitsuyoshi）在《尘劫记》（Jinkoki）中定义了数位系统，直至"无量大数"（muryoutaisuu）。<ref>Yoshida, M. (1631). ''Jinkoki (塵劫記). (n.p.).''</ref>
* 1751 - 1772 年，“quintillion”最早见于法国数学家让·勒朗·达朗贝尔（Jean le Rond d'Alembert）的《百科全书》（Encyclopédie）条目中。<ref>Jean le Rond d'Alembert, Encyclopédie, 1751.</ref>
* 1687 年，艾萨克·牛顿（Isaac Newton）在《自然哲学的数学原理》（Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica）中，广泛使用指数符号（如“a×10<sup>b</sup>”）表示天体运动中的极大或极小数值，其符号体系已与现代形式一致。1713 年，理查德·本特利（Richard Bentley）在编辑牛顿《原理》的第二版时，进一步标准化了指数符号的书写规则，这一规则沿用至今。<ref>Newton, I. (1687). ''Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica''. Samuel Smith & Benjamin Walford (London). </ref><ref>Cohen, I. B., & Whitman, A. (Eds.). (1999). ''The Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy''. University of California Press.</ref><ref>Bentley, R. (Ed.). (1713). ''The Mathematical Principles of Natural Philosophy, By Isaac Newton''. William Pearson (London).</ref>
* 1830 年，乔治·皮科克（George Peacock）在《代数符号论》（Treatise on Algebra）中提出“符号代数”的概念，强调通过规则（如加法、乘法的递归定义）生成新数。<ref>George Peacock, Treatise on Algebra, 1830.</ref>
* 1705 年，“quadrillion”最早见于法国数学家安托万·帕尔芒蒂耶（Antoine Parent）的《数学分析》（Élémens de mathématiques）中。<ref>Parent, A. (1705). ''Élémens de mathématiques''. Jean Baptiste Coignard (Paris).</ref>
* 1748 年，莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在《无穷分析引论》（Introductio in analysin infinitorum）中，系统化了无穷大和无穷小的概念，明确区分了“可数无穷大”（如自然数集合的基数）与“不可数无穷大”（如实数集合的基数），并指出“任何有限的数都无法完全表示无穷大”。<ref>Euler, L. (1748). ''Introductio in analysin infinitorum''. Marc Michel (Lausanne).</ref>
* 1751 - 1772 年，“quintillion”最早见于法国数学家让·勒朗·达朗贝尔（Jean le Rond d'Alembert）的《百科全书》（Encyclopédie）条目中。<ref>d'Alembert, J. L. R. (1751). ''Encyclopédie''. Denis Diderot & Jean le Rond d'Alembert (Eds.).</ref>
* 1830 年，乔治·皮科克（George Peacock）在《代数符号论》（Treatise on Algebra）中提出“符号代数”的概念，强调通过规则（如加法、乘法的递归定义）生成新数。<ref>Peacock, G. (1830). ''Treatise on Algebra''. J. & J. J. Deighton (Cambridge).</ref>


'''早期大数时期 (1889-1970)'''
'''前大数时期 (1889 - 1970)'''


施工中
* 1889 年，朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）在著作《算术原理：新方法阐述》（Arithmetices principia, nova methodo exposita）中，首次系统提出自然数的公理化定义，后继函数（successor function）成为其核心概念之一。<ref>Peano, G. (1889). ''Arithmetices principia, nova methodo exposita''. Torino: Bocca.</ref><ref>Kleene, S. C. (1952). ''Introduction to Metamathematics''. Van Nostrand.</ref>
 
