SAM

SAM 即Simple Admissble Mark，简单非递归系统（事实上这里中英不完全一致，但是别管历史遗留问题），分为New.和Old.两个版本。Old.版本更简洁，但是在常用的环境下，难以准确定义，而New.版本的良定义程度和投影序数完全一致

SAM的理念是“用小递归序数的结构理想地表示出大非递归序数的各类层级和结构，然后再放入非递归序数，实现‘左脚踩右脚上天’的效果”。而目前能近似实现上述功能的事物只有兼容（小递归序数表示大递归序数），因此，SAM选择了兼容作为理想表示的暂时的、局部的实现方式。但是我们可以注意到，这事实上不可能绝对理想的被实现，所以绝对理想的SAM在理论中也许并不存在，我们目前用的只是一种“将就”的定义

本页面将主要叙述SAM的New版本

首先，SAM存在一类大序数，形如$S_{\cdots }$，就像投影中有各种各样的${\alpha }_{\cdots }$一样，前者的部分性质同样也可以参考后者

其次，SAM的兼容链不仅是一个[#]。在SAM中，这只是一个“行”。而SAM的兼容链则是由许多个“行”所构成的“面”

再次，SAM的定义需要pfffz(即p.f.e.c fffz)的定义，而pfffz实际上就是把$\mathrm{\Omega }$给直接且不折叠地放进fffz里，缺失的结构和基本列长度则通过和SAM一样的方法补全

然后，SAM的完整定义如下：

1. ${\psi }_S(0)=1$
2. ${\psi }_S(S+1)=h_{S+1}$
3. ${\psi }_S{\mathrm{\#}}^{\prime }[\mathrm{\&}](n)=min\alpha \to g(\alpha )$ 第2条规则无法使用 且 n的最内项为“$S_{...}$”且“&的末项”>n 且 $n>min\alpha \to g(\alpha )$，其中g(x)=“把n的最内项替换为x后，所得的新n的值”
4. ${\psi }_S{\mathrm{\#}}^{\prime }[\mathrm{\&}](n)={\psi }_S{\mathrm{\#}}^{\prime }[\mathrm{\&},n{]}^{\prime }[f(n,g(\mathrm{\&}\text{的末项})](f(n,g(\mathrm{\&}\text{的末项})))$ 第2、3条规则无法使用 且 [&,n]存在 且 [%,n]存在
5. ${\psi }_S{\mathrm{\#}}^{\prime }[\mathrm{\&}](n)=min\alpha \to {\psi }_S\mathrm{\#}[\mathrm{\&},n](\alpha )$ 第2、3条规则无法使用 且 [&,n]存在 且 [%,n]不存在 且 n为极限序数
6. ${\psi }_S{\mathrm{\#}}^{\prime }[\mathrm{\&}](n)={\psi }_S{\mathrm{\#}}^{\prime }[\mathrm{\&}](n-1)\times \omega$ 第2、3条规则无法使用 且 [&,n]存在 且 [%,n]不存在 且 n为后继序数
7. ${\psi }_S{\mathrm{\#}}^{\prime }[\mathrm{\&}](n)=min\{\alpha |\alpha >{\psi }_S{\mathrm{\#}}^{\prime }[\mathrm{\&}](<n)\}$ 第2、3条规则无法使用 且 [&,n]不存在
8. ${\psi }_S\mathrm{\#}[\mathrm{\&}](n)={\psi }_S\mathrm{\#}[\mathrm{\&},n{]}^{\prime }[f(n)](f(n))$ [&,n]存在 且 [%,n]存在
9. ${\psi }_S\mathrm{\#}[\mathrm{\&}](n)=min\alpha \to {\psi }_S\mathrm{\#}[\mathrm{\&},n](\alpha )$ [&,n]存在 且 [%,n]不存在 且 n为极限序数
10. ${\psi }_S\mathrm{\#}[\mathrm{\&}](n)={\psi }_S\mathrm{\#}[\mathrm{\&}](n-1)\times \omega$ [&,n]存在 且 [%,n]不存在 且 n为后继序数
11. ${\psi }_S\mathrm{\#}[\mathrm{\&}](n)=min\{\alpha |\alpha >{\psi }_S{\mathrm{\#}}^{\prime }[\mathrm{\&}](<n)\}$ [&,n]不存在

化简规则

1. ${\psi }_S\mathrm{\#}[\mathrm{\&},m](n)={\psi }_S\mathrm{\#}[\mathrm{\&}](n)$ m>n 或 [&,m]不存在
2. ${\psi }_S\mathrm{\#}[](n)={\psi }_S\mathrm{\#}(n)$
3. ${\psi }_S\mathrm{\#}[\mathrm{\&},m{]}^{\prime }(n)={\psi }_S\mathrm{\#}[\mathrm{\&},m](n)$ m>n 或 n<S

附加规则

 f(n,m)=“找到n中最外小于$S_m$的内项，如果等于n则为$h_{S_m+1}$。否则如果不等于n且是极限序数则将其替换为$S_m$；如果不等于n且是后继序数则将其替换为其后继；如果不存在则为$h(S_m+1)$ ， 最终所得的新n的值”

$g(x)=max\{S_v|x\ge S_v\}$

激活函数$h(x)={\mathrm{\Omega }}_{x+1}$

${\psi }_S\mathrm{\#}[\mathrm{\&}](n)$的直接内项，是n的末项

 多项式的直接内项，是其末项
 0和S_...的直接内项是自身
 n的内项，是自身和自身内项的直接内项
 n的间接内项，是 不是n的直接内项的 n的内项
 n的最内项，是指所属层数最大的内项

项，是序数

行，是由项依次有序组成的序列

面，是由行依次有序组成的序列，行之间可以直接连接，也可间隔一个'间接连接，'右