初等嵌入：修订间差异

2025年8月17日 (日) 09:53的版本

非平凡初等嵌入

设 $M, N$ 为传递类，且满足 ZF⁻。映射 $j : M \to N$ 称为初等嵌入，当且仅当对任意一阶公式 $φ (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ 及所有 $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n} \in M$ ，有： $M ⊨ φ [a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}] \Rightarrow N ⊨ φ [j (a_{1}), j (a_{2}), \dots, j (a_{n})]$

进一步， $j$ 称为非平凡初等嵌入，当且仅当存在 $x \in M$ 使得 $j (x) \neq x$ 。

临界点

对非平凡初等嵌入 $j : M \to N$ 必存在唯一的最小序数 $κ$ 使 $j (κ) \neq κ$ 。此序数 $κ$ 称为 $j$ 的临界点（Critical Point），记为 $c r i t (j) = κ$ 。

共尾性

嵌入 $j : M \to N$ 称为共尾的（Cofinality），当且仅当 $\forall y \in N \exists x \in M (y \in j (x))$ 。

若 $M$ 满足 ZF，且 $N \subseteq M$ ，则任何初等嵌入 $j : M \to N$ 必为共尾的。

Kunen 定理

在 ZFC 框架下，不存在非平凡初等嵌入 $j : V \to V$ 。

更具体地，Kunen 证明：对任意序数 $λ$ ，不存在非平凡初等嵌入 $j : V_{λ + 2} \to V_{λ + 2}$ 使得 V 满足 ZFC。

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-非平凡初等嵌入
+=== 非平凡初等嵌入 ===
+设 <math>M,N</math> 为[[传递集#传递类（Transitive Class）|传递类]]，且满足 [[ZFC公理体系|ZF<sup>−</sup>]]。映射 <math>j:M\rightarrow N</math> 称为初等嵌入，当且仅当对任意一阶公式 <math>\varphi(x_1,x_2,\cdots,x_n)</math> 及所有 <math>a_1,a_2,\cdots,a_n\in M</math>，有：<math>M\models\varphi[a_1,a_2,\cdots,a_n]\Rightarrow N\models\varphi[j(a_1),j(a_2),\cdots,j(a_n)]</math>
-设M、N为传递类且满足ZF⁻不含幂集公理的ZF
+进一步，<math>j</math> 称为'''非平凡初等嵌入'''，当且仅当存在 <math>x\in M</math> 使得 <math>j(x)\neq x</math>。
-映射j:M→N为初等嵌入当且仅当对所有一阶公式φ(x₁,…,xₙ)及所有a₁,…,aₙ∈M都有
+=== 临界点 ===
+对非平凡初等嵌入 <math>j:M\rightarrow N</math> 必存在唯一的最小序数 <math>\kappa</math> 使 <math>j(\kappa)\neq\kappa</math>。此序数 <math>\kappa</math> 称为 <math>j</math> 的'''临界点'''（Critical Point），记为 <math>\mathrm{crit}(j)=\kappa</math>。
-M⊨φ[a₁,…,aₙ]⇔N⊨φ[j(a₁),…,j(aₙ)]
+=== 共尾性 ===
+嵌入 <math>j:M\rightarrow N</math> 称为'''共尾的'''（Cofinality），当且仅当 <math>\forall y\in N\exists x\in M(y\in j(x))</math>。
-该嵌入称为非平凡当且仅当存在x∈M使j(x)≠x
+若 <math>M</math> 满足 [[ZFC公理体系|ZF]]，且 <math>N\subseteq M</math>，则任何初等嵌入 <math>j:M\rightarrow N</math> 必为共尾的。
-临界点
+=== Kunen 定理 ===
+在 [[ZFC公理体系|ZFC]] 框架下，不存在非平凡初等嵌入 <math>j:V\rightarrow V</math>。
-对非平凡初等嵌入j:M→N必存在最小序数κ使j(κ)≠κ
+更具体地，Kunen 证明：对任意序数 <math>\lambda</math>，不存在非平凡初等嵌入 <math>j:V_{\lambda+2}\rightarrow V_{\lambda+2}</math> 使得 V 满足 ZFC。
-记crit(j)=κ
-共尾性
-嵌入j:M→N称为共尾当且仅当对所有y∈N存在x∈M使y∈j(x)
-若M满足ZF且N⊆M则任何初等嵌入都是共尾的
-Kunen定理
-在ZFC框架下不存在非平凡初等嵌入j:V→V其中V为全集
-更具体地Kunen中证明对任意序数λ不存在非平凡初等嵌入j:V{λ+2}→V{λ+2}使V满足ZFC