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高德纳箭头：修订间差异

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第1行： 第1行：
'''高德纳箭头(Knuth's arrow notation, 亦称"上箭头记号")'''，一种满足'''右结合律'''的二元运算。其定义如下：
'''高德纳箭头(Knuth's arrow notation，亦称"上箭头记号")'''，一种满足'''右结合律'''的二元运算。它涉及对运算的递归。<ref>Guy, R. K. and Selfridge, J. L. "The Nesting and Roosting Habits of the Laddered Parenthesis." ''Amer. Math. Monthly'' '''80''', 868-876, 1973.</ref>


=== 定义 ===
高德纳箭头由如下公式递归定义：
* <math>a \uparrow b = a^{b}</math>
* <math>a \uparrow b = a^{b}</math>
* <math>a \uparrow^{c} 0 = 1</math>
* <math>a \uparrow^{c} 0 = 1</math>
* <math>a \uparrow^{c+1} (b+1) = a \uparrow^{c} ( a \uparrow^{c+1} b)</math>
* <math>a \uparrow^{c+1} (b+1) = a \uparrow^{c} ( a \uparrow^{c+1} b)</math>


其中，<math>a,c</math>均为'''正整数，'''<math>b</math>为'''自然数'''，<math>a \uparrow^{c} b = a\ \underbrace{ \uparrow\uparrow\cdots\uparrow }_{c}\ b</math>.
其中，<math>a,c</math> 均为'''正整数，'''<math>b</math> 为'''自然数'''，<math>a \uparrow^{c} b = a\ \underbrace{ \uparrow\uparrow\cdots\uparrow }_{c}\ b</math>。


在计算高德纳箭头时，如无括号，按照从右往左的顺序计算，即：  
在计算高德纳箭头时，如无括号，按照从右往左的顺序计算，即：  
第13行： 第15行：
若将高德纳箭头的右结合律更替为左结合律，其余定义不变，将得到[[下箭号表示法|下箭头记号]]。  
若将高德纳箭头的右结合律更替为左结合律，其余定义不变，将得到[[下箭号表示法|下箭头记号]]。  


==== 性质 ====
=== 性质 ===
 
高德纳箭头有如下性质：
高德纳箭头有如下性质：


===== '''展开''' =====
==== '''展开''' ====
<math>n \uparrow^{k} m = \underbrace{n \uparrow^{k-1} n \uparrow^{k-1} \cdots \uparrow^{k-1} n }_{\text{m个n}}</math>
<math>n \uparrow^{k} m = \underbrace{n \uparrow^{k-1} n \uparrow^{k-1} \cdots \uparrow^{k-1} n }_{\text{m个n}}</math>


===== 恒等律 =====
==== 恒等律 ====
 
<math>2 \uparrow^{c+1} 2 = 2\uparrow^c2=.. .=2\uparrow2=4</math>
 
<math>1 \uparrow^{c+1} b = 1\uparrow^c1\uparrow^{c+1}(b-1)=1\uparrow^cb_2=.. .=1\uparrow b_k=1</math>
 
<math>a \uparrow^{c+1} 1 = a \uparrow^{c}a\uparrow^{c+1}0 =a\uparrow^{c} 1=...=a\uparrow1=a</math>
 
===== 增长率 =====


高德纳箭头的[[FGH]]增长率为<math>\omega</math>，特别地，
* <math>2 \uparrow^{c+1} 2 = 2\uparrow^c2=.. .=2\uparrow2=4</math>
* <math>1 \uparrow^{c+1} b = 1\uparrow^c1\uparrow^{c+1}(b-1)=1\uparrow^cb_2=.. .=1\uparrow b_k=1</math>
* <math>a \uparrow^{c+1} 1 = a \uparrow^{c}a\uparrow^{c+1}0 =a\uparrow^{c} 1=...=a\uparrow1=a</math>


<math>a \uparrow^{c} b \approx f_{c+1}(b) </math>，
==== 增长率 ====
高德纳箭头的 [[FGH]] 增长率为 <math>\omega</math>，特别地，<math>a \uparrow^{c} b \approx f_{c+1}(b) </math>。


