AOCF

Arai's Ordinal Collapse Function（AOCF）是一种类序数坍缩函数。

系统与公理

${\mathrm{\Sigma }}_{N+2}^1\text{-AC+BI}$ 表示一个二阶算术系统，它由 ${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I}$ 加入公理 ${\mathrm{\Sigma }}_{N+2}^1\text{-AC}$ 得到：$\mathrm{\forall }n\mathrm{\exists }XF(n,X)\to \mathrm{\exists }Y\mathrm{\forall }nF(n,Y_n)$，其中 $F(n,X)$ 是任意的 ${\mathrm{\Pi }}_{N+2}^1$-公式。

${\mathrm{\Sigma }}_{N+2}^1\text{-DC+BI}$ 表示一个二阶算术系统，它由 ${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}{\mathrm{A}}_{\mathrm{0}}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I}$ 加入公理 ${\mathrm{\Sigma }}_{N+2}^1\text{-DC}$ 得到：$\mathrm{\forall }n\mathrm{\forall }X\mathrm{\exists }YF(n,X,Y)\to \mathrm{\forall }{X}_0\mathrm{\exists }Y\mathrm{\forall }n[Y_0=X_0\wedge F(n,Y_n,Y_{n+1})]$，其中 $F(n,X,Y)$ 是任意的 ${\mathrm{\Pi }}_{N+1}^1$-公式，$m\in Y_n\Rightarrow (n,m)\in Y$，且 $(\cdot ,\cdot )$ 是一个双射配对函数。容易看出，公理中的公式 $F$ 可以是 ${\mathrm{\Sigma }}_{N+2}^1$-公式。

集合论 $\mathrm{K}\mathrm{P}\omega +{\mathrm{\Pi }}_N\text{-Collection}+(V=L)$ 的公理由 $\mathrm{K}\mathrm{P}\omega$（带无穷公理的 Kripke-Platek 集合论）的公理加上以下公理组成：

• 可构成公理 $V=L$

• ${\mathrm{\Pi }}_N\text{-Collection}$ 公理：对于任意 ${\mathrm{\Pi }}_N$-公式 $A(x,y)$，$\mathrm{\forall }x\in a\mathrm{\exists }yA(x,y)\to \mathrm{\exists }b\mathrm{\forall }x\in a\mathrm{\exists }y\in bA(x,y)$

• ${\mathrm{\Sigma }}_N\text{-Separation}$ 公理：对于任意 ${\mathrm{\Sigma }}_N$-公式 $\phi (x)$，$\mathrm{\exists }y\mathrm{\forall }x(x\in y\to x\in a\wedge \phi (x))$
• ${\mathrm{\Delta }}_{N+1}\text{-Separation}$ 公理：对于任意 ${\mathrm{\Sigma }}_{N+1}$-公式 $\phi (x)$ 和 $\psi (x)$，$\mathrm{\forall }x\in a(\phi (x)\to \mathrm{\neg }\psi (x))\to \mathrm{\exists }y\mathrm{\forall }x(x\in y\to x\in a\wedge \phi (x))$
• ${\mathrm{\Sigma }}_{N+1}\text{-Replacement}$ 公理：如果 $\mathrm{\forall }x\in a\mathrm{\exists }!y\phi (x,y)$，那么存在一个函数 $f$，其定义域 $\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(f)=a$，使得 $\mathrm{\forall }x\in a\phi (x,f(x))$ 对每个 ${\mathrm{\Sigma }}_{N+1}$-公式 $\phi (x,y)$ 成立。

${\mathrm{\Pi }}_N\text{-Collection}$ 公理

引理 2.1

引理 2.1 $\mathrm{K}\mathrm{P}\omega +{\mathrm{\Pi }}_N\text{-Collection}$ 可证以下每一条：

1. ${\mathrm{\Sigma }}_N\text{-Separation}$
2. ${\mathrm{\Delta }}_{N+1}\text{-Separation}$
3. ${\mathrm{\Sigma }}_{N+1}\text{-Replacement}$