* 1908 年，奥斯瓦尔德·维布伦（Osward Veblen）在 1908–1910 年间发表的论文中，首次系统提出了通过递归定义构造“连续递增函数”的方法，为Veblen 函数奠定了基础，在论文中讨论了如何通过递归定义生成更大的序数。<ref>Veblen, O. (1908). "Continuous Increasing Functions of Finite and Transfinite Order". ''Transactions of the American Mathematical Society'', 9(2), 278–296.</ref><ref>Veblen, O. (1910). ''The Foundations of Geometry''. The Macmillan Company.</ref><ref>Hilbert, D., & Ackermann, W. (1928). ''Grundzüge der Theoretischen Logik''. Springer.</ref>
* Successtor Function, 1889, Peano, F
* 1923 年，约翰·冯·诺依曼（John von Neumann）在论文中，提出用序数定义自然数，将后继函数具体化为集合论中的运算。<ref>von Neumann, J. (1923). "Zur Einführung der transfiniten Zahlen". ''Acta litterarum ac scientiarum Regiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio scientiarum mathematicarum''. 1: 199–208.</ref><ref>Jech, T. (2003). ''Set Theory: The Third Millennium Edition''. Springer. </ref>
* '''Veblen's Function（维布伦函数）, 1908, Veblen, S'''
* 1927 年，Gabriel Sudan 在论文中定义了 Sudan's Function，作为计算理论中的重要例子，类似于阿克曼函数。<ref>Sudan, Gabriel (1927). "Sur le nombre transfini ω<sup>ω</sup>". ''Bulletin Mathématique de la Société Roumaine des Sciences'' '''30''': 11–30.</ref><ref>HandWiki. (2025, May 18). ''Biography: Gabriel Sudan''. Retrieved from https://handwiki.org/wiki/Biography:Gabriel_Sudan</ref>
* Sudan's Function, 1927, Sudan, F
* 1928 年，威廉·阿克曼（Wilhelm Ackermann）在论文中定义了最早的阿克曼函数（Ackermann's Function）。<ref>Ackermann, Wilhelm (1928). ''Zum Hilbertschen Aufbau der reellen Zahlen.'' Mathematische Annalen. 99: 118–133.</ref>
* '''Ackermann's Function（阿克曼函数）, 1928, Ackermann, F'''
* 1944 年，鲁本·古德斯坦（Reuben Goodstein）在论文中首次定义了 Goodstein 序列，并提出其终止性定理。该定理的原始证明基于序数理论：通过将每个 Goodstein 序列映射到一个递减的序数序列（利用“遗传基数”的序数解释），利用良序原理（每个递减的序数序列必终止）证明所有 Goodstein 序列最终会达到 0。这一工作是对希尔伯特第一个问题（连续统假设）的回应之一，但当时未引起广泛关注。<ref>Goodstein, R. L. (1944). On the Restricted Ordinal Theorem. ''Journal of Symbolic Logic'', 9(2), 33–41.</ref><ref>Kirby, L., & Paris, J. (1982). Accessible Independence Results for Peano Arithmetic. ''Bulletin of the London Mathematical Society'', 14(4), 285–293.</ref>
* '''Goodstein sequence（古德斯坦序列）, 1944, Goodstein, F'''
* Weak Goodstein sequence, 1944, Goodstein, F
* Weak Goodstein sequence, 1944, Goodstein, F
* '''Hyper Operation（超运算）, 1947, Goodstein, N'''
* '''Hyper Operation（超运算）, 1947, Goodstein, N'''
第41行： 第43行：
* Milton Green's Function(s), 1964, Milton Green, F
* Milton Green's Function(s), 1964, Milton Green, F


'''(?)时期'''
'''中大数时期 (1970 - 2009)'''


* '''Fast Growing Hierarchy（FGH，快速增长层级）, 1970, Wainer & Löb, H'''
* '''Fast Growing Hierarchy（FGH，快速增长层级）, 1970, Wainer & Löb, H'''
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* PlantStar's Debut Notation, 2018, Alpineer, N
* PlantStar's Debut Notation, 2018, Alpineer, N
* Aperiotion, 2024, -, F
* Aperiotion, 2024, -, F
== 参考文献 ==
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早期大数时期（* - 1889）

