良序

偏序集

如果一个非空集合A上定义的一个二元关系$\le$满足

1. 自反性：$\mathrm{\forall }a\in A,a\le a$
2. 反对称性：$\mathrm{\forall }a,b\in A,(a\le b\mathrm{\&}b\le a)\Rightarrow a=b$
3. 传递性：$\mathrm{\forall }a,b,c\in A,(a\le b\mathrm{\&}b\le c)\Rightarrow a\le c$

我们就称这个二元关系为集合上的一个偏序，集合称为偏序集，记作$(A,\le )$

良序集

在偏序关系的基础上，我们进一步引入全序关系的概念：

设有一偏序集$(A,\le )$，如果对集合的任意有限非空子集都有关于偏序的最小元素，即我们就称偏序是全序，$(A,\le )$是一个全序集。上述定义等价于$\mathrm{\forall }a,b\in A$，总有$a\le b$或$b\le a$一者成立（集合的任意两个元素之间可以比较大小）。

如果将全序集中关于“集合的任意有限非空子集”改为“集合的任意非空子集”，结论依然成立的集合称为一个良序集，此时≤为集合上的一个良序。

概念

在描述具有无限个元素的集合的元素“多少”的时候，我们定义了势，即如果两个集合间能建立双射，则它们具有相同的势。那么，为了更精确描述良序集的“大小”，我们定义保序映射：

如果集合$(A,L)$和$(B,R)$是良序集，$\mathrm{f}\mathrm{:}\mathrm{A}\mathrm{\to }\mathrm{B}$,若对任意的$x,y\in A$，若$\mathrm{x}\mathrm{L}\mathrm{y}$有$\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{x}\mathrm{)}\mathrm{R}\mathrm{f}\mathrm{(}\mathrm{y}\mathrm{)}$,则称f是保序映射。

良序集中小于某元素的元素构成的集合依然是良序集，我们定义这一集合为该良序集关于该元素的前段，即如果$(W,\le )$是良序集且$u\in W$,则集合$\{x\in W|x<u\}$是W关于u的前段。

于是我们可以定义序型：

如果集合$(A,L)$和$(B,R)$是良序集，且存在$\mathrm{f}\mathrm{:}\mathrm{A}\mathrm{\to }\mathrm{B}$和${\mathrm{f}}^{\prime }\mathrm{:}\mathrm{B}\mathrm{\to }\mathrm{A}$均为保序映射，则称$(A,L)$和$(B,R)$同构，且具有相同的序型。

如果集合$(A,L)$与集合$(B,R)$的某一前段同构，则称$(A,L)$的序型小于$(B,R)$