证明 我们将证明对于 ${\mathrm{\Sigma }}_N$-公式 $\phi \equiv \mathrm{\exists }y\theta (x,y)$（其中 $\theta$ 是 ${\mathrm{\Pi }}_{N-1}$-公式），集合 $\{x\in a:\phi (x)\}$ 存在。由逻辑知，$\mathrm{\forall }x\in a\mathrm{\exists }y(\mathrm{\exists }z\theta (x,z)\to \theta (x,y))$ 成立。应用 ${\mathrm{\Pi }}_N\text{-Collection}$，我们可以找到一个集合 $b$，使得 $\mathrm{\forall }x\in a\mathrm{\exists }y\in b(\phi (x)\to \theta (x,y))$。换句话说，$\{x\in a:\phi (x)\}=\{x\in a:\mathrm{\exists }y\in b\theta (x,y)\}$。

${\mathrm{\Delta }}_{N+1}\text{-Separation}$ 可以从 ${\mathrm{\Sigma }}_N\text{-Separation}$ 推得，证明方法参见文献 [3] 第 17 页定理 4.5（∆-分离公理）。

${\mathrm{\Sigma }}_{N+1}\text{-Replacement}$ 可以从 ${\mathrm{\Delta }}_{N+1}\text{-Separation}$ 推得，证明方法参见文献 [3] 第 17 页定理 4.6（Σ-替代公理）。

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引理 2.1 的一些解释

Q: collection是 任意x∈A存在y φ(x,y)→存在B 任意x∈A 存在y∈B φ(x,y) 并不能够保证B里面没有多余的元素 所以真的能推出separation吗？collection并不能够保证没有多余的元素 只能保证想要的元素都在里面

A: 应用Πn-Collection后得到的集合b确实可能包含多余的元素（即，对于某些x ∈ a，b中可能包含y使得θ(x, y)不成立，但这些y不影响最终的集合等价性）。给定Σn公式φ(x) ≡ ∃y θ(x, y)，其中θ是Π_{n-1}公式。通过逻辑等价，有∀x ∈ a ∃y (φ(x) → θ(x, y))。应用Πn-Collection后，存在集合b，使得∀x ∈ a ∃y ∈ b (φ(x) → θ(x, y))。这导致{x ∈ a : φ(x)} = {x ∈ a : ∃y ∈ b θ(x, y)}。分析φ(x)的真假行为：如果φ(x)为真：则存在y使得θ(x, y)成立，因此∃y ∈ b θ(x, y)也为真（因为b包含了必要的见证y）；如果φ(x)为假：则对所有y，θ(x, y)都不成立，因此∃y ∈ b θ(x, y)也为假（即使b中有多余的y，但θ(x, y)对这些y都不成立）。因此，φ(x)为真当且仅当∃y ∈ b θ(x, y)为真，这意味着：$\{x\in a:\varphi (x)\}=\{x\in a:\mathrm{\exists }y\in b\theta (x,y)\}$。等价性成立，无论b中是否有多余元素。多余元素不影响集合定义，因为集合只关心是否存在y ∈ b满足θ(x, y)，而不关心b中是否有不相关的y。

Q: ∏ncoll+Δ0sep→∑nsep?所以{x∈a 存在y∈b θ(x,y)}为什么不需要∏_(n-1)-sep?

