基数

基数是一类特殊的序数。

定义

我们说两个集合 $A,B$ 等势，当且仅当在它们之间存在一个双射（一一对应），记为 $|A|=|B|$。

对于任意一个序数 $\alpha$ 而言，$\alpha$ 的势，记为 $|\alpha |$，是与 $\alpha$ 等势的最小序数，即

• $|\alpha |=\min \{\beta \le \alpha ||\alpha |=|\beta |\}$

一个序数 $\alpha$ 是基数，当且仅当 $\alpha =|\alpha |$。

基数上的序关系

基数的序被定义为如下形式

$|X|\le |Y|$，如果存在一个单射自 $X$ 到 $Y$

我们同样可以定义严格序

$|X|<|Y|$ 表示 $|X|\le |Y|$ 且 $|X|\ne |Y|$

例：

$|A|<|\mathfrak{𝔓}(A)|=|\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}{\}}^A|$

有限基数和无穷基数（超限基数）

$\mathrm{\forall }n\in \omega (n=|n|)$，这意味着所有的自然数 $n$ 都是一个基数。

从而，我们称呼一个集合 $X$ 的基数是有限的，当且仅当存在一个自然数 $n\in \mathbb{\mathbb{N}}$ 使得 $|X|=|n|=n$

此时我们称呼 $X$ 是有 $n$ 个元素的。有限基数即全体自然数。

若一个基数不是有限的，则我们称它为无穷基数（超限基数）。

极限基数和后继基数

一个基数 $k$ 是一个后继基数，当且仅当存在一个基数 $\lambda$，使得 $k$ 是最小的大于 $\lambda$ 的基数，此时也称 $k$为$\lambda$ 的基数后继。

一个基数 $k$ 是一个极限基数，当且仅当对于任意 $\lambda <k$，$\lambda$ 的基数后继也小于 $k$。

有以下定理：

1. 若一个无穷序数是基数，我们便称之为阿列夫数；
2. ${\mathrm{\aleph }}_0=\omega =|\omega |$，$\omega$是第一个无穷基数；
3. ${\mathrm{\aleph }}_1={\omega }_1=|{\omega }_1|$，${\omega }_1$是第一个不可数基数。
4. 第一个不可数的极限基数为${\mathrm{\aleph }}_{\omega }$

由此我们定义阿列夫数的递增序列

• ${\mathrm{\aleph }}_0=\omega$
• ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha +1}={\omega }_{\alpha +1}={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ 的基数后继
• ${\mathrm{\aleph }}_{\gamma }\text{(}\gamma \text{是非零极限序数)}=\bigcup \{{\omega }_{\alpha }|\alpha <\gamma \}$

我们称一个基数为 ${\mathrm{\aleph }}_0$ 的无穷集合是可数的（countable），一个基数不为 ${\mathrm{\aleph }}_0$ 的无穷集合是不可数的（uncountable）。

基数的运算

我们依赖集合的基本运算，来定义基数的运算。

对于两个基数 $a,b$，有两个基数分别为 $a,b$ 且互不相交的集合 $A,B$，有

• $a+b=|A\cup B|$
• $a\cdot b=|A\times B|$
• $a^b=|A^B|$

其中 $A^B$ 表示全体从 $B$ 到 $A$ 的映射所构成的集合。

基数有以下的运算规律：

对于任意基数 $a,b,c$，有：

• $a+b=b+a$;
• $a\cdot b=b\cdot a$;
• $a+(b+c)=(a+b)+c$;
• $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$;
• $(a\cdot b{)}^c=a^c\cdot b^c$;
• $a^{b+c}=a^c\cdot a^b$;
• $(a^b{)}^c=a^{b\cdot c}$;
• 如果 $a\le b$，那么 $a^c\le b^c$;
• 如果 $0<b\le a$，那么 $c^b\le c^a$;
• $a^0=1,1^b=b$，若 c 非空，$0^c=0$.

基数有如下定理：

• ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }\cdot {\mathrm{\aleph }}_{\alpha }={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$
• ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }+{\mathrm{\aleph }}_{\beta }={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }\cdot {\mathrm{\aleph }}_{\beta }=max\{{\mathrm{\aleph }}_{\alpha },{\mathrm{\aleph }}_{\beta }\}$

共尾度

对于一个良序集合 $(W,<)$ 而言，我们称序数 $\alpha$ 为它的长度或者序型，记成 $\alpha =ot(W,<)$，当且仅当它与 $(\alpha ,<)$ 同构。

设 $\alpha$ 是一个非零极限序数，$\alpha$ 的共尾度，记为 $\mathrm{c}\mathrm{f}(\alpha )$，由以下等式定义：

• $\mathrm{c}\mathrm{f}(\alpha )=min\{ot(A,<)|A\subseteq \alpha \wedge \mathrm{\forall }\beta (\beta <\alpha \to \mathrm{\exists }\gamma (\gamma \in A\wedge \beta <\gamma ))\}$

