葛立恒数

葛立恒数（Graham's Number）是拉姆齐理论中一个问题（即葛立恒问题）的上界。它也是大数领域中最著名的数之一，与TREE(3)、SCG(3)齐名。

定义

葛立恒函数

葛立恒函数（Graham's Function）是用高德纳箭头递归定义的：

$G(n)=\{\begin{array}{ll}3{\uparrow }^{G(n-1)}3& ,n\ne 0\\ 4& ,n=0\end{array}$

葛立恒函数的 FGH 增长率约为$\omega +1$。

葛立恒数

葛立恒数被定义为 $G(64)$（有时也被写作 $G,g_{64},g(64)$ 等）。

更出名的一个写法是：

$G(64)=\begin{array}{c}3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow }3\\ 3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow }3\\ \underbrace{⋮}\\ 3\underbrace{\uparrow \uparrow \cdots \cdots \uparrow }3\\ 3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3\end{array}\}\text{64 layers}$

历史

葛立恒数源于拉姆齐理论中以下未解决的问题：

设 $N$ 为超立方体的最小维度 $n$，使得对于任意 $n⩾N$，若将连接所有顶点对的线段用两种颜色着色，则必然存在一个单色的完全图 K₄（其顶点共面）。求N*的值。

图中展示了一个立方体的示例，包含 12 个共面的 K₄ 完全图，其中下方显示了一个单色 K₄。若将该 K₄ 底部的边改为蓝色，则立方体中将不存在单色的共面 K₄，从而证明 $N^{*}$ 至少为 4。

为理解问题，首先考虑任意维度的超立方体（1维为线段，2维为正方形，3维为立方体，4维为超立方体等），记其维度为 $N$。然后想象将所有顶点对用线段连接，并用红色或蓝色为每条线段着色（右侧展示了3维立方体的一种着色方式）。问题要求找到最小的维度 $N$，使得所有可能的着色方式中必然存在一个单色的完全图 K₄（由四个两两相连的顶点构成，且所有边颜色相同）。

1971 年，R.L.Graham, B.L.Rothschild 在他们的论文中为葛立恒问题提供的上界是 $F(F(F(F(F(F(F(12,3),3),3),3),3),3),3)$，其中 $F$ 函数的定义为： $F(m,n)=\{\begin{array}{ll}F(m-1,F(m,n-1))& ,m⩾1\text{ and }n⩾2\\ 2^n& ,m=1\\ 4& ,n=2\end{array}$，这相当于 $F^7(12)$ 其中 $F(n)=2{\uparrow }^{n}3$。Sbiis Saibian 称这个数字为 “Little Graham”。

1976 年，Donald E.Knuth 在他的论文中定义了现在所使用的高德纳箭头。

1977 年，M.Gardner 在他的文章中定义了现在的葛立恒数。Gardner 在发现这个数字的大小时，发现很难解释，他设计了一个更大、更容易解释的数字，格雷厄姆在 1977 年一篇未发表的论文中证明了这一点。他在 Scintific Amercian 上写了关于这个数字的文章，它甚至在 1980 年作为数学证明中使用的最大数字进入吉尼斯世界纪录，尽管几年后该称号从吉尼斯世界纪录中删除。一说是 Gardner 在与 Graham 交流后，Graham 给他提供的这个较为宽松的上界，但无从考证，Gardner 的原文章里也没有提及此事。

1995 年，John.H.Conway, Richard.K.Guy 在 The Book of Numbers 一书中给出了葛立恒数，这被许多人认为是它的来源。

2003 年，Exoo 证明了 $N^{*}⩾11$。

2008 年，Jerome Barkley 证明了 $N^{*}⩾13$。

2013 年，Mikhail Lavrov, Mitchell Lee, John Mackey 通过使用 Hales-Jewett 定理将上限进一步降低到 $N^{*}=2\uparrow \uparrow 2\uparrow \uparrow (3+2\uparrow \uparrow 8)$。

2019 年，Eryk Lipka 将上限进一步降低到 $(2\uparrow \uparrow 5138)\times ((2\uparrow \uparrow 5140)\uparrow \uparrow (2\times 2\uparrow \uparrow 5137))\ll 2\uparrow \uparrow \uparrow 5$。

比较

由于 $g_0$ 是 4 而不是 3，因此葛立恒数不能用链式箭头表示法或 BEAF 有效表示。使用 Jonathan Bowers 的 base-3 G 函数，它正好是 $G^{64}4$。它也可以在 Graham Array Notation 中精确表示为 $[3,3,4,64]$。Tim Chow 证明了葛立恒数比 Moser 大得多。证明取决于这样一个事实，即使用 Steinhaus-Moser 符号，a(k+2)-gon 中的 n 小于 $n{\uparrow }^{2k-1}n$。他于 1998 年 7 月 7 日将证明发送给 Susan Stepney。巧合的是，几天后 Todd Cesere 向 Stepney 发送了类似的证明。

