良序

偏序集

如果一个非空集合A上定义的一个二元关系$\le$满足

1. 自反性：$\mathrm{\forall }a\in A,a\le a$
2. 反对称性：$\mathrm{\forall }a,b\in A,(a\le b\mathrm{\&}b\le a)\Rightarrow a=b$
3. 传递性：$\mathrm{\forall }a,b,c\in A,(a\le b\mathrm{\&}b\le c)\Rightarrow a\le c$

我们就称这个二元关系为集合上的一个偏序，集合称为偏序集，记作$(A,\le )$

良序集

在偏序关系的基础上，我们进一步引入全序关系的概念：

设有一偏序集$(A,\le )$，如果对集合的任意有限非空子集都有关于偏序的最小元素，即我们就称偏序是全序，$(A,\le )$是一个全序集。上述定义等价于$\mathrm{\forall }a,b\in A$，总有$a\le b$或$b\le a$一者成立（集合的任意两个元素之间可以比较大小）。

如果将全序集中关于“集合的任意有限非空子集”改为“集合的任意非空子集”，结论依然成立的集合称为一个良序集，此时≤为集合上的一个良序。