A: 在证明中，集合{x ∈ a : ∃y ∈ b θ(x, y)}的形成并不显式需要Π_{n-1}-Separation。这是因为：公式ψ(x) ≡ ∃y ∈ b θ(x, y)具有有界量词（y ∈ b），且b是集合。θ是Π_{n-1}公式，因此ψ(x)在计算复杂度上是Σ_n公式（因为∃y ∈ b将复杂度提升至Σ_n，但有界量化）。在KPω + Πn-Collection的背景下，这个集合的形成可以通过现有公理（Δ0-Separation和Πn-Collection）完成，无需更强分离。具体形成方式：由于b是集合，我们可以考虑笛卡尔积a × b（在KP中，Δ0-Separation保证a × b存在）。定义关系：$R=\{(x,y)\in a\times b:\theta (x,y)\}$。R的形成需要分离公理，但θ是Π_{n-1}公式，因此R的定义依赖于公式的复杂度。如果n = 1，θ是Δ0，则R可直接由Δ0-Separation形成。如果n > 1，则我们需要确保分离复杂度可处理。在KP中，Πn-Collection结合Δ0-Separation足以证明Σn-Separation（包括此步骤）。标准证明使用复杂度归纳：基始n=0：Σ0-Separation是Δ0-Separation，已包含在KP中；归纳步n>0：假设较低复杂度分离（如Σ_{k}-Separation for k < n）可用，则Σn-Separation可证。对于ψ(x) ≡ ∃y ∈ b θ(x, y)：它等价于{x ∈ a : ∃y (y ∈ b ∧ θ(x, y))}。由于y的量化有界于b，并且θ是Π_{n-1}，这个公式的复杂度受限于Σn。使用Δ0-Separation和集合a × b，我们可以间接定义R（必要时通过有界量词处理），然后投影得到域：$\{x\in a:\mathrm{\exists }y\in b\theta (x,y)\}=\text{dom}(R)$。在KP中，给定集合R（有序对的集合），dom(R)可以通过Δ0-Separation定义，因为量词"∃y ∈ b"有界，"θ(x, y)"的复杂度由Πn-Collection和较低分离处理。因此，在KPω + Πn-Collection中，集合{x ∈ a : ∃y ∈ b θ(x, y)}可以直接形成，无需额外Π_{n-1}-Separation。证明中的步骤是自洽的。

Q: 将y∈b变成x θ(x,y)然后将没有θ(x,y)的y变成0 然后再删掉0? 问题来了 我们无法保证没有添加新的元素的 所以如此收集也是有问题

A: 这个方法在理论上是可行的，但并不必要，原因如下：在集合论中，这种方法类似于使用替代公理（Replacement）定义一个部分函数：如果θ(x, y)成立，则映射y到x；否则映射到0。然后，移除0元素即可得到所需集合。但这需要显式的分离公理来形成中间集合（如{x : θ(x, y)}或{y : not θ(x, y)}），并可能引入复杂性。更重要的是，在KPω + Πn-Collection框架下，原有的证明已经通过有界量词和等价性简化了问题，无需此额外步骤。引入0或默认值反而可能增加不必要的复杂度。

引理 2.1.a ${\mathrm{\Sigma }}_2\text{-Collection}$ 可证 ${\mathrm{\Pi }}_1\text{-Separation}$

证明 给定集合 $A$ 和 ${\mathrm{\Pi }}_1$-公式 $\psi (x)\equiv \mathrm{\forall }y\phi (x,y)$，其中 $\phi$ 是 ${\mathrm{\Delta }}_0$。目标是证明集合 $S=\{x\in A:\mathrm{\forall }y\phi (x,y)\}$ 存在。

$\psi (x)$ 的否定是 $\mathrm{\neg }\psi (x)\equiv \mathrm{\exists }y\mathrm{\neg }\phi (x,y)$，这是一个 ${\mathrm{\Sigma }}_1$-公式。定义 $T=\{x\in A:\mathrm{\exists }y\mathrm{\neg }\phi (x,y)\}$。这是 $S$ 的补集，因为 $S=\{x\in A:\mathrm{\forall }y\phi (x,y)\}=A\setminus \{x\in A:\mathrm{\exists }y\mathrm{\neg }\phi (x,y)\}=A\setminus T$。因此，如果 $T$ 存在，则 $S=A\setminus T$ 可以通过差集得到。令 $\theta (x,y)\equiv \mathrm{\neg }\phi (x,y)$，$\theta$ 是 ${\mathrm{\Delta }}_0$。应用 ${\mathrm{\Sigma }}_1\text{-Collection}$：考虑类，对每个 $x\in A$，如果 $\mathrm{\exists }y\theta (x,y)$，则存在这样的 $y$。${\mathrm{\Sigma }}_1\text{-Collection}$ 保证：存在集合 $C$，使得对所有 $x\in A$，如果 $\mathrm{\exists }y\theta (x,y)$，则存在 $y\in C$ 使得 $\theta (x,y)$ 成立。由 ${\mathrm{\Delta }}_0\text{-Separation}$，集合 $T$ 存在。因此差集 $S=A\setminus T=\{x\in A:x\notin T\}$，由 ${\mathrm{\Delta }}_0\text{-Separation}$，集合 $S$ 存在。