该推论可通过审视以下三组式子得到：
该推论可通过审视以下三组式子得到：


<math>a\uparrow b\approx f_2(b)=2^b\times b</math>
* <math>a\uparrow b\approx f_2(b)=2^b\times b</math>
 
* <math>a \uparrow^{c+1} (b+1) = a \uparrow^{c} ( a \uparrow^{c+1} b)</math>
<math>a \uparrow^{c+1} (b+1) = a \uparrow^{c} ( a \uparrow^{c+1} b)</math>
* <math>f_{c+1}(b+1)=f_{c}^{b+1}(b+1)=f_c(f_c^b(b+1))\approx f_c(f_c^b(b))=f_c(f_{c+1}(b))</math>


<math>f_{c+1}(b+1)=f_{c}^{b+1}(b+1)=f_c(f_c^b(b+1))\approx f_c(f_c^b(b))=f_c(f_{c+1}(b))</math>
==== 超运算 ====
高德纳箭头是目前已被广泛认可、基本采用的超运算记号。


===== 超运算 =====
若定义后继运算的运算等级为 0，那么 n 个高德纳箭头的运算等级为 n+2。


高德纳箭头是目前已被广泛认可、基本采用<ref>曹知秋. 大数理论: Vol.1[EB/OL]. (2025-05-16) [2025-07-02]: 35-36.</ref>的超运算记号。
=== 历史 ===
 
高德纳箭头是由 Donald Ervin Knuth 在 1976 年发明的大数记号<ref>Donald E. Knuth, ''Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness'', Advances in Our Ability to Compute are Bringing Us Substantially Closer to Ultimate Limitations, Science 194, pp. 1235--1242, 1976.https://cse-robotics.engr.tamu.edu/dshell/cs625/finiteness.pdf</ref>，曾在 1977 年被 Martin Gardner 用于递归地定[[葛立恒数]]。<ref>GARDNER M. Mathematical games[J]. Scientific American, 1977, 237(3): 28-38.https://raw.githubusercontent.com/AllenDowney/ModSimPy/master/papers/scientific_american_nov_77.pdf</ref>
若定义后继运算的运算等级为<math>0</math>，那么 <math>n</math> 个高德纳箭头的运算等级为 <math>n+2</math>
 
==== 历史 ====
 
高德纳箭头是由 <math>\mathrm{Donald\ Ervin\ Knuth}</math> 在1976年发明的大数记号<ref>Donald E. Knuth, ''Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness'', Advances in Our Ability to Compute are Bringing Us Substantially Closer to Ultimate Limitations, Science 194, pp. 1235--1242, 1976.https://cse-robotics.engr.tamu.edu/dshell/cs625/finiteness.pdf</ref>，曾在1977年被 <math> \mathrm{Martin\ Gardner} </math> 用于递归地定义[[葛立恒数]]。<ref>GARDNER M. Mathematical games[J]. Scientific American, 1977, 237(3): 28-38.https://raw.githubusercontent.com/AllenDowney/ModSimPy/master/papers/scientific_american_nov_77.pdf</ref>