  • 约 BC 3500 - BC 500 年，苏美尔与巴比伦的大数使用：苏美尔人使用 60 进制（sexagesimal）系统，在行政、天文和数学文本中频繁记录大数。例如：《普林顿322》（Plimpton 322）泥板（约 BC 1800 年）记录了毕达哥拉斯三元组，其中涉及较大的整数（如 1590000），用于土地测量或建筑计算。乌尔第三王朝的行政记录中，使用“gur”的倍数表示谷物储备，如“10 gur”或更大数量。巴比伦人进一步发展了60进制，在天文表（如《当娜星表》）中记录行星运动周期。[1][2][3]
  • 约 BC 3300 - BC 1300 年，哈拉帕文明的大数使用：哈拉帕文明使用十进制系统，在度量衡（如长度、重量）中体现对大数的划分。例如：长度单位“cubit”的倍数（如“10 cubit”），重量单位“karsha”的倍数（如“100 karsha”）。“Dholavira符号”等可能记录了更大的数量。[4][5]
  • 约 BC 3100 - BC 300 年，古埃及的大数使用：古埃及人使用十进制系统，在数学纸草（如《莱因德纸草》和《莫斯科纸草》）中记录大数，主要用于土地分配、谷物存储和金字塔建设。例如《莱因德纸草》（约公元前1650年）中提到“1000000”用于计算金字塔石块的体积（问题第79题）。法老对神的献祭记录中，使用“百”、“千”等单位（如“10000头牛”），反映对大数的实用化命名。古埃及的“hekat”单位的倍数（如“1,000 hekat”）也体现了对大数的系统化记录。[6][7]
  • 约 BC 1600 - BC 256 年，中国的大数使用：商代甲骨文中，使用“百”、“千”、“万”等单位记录祭祀品数量（甲骨文卜辞“壬午卜，贞：王宾歳亡尤？ 百牛、百犬。”）周代金文（如《毛公鼎》）中，使用“万”单位（如“赐汝马四匹、牛二十又七、羊三百又五十”）。《尚书·牧誓》中“百万”一词首次出现（“率诸侯之师百万”）。[8][9][10]
  • 约 BC 216 年，阿基米德（Archimedes，Ἀρχιμήδης）写下了《数沙者》（Ψαμμίτης）一书，其中描述了一种基于 myriad 的记数系统，并达到了 108×1016[11][12][13]
  • 约 BC 190 年，佩尔加的阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga，Ἀπολλώνιος）撰写了《圆锥曲线论》，并发明了罗马数字中高位数的上标符号。[14][15]
  • 约 BC 200 - 100 年，《方便心论》可能将"Jaghanya Parīta Asaṃkhyāta"大致定义为约 10↑↑(1.285×10136)。[16]
  • 约 1 世纪，普鲁塔克（Plutarch）在《道德小品》（Moralia）的《论灵魂的原始与命运》（De animae procreatione in Timaeo）中，普鲁塔克通过柏拉图《蒂迈欧篇》的注释，讨论了宇宙的无限性与时间的永恒性。他提到“无限大的数”（ἄπειρος ἀριθμός）作为哲学隐喻，反映古希腊对“无限”概念的早期探索，尽管非严格数学定义，但为后世大数理论提供了哲学基础。[17][18][19]
  • 约 190 - 210 年，东汉数学家徐岳（或约公元 540 - 560 年，南北朝时期数学家甄鸾）撰写出《数术记遗》一书，相当完整地记载了中国表示数量的数词，这些数词计有：一、二 、三、四、五、六、七、八、九、 十、百、千、万（十千）、亿、兆（万亿）、京、垓 、秭、穰、沟、涧、正、载。还描述了中国古代三种数字单位制：上数、中数、下数。[20][21][22]
  • 约 3-4 世纪，《华严经》成书，涉及阿僧祇、无量、不可说不可说转等大数，与中国上数记数核心一致。[23][24]