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引理 2.1.b ${\mathrm{\Sigma }}_N\text{-Separation}$ 和 ${\mathrm{\Pi }}_N\text{-Separation}$ 等价。

证明 设 $\phi (x)$ 是 ${\mathrm{\Pi }}_N$-公式，$\mathrm{\neg }\phi (x)$ 是 ${\mathrm{\Sigma }}_N$-公式。由 ${\mathrm{\Sigma }}_N\text{-Separation}$，集合 $\{x\in A:\mathrm{\neg }\phi (x)\}$ 存在。则 $\{x\in A:\phi (x)\}=A\setminus \{x\in A:\mathrm{\neg }\phi (x)\}$，由 ${\mathrm{\Delta }}_0\text{-Separation}$，差集存在。类似，设 $\psi (x)$ 是 ${\mathrm{\Sigma }}_N$-公式，则 $\mathrm{\neg }\psi (x)$ 是 ${\mathrm{\Pi }}_N$。由 ${\mathrm{\Pi }}_N\text{-Separation}$，$\{x\in A:\mathrm{\neg }\psi (x)\}$ 存在，则 $\{x\in A:\psi (x)\}=A\setminus \{x\in A:\mathrm{\neg }\psi (x)\}$，由 ${\mathrm{\Delta }}_0\text{-Separation}$ 得到。因此，${\mathrm{\Sigma }}_N\text{-Separation}$ 和 ${\mathrm{\Pi }}_N\text{-Separation}$ 在 ${\mathrm{\Delta }}_0\text{-Separation}$ 的系统中等价。

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引理 2.2 - 2.3

引理 2.2 对于每个 ${\mathrm{\Sigma }}_{N+1}^1$-公式 $F(n,a,Y)$，存在集合论语言中的一个 ${\mathrm{\Sigma }}_N$-公式 $A_{\mathrm{\Sigma }}(n,a,Y)$，使得对于定义的 $F_{\mathrm{\Sigma }}(n,a,Y):\iff \mathrm{\exists }d[Ad(d)\wedge Y\in d\wedge A_{\mathrm{\Sigma }}^d(n,a,Y)]$，下列等价关系在系统 $\mathrm{K}\mathrm{P}{\mathrm{l}}^{\mathrm{r}}$ 中可证：

$\mathrm{K}\mathrm{P}{\mathrm{l}}^{\mathrm{r}}⊢n,a\in \omega \wedge Y\subset \omega \to \{F^{set}(n,a,Y)\leftrightarrow F_{\mathrm{\Sigma }}(n,a,Y)\}$

引理 2.3 对于二阶算术语言中的每个句子 $A$，有：

${\mathrm{\Sigma }}_{N+2}^1\text{-DC}+\text{BI}⊢A\Rightarrow \text{KP}\omega +{\mathrm{\Pi }}_N\text{-Collection}+(V=L)⊢A^{set}$

证明 根据量词定理（定理 2.2），对于一个 ${\mathrm{\Pi }}_{N+1}^1$-公式 $F(n,X,Y)$（其中 $n\in \omega ,X\subset \omega$），其集合论翻译 $F^{set}(n,X,Y)$ 等价于一个 ${\mathrm{\Pi }}_N$-公式 $\phi (n,X,Y)$。现在只需证明如下结论：对于一个 ${\mathrm{\Pi }}_N$-公式 $\phi (n,X,Y)$，如果假设 $\mathrm{\forall }n\in \omega \mathrm{\forall }X\subset \omega \mathrm{\exists }Y\subset \omega \phi (n,X,Y)$ 成立且给定 $X_0\subset \omega$，那么存在一个函数 $f$ 满足 $\text{dom}(f)=\omega$ 且 $\mathrm{\forall }n\in \omega [f(0)=X_0\wedge \varphi (n,f(n),f(n+1))]$。