而<math>\mathrm{Ronald\ Graham}</math>本人并未在论文中使用高德纳箭头或超运算来估计 [[葛立恒数#葛立恒问题|Graham问题]] 的上界，而是使用了类似 [[ACKERMANN函数]] 的递归函数 <math>F(m,n)</math>，和分别近似为 <math>2 \uparrow\uparrow n,2 \uparrow\uparrow\uparrow n</math> 的函数<math>TOWER(n),WOW(n)</math>。<ref>GRAHAM R L, ROTHSCHILD B L. Ramsey’s theorem for ff-parameter sets[J]. Transactions of the American Mathematical Society, 1971, 159: 257-292. https://www.ams.org/journals/tran/1971-159-00/S0002-9947-1971-0284352-8/S0002-9947-1971-0284352-8.pdf
而<math>\mathrm{Ronald\ Graham}</math>本人并未在论文中使用高德纳箭头或超运算来估计 [[葛立恒数#葛立恒问题|Graham问题]] 的上界，而是使用了类似 [[ACKERMANN函数]] 的递归函数 <math>F(m,n)</math>，和分别近似为 <math>2 \uparrow\uparrow n,2 \uparrow\uparrow\uparrow n</math> 的函数<math>TOWER(n),WOW(n)</math>。<ref>GRAHAM R L, ROTHSCHILD B L. Ramsey’s theorem for ff-parameter sets[J]. Transactions of the American Mathematical Society, 1971, 159: 257-292. https://www.ams.org/journals/tran/1971-159-00/S0002-9947-1971-0284352-8/S0002-9947-1971-0284352-8.pdf
第57行： 第49行：
  https://people.dm.unipi.it/dinasso/ULTRABIBLIO/Graham_Rothschild_Spencer%20-%20Ramsey%20Theory%20(2nd%20edition).pdf</ref>
  https://people.dm.unipi.it/dinasso/ULTRABIBLIO/Graham_Rothschild_Spencer%20-%20Ramsey%20Theory%20(2nd%20edition).pdf</ref>


==== '''直观理解''' ====
=== 直观理解 ===
高德纳箭头本质上是一种高级运算“折叠”低级运算的记号。
高德纳箭头本质上是一种高级运算“折叠”低级运算的记号。


后继是最基础的运算，表现为 <math>n+1</math>.
后继是最基础的运算，表现为 n+1。
 
在<math>n+m</math>中，运算 <math>+</math> 折叠了对 <math>n</math> 的 <math>m</math> 次后继运算，即


在 n+m 中，运算 + 折叠了对 n 的 m 次后继运算，即
  <math>\ n+m=n+\underbrace{1+1+\cdots+1}_{\text{m个1}}</math>.
  <math>\ n+m=n+\underbrace{1+1+\cdots+1}_{\text{m个1}}</math>.
 
在 <math>n\times m</math> 中，运算 <math>\times</math> 折叠了对 n 的 m 次 + 运算，即  
在<math>n\times m</math>中，运算 <math>\times</math> 折叠了对 <math>n</math> 的 <math>m</math> 次 <math>+</math> 运算，即  
 
  <math>\ n\times m=\underbrace{n+n+\cdots+n}_{\text{m个n}}</math>.
  <math>\ n\times m=\underbrace{n+n+\cdots+n}_{\text{m个n}}</math>.
 
在 <math>n^{m}</math> ( <math>n\uparrow m</math> ) 中，运算 <math>\uparrow</math> 折叠了对 n 的 m 次 <math>\times</math> 运算，即  
在 <math>n^{m}</math> ( <math>n\uparrow m</math> ) 中，运算<math>\uparrow</math>折叠了对 <math>n</math> 的 <math>m</math> 次 <math>\times</math> 运算，即  


  <math>\ n^{m}=\underbrace{n\times n\times \cdots \times n}_{\text{m个n}}</math>.
  <math>\ n^{m}=\underbrace{n\times n\times \cdots \times n}_{\text{m个n}}</math>.


在 <math>{}^m\!n</math> ( <math>n\uparrow \uparrow m</math> ) 中，运算<math>\uparrow \uparrow</math>折叠了对 <math>n</math> 的 <math>m</math> 次 <math>\uparrow</math> 运算，即
在 <math>{}^m\!n</math> ( <math>n\uparrow \uparrow m</math> ) 中，运算 <math>\uparrow \uparrow</math> 折叠了对 n 的 m 次 <math>\uparrow</math> 运算，即


  <math>\ n\uparrow \uparrow m=\underbrace{n\uparrow n\uparrow \cdots \uparrow n}_{\text{m个n}}=\underbrace{n^{n^{n^{\cdots}}}}_{\text{m个n}}</math>. （注意是右结合）
  <math>\ n\uparrow \uparrow m=\underbrace{n\uparrow n\uparrow \cdots \uparrow n}_{\text{m个n}}=\underbrace{n^{n^{n^{\cdots}}}}_{\text{m个n}}</math>. （注意是右结合）
第80行： 第68行：
以此类推。最终，我们得到了高德纳箭头的形式化定义：
以此类推。最终，我们得到了高德纳箭头的形式化定义：