  • 约 4-5 世纪，《孙子算经》载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京，万万京曰陔，万万陔曰秭，万万秭曰壤，万万壤曰沟，万万沟曰涧，万万涧曰正，万万正曰载。”和《数术记遗》一致。[25]
  • 703 年，贝德（Venerable Bede）在《时间的计算》（De temporum ratione）中，系统化了时间单位的命名，包括“世纪”（saeculum，100年）、“千年”（millennium，1000年）等。[26][27][28]
  • 1484 年，尼古拉斯·丘卡特（Nicolas Chuquet）在著作《数的三重艺术》（Triparty en la science des nombres）中，首次系统描述了使用指数符号表示大数的方法。[29][30]
  • 1494 年，“million”（百万，106）一词最早见于意大利数学家卢卡·帕乔利（Luca Pacioli）的《算术、几何、比与比例概要》（Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità）。[31]“billion”（十亿，109）和“trillion”（万亿，1012）等术语在 16 世纪法国数学文献中开始使用，尽管当时定义与现代不同（如法国曾用“billion”表示1012，而英语国家用109）。[32]
  • 1544 年，米夏埃尔·施蒂费尔（Michael Stifel）在《整数算术》（Arithmetica integra）中，提出了用“+”和“-”表示指数的符号系统，例如“12+3”表示12×103（即12000），“12-1”表示12×10-1（即1.2）。这一符号系统简化了大数的书写，为后世科学记数法的发展奠定了基础，也体现了文艺复兴时期对大数表示的数学化尝试。[33][34]
  • 1585 年，西蒙·斯特芬（Simon Stevin）在著作《十进制》（De Thiende）中，系统阐述了十进制小数，并提出用指数表示数的思想。[35][36]
  • 1631 年，吉田光由（Yoshida Mitsuyoshi）在《尘劫记》（Jinkoki）中定义了数位系统，直至"无量大数"（muryoutaisuu）。[37]
  • 1687 年，艾萨克·牛顿（Isaac Newton）在《自然哲学的数学原理》（Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica）中，广泛使用指数符号（如“a×10b”）表示天体运动中的极大或极小数值，其符号体系已与现代形式一致。1713 年，理查德·本特利（Richard Bentley）在编辑牛顿《原理》的第二版时，进一步标准化了指数符号的书写规则，这一规则沿用至今。[38][39][40]
  • 1705 年，“quadrillion”最早见于法国数学家安托万·帕尔芒蒂耶（Antoine Parent）的《数学分析》（Élémens de mathématiques）中。[41]
  • 1748 年，莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）在《无穷分析引论》（Introductio in analysin infinitorum）中，系统化了无穷大和无穷小的概念，明确区分了“可数无穷大”（如自然数集合的基数）与“不可数无穷大”（如实数集合的基数），并指出“任何有限的数都无法完全表示无穷大”。[42]
  • 1751 - 1772 年，“quintillion”最早见于法国数学家让·勒朗·达朗贝尔（Jean le Rond d'Alembert）的《百科全书》（Encyclopédie）条目中。[43]
  • 1830 年，乔治·皮科克（George Peacock）在《代数符号论》（Treatise on Algebra）中提出“符号代数”的概念，强调通过规则（如加法、乘法的递归定义）生成新数。[44]