日本 googologist Fish 证明 Graham 的数小于 $f_{\omega +1}(64)$ 在 FGH 中，相对于 Wainer 层次结构。

已知远大于葛立恒数的特定整数此后出现在许多严肃的数学证明中，例如，与 Harvey Friedman 的各种有限形式的 Kruskal 定理有关。

与 Busy Beaver 函数的比较

• 2010-09-19： 事实证明，葛立恒数远小于 $\mathrm{\Sigma }(64)$。
• 2016-07-24：根据 Wythagoras 的说法，他发现了一台图灵机，证明了 $\mathrm{\Sigma }(18)>G$ 通过改进 Deedlit11 的机器，并写了一份简短的证明草图，而不是一份严格的证明。
• 在英语 googology 社区中，人们认为更好的上限 $\mathrm{\Sigma }(17)$ 直到 2021 年 7 月 9 日才被某人证明，但至少没有关于结果的引用来源。
• 2021-03-18：Daniel Nagaj 声称他的 16 态图灵机实现了多展开并超过了葛立恒数，这意味着 $\mathrm{\Sigma }(16)>G$。
• 2022-07-11： S. Ligocki 证实 Daniel Nagaj 的 16 态图灵机超过了葛立恒数。

在其他记号中的近似

• $3\to 3\to 64\to 2$（链式箭头表示法）
• $\{3,65,1,2\}$（BEAF）
• $[3,3,4,64]$（Graham Array Notation，精确值）
• $E[3]3\mathrm{\#}\mathrm{\#}4\mathrm{\#}64$（Hyper-E Notation）
• $s(3,64,2,2)$（SAN）
• $64[\mathrm{\&}1]$（Ampersand Notation）
• $f_{\omega +1}(64)$（FGH）
• $H_{{\omega }^{\omega +1}}(64)$ 或 $H_{{\omega }^{\omega }64}(4)$（HH）
• $g_{{\mathrm{\Gamma }}_0}(65)$（SGH）

计算末位数字

可通过简单的模幂算法轻松计算葛立恒数的最后位数。以下是一个获取较小 x 值对应葛立恒数末 x 位数 N(x) 的简易算法：

$N(x)=\{\begin{array}{ll}3& ,x=0\\ 3^{N(x-1)}(\mathrm{mod}10^x)& ,x\ne 0\end{array}$

然而，若将该公式应用于极大的x值则不成立——尽管该错误公式曾被认为正确，并在 2019 年 12 月前于英语 googology 社区流传。可通过以下思路修正错误：葛立恒数 G(64) 实质是以 3 为底、以极大值 b 为超指数的整数迭代幂次（即 $G(64)={}^{b}3$ )。

2020年，Marco Ripà 证明了在十进制下，当且仅当超指数为 1 时 3 的 congruence speed（同余速度）为 0，否则恒为 1。因此，对所有 $c=1,2,\cdots ,b-2,b-1$， G(64) 的末 b-1 位数与 ${}^{c}3$ 相同。但此性质不适用于 G(64) 的第 b 位数——该数字与 ${}^{b+1}3,{}^{b+2}3,{}^{b+3}3,\cdots$ 的第 b 位数均不相等。由 $b-1={\text{slog}}_3(G_{64})-1$（其中 slog 表示超对数）可得 $G_{63}\ll b-1\ll G_{64}$。故最终可证：对所有正整数 c ，满足：

$G_{64}\equiv {}^{slo{g}_3(G_{64})+c}3(\mathrm{mod}{10}^{slo{g}_3(G_{64})-1})\wedge G_{64}\equiv ̸{}^{slo{g}_3(G_{64})+c}3(\mathrm{mod}{10}^{slo{g}_3(G_{64})})$

实际上，该方法会返回映射 $x\mapsto 3^x$ 在 10 进制整数中的不动点的最后位数。因此上述“错误算法”仅能计算葛立恒数的末 b-1 位。由于 b 值极大（在此尺度下几乎与葛立恒数本身相当），该算法对所有实际应用的 x 值均有效——这可能是其曾被推广至任意正整数 x 的原因。

葛立恒数的末 20 位是：...04,575,627,262,464,195,387。

当前学术界尚无法计算葛立恒数在十进制下的首位数字（且很可能永远无法实现），但可确定：

• 二进制下首位必为1（因所有非零正整数均满足此性质）
• 三进制下首位必为1（因其是3的幂）
• 九进制下首位必为3（因其是3的奇数次幂）

除非进制本身是3的幂（如27进制），或与葛立恒数可比（如葛立恒数减64），否则无法计算其在其他进制下的首位数字。

最后 400 位数字如下：