在<math>n \uparrow^{k} m</math>中，运算<math>\uparrow^{k}</math>折叠了对 <math>n</math> 的 <math>m</math> 次 <math>\uparrow^{k-1}</math> 运算，即
在 <math>n \uparrow^{k} m</math> 中，运算 <math>\uparrow^{k}</math> 折叠了对 n 的 m 次 <math>\uparrow^{k-1}</math> 运算，即


  <math>\ n \uparrow^{k} m = \underbrace{n \uparrow^{k-1} n \uparrow^{k-1} \cdots \uparrow^{k-1} n }_{\text{m个n}}</math>
  <math>\ n \uparrow^{k} m = \underbrace{n \uparrow^{k-1} n \uparrow^{k-1} \cdots \uparrow^{k-1} n }_{\text{m个n}}</math>
第89行： 第77行：


<math>\begin{align} 3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 4\  & = 3\uparrow\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\uparrow3 \\ & = 3\uparrow\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\uparrow\underbrace{3^{3^{3^{\cdots}}}}_{7625597484987} \\ & = 3\uparrow\uparrow\uparrow(\ \underbrace{3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow3}_{\underbrace{3^{3^{3^{\cdots}}}}_{7625597484987}}\ ) \\ & = \underbrace{3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow3}_{\underbrace{3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow3}_{\underbrace{3^{3^{3^{\cdots}}}}_{7625597484987}}}\end{align}</math>
<math>\begin{align} 3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 4\  & = 3\uparrow\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\uparrow3 \\ & = 3\uparrow\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\uparrow\underbrace{3^{3^{3^{\cdots}}}}_{7625597484987} \\ & = 3\uparrow\uparrow\uparrow(\ \underbrace{3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow3}_{\underbrace{3^{3^{3^{\cdots}}}}_{7625597484987}}\ ) \\ & = \underbrace{3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow3}_{\underbrace{3\uparrow\uparrow3\uparrow\uparrow\cdots\uparrow\uparrow3}_{\underbrace{3^{3^{3^{\cdots}}}}_{7625597484987}}}\end{align}</math>
==== 参考资料 ====
 
=== 参考资料 ===
<references />
<references />
[[分类:记号]]
[[分类:记号]]
[[分类:入门]]
[[分类:入门]]

2025年7月4日 (五) 07:54的版本

高德纳箭头(Knuth's arrow notation，亦称"上箭头记号")，一种满足右结合律的二元运算。它涉及对运算的递归。[1]

定义

高德纳箭头由如下公式递归定义：

  • a↑b=ab
  • a↑c0=1
  • a↑c+1(b+1)=a↑c(a↑c+1b)

其中，a,c 均为正整数，b 为自然数，a↑cb=a ↑↑⋯↑⏟c b。

在计算高德纳箭头时，如无括号，按照从右往左的顺序计算，即：

a↑mb↑nc=a↑m(b↑nc)

若将高德纳箭头的右结合律更替为左结合律，其余定义不变，将得到下箭头记号。

性质

高德纳箭头有如下性质：

展开

n↑km=n↑k−1n↑k−1⋯↑k−1n⏟m个n

恒等律

  • 2↑c+12=2↑c2=...=2↑2=4
  • 1↑c+1b=1↑c1↑c+1(b−1)=1↑cb2=...=1↑bk=1
  • a↑c+11=a↑ca↑c+10=a↑c1=...=a↑1=a

增长率

高德纳箭头的 FGH 增长率为 ω，特别地，a↑cb≈fc+1(b)。

该推论可通过审视以下三组式子得到：

  • a↑b≈f2(b)=2b×b
  • a↑c+1(b+1)=a↑c(a↑c+1b)
  • fc+1(b+1)=fcb+1(b+1)=fc(fcb(b+1))≈fc(fcb(b))=fc(fc+1(b))