在 (V = L) 的可构造宇宙公理下，我们通过归纳法证明：对于任意的 $k\in \omega$，存在唯一的子集序列 $(Y_n{)}_{n<k}\subset \omega$ 使得 $\mathrm{\forall }n<k[\varphi (n,Y_n,Y_{n+1})\wedge \mathrm{\forall }Z{<}_L{Y}_{n+1}\mathrm{\neg }\varphi (n,Y_n,Z)]$ 成立。然后，利用 ${\mathrm{\Sigma }}_{N+1}\text{-Replacement}$，我们可以选取一个函数 $g$ 满足 $\text{dom}(g)=\omega$ 且 $\text{rng}(g)\subset {}^{<\omega }P(\omega )$，使得对于任意 $k\in \omega$，$g(k)$ 是那个唯一的序列 $(Y_n{)}_{n<k}\in {}^{k}P(\omega )$，并满足 $Y_0=X_0$。最后，定义函数 $f(n)=(g(n+1))(n)$ 即为所求的函数。

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引入 $S_{{\mathbb{𝕀}}_N}$

接下来我们证明 $\text{KP}\omega +{\mathrm{\Pi }}_N\text{-Collection}+(V=L)$ 包含于一个集合论理论 $S_{{\mathbb{𝕀}}_N}$。理论 $S_{{\mathbb{𝕀}}_N}$ 的语言为 $\{\in ,\mathrm{\Omega }\}\cup \{S{t}_i\mid 0<i\le N\}$，其中 $S{t}_i$ 是一元谓词常元，$\mathrm{\Omega }$ 是个体常元。$S{t}_i(\alpha )$ 表示 $\alpha$ 是 $i$-稳定序数，$\mathrm{\Omega }$ 表示最小的递归正则序数 ${\omega }_{CK}^1$。$S_{{\mathbb{𝕀}}_N}$ 的公理由 $\text{KP}\omega$ 的公理添加以下公理得到。这里，${\mathrm{\Delta }}_0(\{S{t}_i\mid 0<i<k\})$-公式指语言 $L_k=\{\in ,\mathrm{\Omega }\}\cup \{S{t}_i\mid i<k\}$ 中的有界公式。

记 $ON$ 为所有序数的类。对序数 $\alpha$，${\alpha }^{†i}$ 表示大于 $\alpha$ 的最小 $i$-稳定序数。一个后继 $i$-稳定序数是指形如 ${\alpha }^{†i}$ 的序数（其中 $\alpha$ 为任意序数）。注意，最小的 $i$-稳定序数 $0^{†i}$ 是一个后继 $i$-稳定序数。定义 $SS{t}_i(\alpha )⟺\mathrm{\exists }\beta (\alpha ={\beta }^{†i}),LS{t}_i(\alpha )⟺\mathrm{\forall }\beta <\alpha ({\beta }^{†i}<\alpha )(\alpha >0)$。