前大数时期 (1889 - 1970)

  • 1889 年，朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）在著作《算术原理：新方法阐述》（Arithmetices principia, nova methodo exposita）中，首次系统提出自然数的公理化定义，后继函数（successor function）成为其核心概念之一。[45][46]
  • 1908 年，奥斯瓦尔德·维布伦（Osward Veblen）在 1908–1910 年间发表的论文中，首次系统提出了通过递归定义构造“连续递增函数”的方法，为Veblen 函数奠定了基础，在论文中讨论了如何通过递归定义生成更大的序数。[47][48][49]
  • 1923 年，约翰·冯·诺依曼（John von Neumann）在论文中，提出用序数定义自然数，将后继函数具体化为集合论中的运算。[50][51]
  • 1927 年，Gabriel Sudan 在论文中定义了 Sudan's Function，作为计算理论中的重要例子，类似于阿克曼函数。[52][53]
  • 1928 年，威廉·阿克曼（Wilhelm Ackermann）在论文中定义了最早的阿克曼函数（Ackermann's Function）。[54]
  • 1944 年，鲁本·古德斯坦（Reuben Goodstein）在论文中首次定义了 Goodstein 序列，并提出其终止性定理。该定理的原始证明基于序数理论：通过将每个 Goodstein 序列映射到一个递减的序数序列（利用“遗传基数”的序数解释），利用良序原理（每个递减的序数序列必终止）证明所有 Goodstein 序列最终会达到 0。这一工作是对希尔伯特第一个问题（连续统假设）的回应之一，但当时未引起广泛关注。[55][56]
  • Weak Goodstein sequence, 1944, Goodstein, F
  • Hyper Operation（超运算）, 1947, Goodstein, N
  • Bachmann OCF, 1950, Bachmann, C
  • Steinhaus-Moser Notation, 1950, Hugo Steinhaus & Leo Moser, N
  • Triangle Function, 1950, Hugo Steinhaus, F
  • Square Function, 1950, Hugo Steinhaus, F
  • Circle Function, 1950, Hugo Steinhaus, F
  • Grzegorczyk Hierarchy, 1953, Grzegorczyk, H
  • Busy Beaver Function（BB，忙碌海狸函数）, Rado, 1961, F
  • Milton Green's Function(s), 1964, Milton Green, F

中大数时期 (1970 - 2009)

  • Fast Growing Hierarchy（FGH，快速增长层级）, 1970, Wainer & Löb, H
  • Graham's Function（葛立恒函数）, 1971, Graham, F
  • Hardy Hierarchy（HH，哈代层级）, 1972, Wainer, N
  • Knuth Arrow Notation（高德纳箭头）, 1976, Knuth, N
  • Tetrofactorial, Pentatorial, -, -, F
  • Tetration, Pentation, Hexation, Heptation, Octation, Enneation, Decation, Undecation, Doedecation, Tredecation, -, -, F
  • Graham's Number（葛立恒数）, 1977, Graham & Garden, F
  • Slow Growing Hierarchy（SGH，慢速增长层级）, 1980, Cichon & Wainer, H
  • Rapidly Growing Ramsey Function, 1981, Ketonen & Solovay, H
  • Rose's Growing Hierarchy, 1984, Rose, H
  • Buchholz OCF（BOCF）, 1986, Buchholz, C
  • Wow Function, 1991, Joel Spencer, F
  • Laver Table, 1992, Laver, F
  • Rathjen's OCF（ROCF）, 1995, Rathjen, C
  • Superfactorial, 1995, Clifford A. Pickover, F
  • Hyperfactorial, 1995, Sloane & Plouffe, F
  • Conway's Chain（康威链）, 1996, Conway, N
  • Mythical Tree Problem, 1999, Friedman Harvey, F
  • Loader's Number, 2001, Loader, F
  • Torian, 2009, Aalbert Torsius, F
  • Big Ass Number, 2009, Matt Leach, F
  • Really Big Ass Number, 2009, Matt Leach, F
  • Expostfacto Function, 2009, Tom Kreitzberg, F
  • Booga- Function, 2011, Sbiis Saibian, F
  • Friedman's Finite Ordered Tree Problem, 2014, Harvey Friedman, F
  • Friedman's Vector Reduction Problem, 2014, Harvey Friedman, F
  • Bop-counting Function, 2015, Harvey Friedman, F
  • PlantStar's Debut Notation, 2018, Alpineer, N
  • Aperiotion, 2024, -, F

参考文献

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