即，$\mathrm{c}\mathrm{f}(\alpha )$ 是 $\alpha$ 的最短的无界子集的长度。

设 $\alpha \ge \gamma \ge \omega$ 为两个极限序数，那么以下三个命题等价：

1. $\gamma =\mathrm{c}\mathrm{f}(\alpha )$
2. 存在从 $\gamma$ 到 $\alpha$ 的无界单增映射，并且对于任何一个 $\eta <\gamma$，任意一个从 $\eta$ 到 $\alpha$ 上的映射一定在 $\alpha$ 中有界
3. $\gamma$ 为最小的序数$\beta$，使得存在一个严格递增的长度为 $\beta$ 的序数序列 $⟨{\alpha }_{\xi }:\xi <\beta ⟩$，$\underset{\xi \to \beta }{\lim }{\alpha }_{\xi }=\alpha$

显然，共尾度是一个极限序数且当 $\alpha$ 为极限序数时它的共尾度是正则的。

一个基数是正则的当且仅当它的共尾度为自身。一个基数是奇异的当且仅当它不是正则的。

有如下定理：

• 所有后继基数都是正则基数。
• 所有奇异基数都是极限基数。

定理 ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }*{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$ 的证明

证明：我们如下定义 ${\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d}}^2$ 上的良序：

$$\begin{array}{rl}(\alpha ,\beta )<(\gamma ,\delta )⟺& \max \{\alpha ,\beta \}<\max \{\gamma ,\delta \}\\ & \vee (\max \{\alpha ,\beta \}=\max \{\gamma ,\delta \}\wedge \alpha <\gamma )\\ & \vee (\max \{\alpha ,\beta \}=\max \{\gamma ,\delta \}\wedge \alpha =\gamma \wedge \beta <\delta )\\ \end{array}$$

可以证明，这个序是一个良序。

我们令 $\mathrm{\Gamma }(\alpha ,\beta )$ 表示集合 $\{(\gamma ,\delta )\in {\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d}}^2\mid (\gamma ,\delta )<(\alpha ,\beta )\}$ 的序型。可以证明，$\mathrm{\Gamma }:{\mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d}}^2\to \mathrm{O}\mathrm{r}\mathrm{d}$ 保序且一对一。

下面用 $\mathrm{\Gamma }[\alpha \times \beta ]$ 表示 $\{\mathrm{\Gamma }(\gamma ,\delta )\mid (\gamma ,\delta )\in \alpha \times \beta \}$，即集合 $\alpha \times \beta$ 在 $\mathrm{\Gamma }$ 下的像集。

注意到 $\mathrm{\Gamma }[{\omega }_{\alpha }\times {\omega }_{\alpha }]=\mathrm{\Gamma }(0,{\omega }_{\alpha })\ge {\omega }_{\alpha }$，以及 $\mathrm{\Gamma }[\omega \times \omega ]=\omega$（取对角线计数）。

我们要证 ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }\times {\mathrm{\aleph }}_{\alpha }={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$，只需证 $\mathrm{\Gamma }[{\omega }_{\alpha }\times {\omega }_{\alpha }]={\omega }_{\alpha }$。

使用反证法。令 $\alpha$ 是使得 ${\omega }_{\alpha }<\mathrm{\Gamma }[{\omega }_{\alpha }\times {\omega }_{\alpha }]$ 的最小序数，则存在 $\beta ,\gamma <{\omega }_{\alpha }$ 使得 $\mathrm{\Gamma }(\beta ,\gamma )={\omega }_{\alpha }$。

那么我们取 $\delta$ 满足 $\max \{\beta ,\gamma \}<\delta <{\omega }_{\alpha }$，则 ${\omega }_{\alpha }=\mathrm{\Gamma }(\beta ,\gamma )\in \mathrm{\Gamma }[\delta \times \delta ]$。

取上式两侧的基数，得到 ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }<|\delta \times \delta |$。

因为 $\delta >\max \{\beta ,\gamma \}\ge \omega$，所以可设 $\delta$ 的基数为 ${\mathrm{\aleph }}_{\xi }$，其中 $\xi <\alpha$。

我们刚才设 $\alpha$ 是使得 ${\omega }_{\alpha }<\mathrm{\Gamma }({\omega }_{\alpha }\times {\omega }_{\alpha })$ 的最小序数，所以 ${\omega }_{\xi }=\mathrm{\Gamma }[{\omega }_{\xi }\times {\omega }_{\xi }]$，即 ${\mathrm{\aleph }}_{\xi }={\mathrm{\aleph }}_{\xi }\times {\mathrm{\aleph }}_{\xi }$。

所以 $|\delta \times \delta |=|\delta |\times |\delta |={\mathrm{\aleph }}_{\xi }\times {\mathrm{\aleph }}_{\xi }={\mathrm{\aleph }}_{\xi }<{\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$，矛盾。

因此，对任意序数 $\alpha$，都有 ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }\times {\mathrm{\aleph }}_{\alpha }={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$。