超运算

高德纳箭头是目前已被广泛认可、基本采用的超运算记号。

若定义后继运算的运算等级为 0，那么 n 个高德纳箭头的运算等级为 n+2。

历史

高德纳箭头是由 Donald Ervin Knuth 在 1976 年发明的大数记号[2]，曾在 1977 年被 Martin Gardner 用于递归地定葛立恒数。[3]

而Ronald Graham本人并未在论文中使用高德纳箭头或超运算来估计 Graham问题 的上界，而是使用了类似 ACKERMANN函数 的递归函数 F(m,n)，和分别近似为 2↑↑n,2↑↑↑n 的函数TOWER(n),WOW(n)。[4][5]

直观理解

高德纳箭头本质上是一种高级运算“折叠”低级运算的记号。

后继是最基础的运算，表现为 n+1。

在 n+m 中，运算 + 折叠了对 n 的 m 次后继运算，即 

 n+m=n+1+1+⋯+1⏟m个1.

在 n×m 中，运算 × 折叠了对 n 的 m 次 + 运算，即 

 n×m=n+n+⋯+n⏟m个n.

在 nm ( n↑m ) 中，运算 ↑ 折叠了对 n 的 m 次 × 运算，即 

 nm=n×n×⋯×n⏟m个n.

在 mn ( n↑↑m ) 中，运算 ↑↑ 折叠了对 n 的 m 次 ↑ 运算，即 

 n↑↑m=n↑n↑⋯↑n⏟m个n=nnn⋯⏟m个n. （注意是右结合）

以此类推。最终，我们得到了高德纳箭头的形式化定义：

在 n↑km 中，运算 ↑k 折叠了对 n 的 m 次 ↑k−1 运算，即 

 n↑km=n↑k−1n↑k−1⋯↑k−1n⏟m个n

计算示例

3↑↑↑3 =3↑↑3↑↑3=3↑↑(3↑3↑3)=3↑↑(3↑27)=3↑↑7625597484987=333⋯⏟7625597484987


3↑↑↑↑4 =3↑↑↑3↑↑↑3↑↑↑3=3↑↑↑3↑↑↑333⋯⏟7625597484987=3↑↑↑( 3↑↑3↑↑⋯↑↑3⏟333⋯⏟7625597484987 )=3↑↑3↑↑⋯↑↑3⏟3↑↑3↑↑⋯↑↑3⏟333⋯⏟7625597484987

参考资料

  1. ↑ Guy, R. K. and Selfridge, J. L. "The Nesting and Roosting Habits of the Laddered Parenthesis." Amer. Math. Monthly 80, 868-876, 1973.
  2. ↑ Donald E. Knuth, Mathematics and Computer Science: Coping with Finiteness, Advances in Our Ability to Compute are Bringing Us Substantially Closer to Ultimate Limitations, Science 194, pp. 1235--1242, 1976.https://cse-robotics.engr.tamu.edu/dshell/cs625/finiteness.pdf
  3. ↑ GARDNER M. Mathematical games[J]. Scientific American, 1977, 237(3): 28-38.https://raw.githubusercontent.com/AllenDowney/ModSimPy/master/papers/scientific_american_nov_77.pdf
  4. ↑ GRAHAM R L, ROTHSCHILD B L. Ramsey’s theorem for ff-parameter sets[J]. Transactions of the American Mathematical Society, 1971, 159: 257-292. https://www.ams.org/journals/tran/1971-159-00/S0002-9947-1971-0284352-8/S0002-9947-1971-0284352-8.pdf
  5. ↑ GRAHAM R L, ROTHSCHILD B L, SPENCER J H. Ramsey theory: Vol. 20[M]. John Wiley & Sons, 1991. https://people.dm.unipi.it/dinasso/ULTRABIBLIO/Graham_Rothschild_Spencer%20-%20Ramsey%20Theory%20(2nd%20edition).pdf
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