$S_{{\mathbb{𝕀}}_N}$ 的公理：

1. 构造性公理 $V=L$，以及关于 $\mathrm{\Omega }$ 递归正则性的公理：$\mathrm{\Omega }\in ON$，$\omega <\mathrm{\Omega }$，且 $\mathrm{\Omega }$ 上的 ${\mathrm{\Delta }}_0$-收集公理模式。
2. ${\mathrm{\Delta }}_0(\{S{t}_i\mid 0<i\le N\})$-收集公理：对每个 ${\mathrm{\Delta }}_0(\{S{t}_i\mid 0<i\le N\})$-公式 $\theta$（允许出现谓词 $S{t}_i$），有：$\mathrm{\forall }x\in a\mathrm{\exists }y\theta (x,y)\to \mathrm{\exists }b\mathrm{\forall }x\in a\mathrm{\exists }y\in b\theta (x,y)$。注记：${\mathrm{\Sigma }}_1(\{S{t}_i\mid 0<i\le N\})$-收集公理可由该公理推出。
3. $\mathrm{\forall }\alpha \mathrm{\exists }\kappa [\alpha <\kappa \wedge S{t}_N(\kappa )](1)$
4. 对每个 $i+1\le N$，$SS{t}_{i+1}\subset LS{t}_i\cap S{t}_i$：$S{t}_{i+1}(\mathbb{𝕊})\to [\mathrm{\forall }\alpha <\mathbb{𝕊}\mathrm{\exists }\sigma <\mathbb{𝕊}(\alpha <\sigma \wedge S{t}_i(\sigma ))]\wedge S{t}_i(\mathbb{𝕊})(2)$。其中 $S{t}_0(x)⟺(x=x)$。这里 ${\alpha }^{†i}>\alpha$ 表示大于 $\alpha$ 的最小 $i$-稳定序数（$0<i\le N$）。
5. 对 $0<i\le N$，每个后继 $i$-稳定序数 $\sigma$ 满足 $L_{\sigma }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1(\{S{t}_j\mid j<i\})}L$：$SS{t}_i(\sigma )\wedge \phi (u)\wedge u\in L_{\sigma }\to {\phi }^{L_{\sigma }}(u)(3)$，其中 $\phi$ 是语言 ${{ℒ}}_i=\{\in ,\mathrm{\Omega }\}\cup \{S{t}_j\mid j<i\}$ 中的 ${\mathrm{\Sigma }}_1(\{S{t}_j\mid j<i\})$-公式。

引理 2.4-2.5

引理 2.4 在 $S_{{\mathbb{𝕀}}_N}$ 中可证：对每个 $i$-稳定序数 $\sigma$，有 $L_{\sigma }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_i}L$，即 $\text{SIN}⊢{\text{St}}_i(\sigma )\wedge u\in L_{\sigma }\to [{\phi }^{L_{\sigma }}(u)\leftrightarrow \phi (u)]$，其中 $\phi$ 为集合论 ${\mathrm{\Sigma }}_i$-公式。  

证明 在 $S_{{\mathbb{𝕀}}_N}$ 中展开论证。首先证明：对语言 ${{ℒ}}_i$ 中 ${\mathrm{\Pi }}_1(\{S{t}_j{\}}_{j<i})$-公式 $\phi$，有 $S{t}_i(\sigma )\wedge u\in L_{\sigma }\wedge \phi (u)\to {\phi }^{L_{\sigma }}(u)(4)$。通过关于 $\sigma \le \alpha$ 的超限归纳法证明：${\phi }^{L_{\alpha }}(u)\to {\phi }^{L_{\sigma }}(u)$。根据归纳假设，不妨设 $\alpha$ 为后继序数。由公理 (1)(2)，存在 $i$-稳定序数 $\tau$ 使得 $\tau <\alpha <{\tau }_i^{†}$。此时 ${\phi }^{L_{{\tau }_i^{†}}}(u)$、$u\in L_{\tau }$ 且 $\sigma \le \tau$ 成立。由公理 (3) 得 ${\phi }^{L_{\tau }}(u)$，再由归纳假设得 ${\phi }^{L_{\sigma }}(u)$。故 (4) 得证。特别地，对 1-稳定序数 $\sigma$，有 $L_{\sigma }{\prec }_{{\mathrm{\Sigma }}_1}L$。

接下来定义 $S{t}_{N+1}({\mathbb{𝕀}}_N):\iff (0=0)$，并设 ${\theta }^{L_{{\mathbb{𝕀}}_N}}(u):\iff \theta$。进一步证明：对 $0\le i<k\le N+1$ 及 ${\mathrm{\Pi }}_1(\{S{t}_j{\}}_{j<i-1})$-公式 $\theta (u)$，有 $S{t}_k(\sigma )\to [{\theta }^{L_{\sigma }}(u)\leftrightarrow \mathrm{\exists }\kappa <\sigma \{S{t}_i(\kappa )\wedge u\in L_{\kappa }\wedge {\theta }^{L_{\kappa }}(u)\}](5)$。假设 $S{t}_k(\sigma )$ 且 ${\theta }^{L_{\sigma }}(u)$。由公理 (1)(2)，存在 $\kappa <\sigma$ 满足 $S{t}_i(\kappa )$ 且 $u\in L_{\kappa }$，从而 ${\theta }^{L_{\kappa }}(u)$ 逻辑成立。反之，若存在 $\kappa <\sigma$ 满足 $S{t}_i(\kappa )$、$u\in L_{\kappa }$ 且 ${\theta }^{L_{\kappa }}(u)$，则由 (4) 得 $\theta (u)$，进而 ${\theta }^{L_{\kappa }}(u)$ 成立。

设 $\phi (u)\in {\mathrm{\Sigma }}_{1+n}(\{S{t}_j{\}}_{j<i})$ 且 $S{t}_{i+n}(\sigma )$（$u\in L_{\sigma }$）。通过关于 $n$ 的归纳，由 (5) 可知存在 ${\mathrm{\Sigma }}_1(\{S{t}_j{\}}_{j<i+n})$-公式 $\theta$，使得 ${\phi }^{L_{\sigma }}\leftrightarrow {\theta }^{L_{\sigma }}$ 且 $\phi \leftrightarrow \theta$。

现在证明：当 $0\le n<N$、$S{t}_{1+n}(\sigma )$、$\phi \in {\mathrm{\Sigma }}_{1+n}$ 且 $u\in L_{\sigma }$ 时，${\phi }^{L_{\sigma }}(u)\leftrightarrow \phi (u)$。假设 ${\phi }^{L_{\sigma }}(u)$。取 ${\mathrm{\Sigma }}_1(\{S{t}_j{\}}_{j<n})$-公式 $\theta$，使得 ${\phi }^{L_{\sigma }}(u)\leftrightarrow {\theta }^{L_{\sigma }}(u)$ 且 $\phi (u)\leftrightarrow \theta (u)$。由 $\theta (u)$ 逻辑成立，故 $\phi (u)$ 成立。反之，假设 $\phi (u)$。则 $\theta (u)$ 成立，由 (4) 得 ${\theta }^{L_{\sigma }}(u)$，从而 ${\phi }^{L_{\sigma }}(u)$ 成立。

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引理 2.5 $S_{{\mathbb{𝕀}}_N}$ 是 $\text{KP}\omega +{\mathrm{\Pi }}_N\text{-Collection}+(V=L)$ 的一个扩张。即，$S_{{\mathbb{𝕀}}_N}$ 能证明 ${\mathrm{\Pi }}_N\text{-Collection}$。

证明 在 $S_{{\mathbb{𝕀}}_N}$ 中展开论证。设 $A(x,y)$ 为语言中的 ${\mathrm{\Pi }}_N$-公式。由公理 (1) 和引理 2.4，我们可得

$A(x,y)\leftrightarrow \mathrm{\exists }\sigma (S{t}_n(\sigma )\wedge x,y\in L_{\sigma }\wedge A^{L_{\sigma }}(x,y))(6)$。假设 $\mathrm{\forall }x\in a\mathrm{\exists }yA(x,y)$。由 (6) 式，可推出 $\mathrm{\forall }x\in a\mathrm{\exists }y\mathrm{\exists }\sigma (S{t}_n(\sigma )\wedge x,y\in L_{\sigma }\wedge A^{L_{\sigma }}(x,y))$。由于 $S{t}_n(\sigma )\wedge x,y\in L_{\sigma }\wedge A^{L_{\sigma }}(x,y)$ 是一个关于 $\{S{t}_i{\}}_{0<i\le n}$ 的 ${\mathrm{\Sigma }}_1$-公式，根据 ${\mathrm{\Delta }}_0\text{-Collection}$（依赖于 $\{S{t}_i{\}}_{0<i\le n}$），存在集合 $c$ 使得 $\mathrm{\forall }x\in a\mathrm{\exists }y\in c\mathrm{\exists }\sigma \in c(S{t}_n(\sigma )\wedge x,y\in L_{\sigma }\wedge A^{L_{\sigma }}(x,y))$。再由 (6) 式，即可得 $\mathrm{\forall }x\in a\mathrm{\exists }y\in cA(x,y)$。

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${\mathrm{\Pi }}_N\text{-Collection}$ 公理的序数系统

(待补充)