Catching 函数：修订间差异

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2025年7月20日 (日) 21:07的版本

Catching 函数，是由 HypCos 创造的序数记号，用以记录 FGH 和 SGH 的追平点。

定义

将 $C (α)$ 用于表示这个函数，其定义如下：

当 $α = 0$ 时： $C (0)$ 是第一个序数 $β$ ，使得 $g_{β (n)}$ 与 $f_{β (n)}$ 可比；
当 $α$ 为后继序数时（即 $α = γ + 1$ ）： $C (α + 1)$ 是 $C (α)$ 之后下一个满足 $g_{β (n)}$ 与 $f_{β (n)}$ 可比的序数 $β$ ；
当 $α$ 为极限序数时（即 $α = L$ ）： $C (α) [n] = C (α [n])$ （其中 $α [n]$ 表示 $α$ 的基本列第 $n$ 项）。

此外， $C (α)$ 是最小的序数 $β$ ，使得 $g_{β (n)}$ 与 $f_{β (n)}$ 可比，且对于所有 $γ < α$ ， $β$ 都大于 $C (γ)$ 。

"可比"是一个模糊的术语，但此处可理解为： $f_{β (n)}$ 与 $g_{β (n)}$ 可比当且仅当存在某个 $k$ ，使得对任意 $n$ 都有 $g_{β (n + k)} > f_{β (n)}$ D。

现在，使用第一个不可数序数 Ω 作为 C() 中的对角化器。想象一下：当我们遇到一个 Ω 并需要处理它时，首先找到最近的 C() 结构，然后复制该 C() 内部的内容（但不包括这个 Ω 本身）n 次，每次都将复制的内容插入到原本 Ω 的位置。换句话说，C(#Ω@) 等于嵌套 n 层的 C(#C(...C(#0@)...@)@)，其中 @ 位置不包含任何序数（即仅保留结构占位）。

我们知道，一个 Catching 序数必定形如 $ψ (α)$ 。也就是说，它是满足 $β \to ω^{β}$ 的固定点。而一个基数 $α$ 可以作为 $ψ_{α} ()$ 中的对角化参数。在常规记法中， $ψ_{Ω_{1 + k}} ()$ 对于正整数 $k$ 也可写作 $ψ_{k} ()$ ，而 $ψ_{Ω} ()$ 也可简写为 $ψ ()$ 。自然地，一个更强的 Catching 层次结构应运而生。

$C_{π} (0) = ψ_{π} (Ω_{ω})$
若 $C_{π} (α) = ψ_{π} (β)$ ，则 $C_{π} (α + 1) = ψ_{π} (γ)$ ，其中 $ψ (γ)$ 是满足 $g_{ψ (γ)} (n)$ 与 $f_{ψ (γ)} (n)$ 可比较的最小序数，且 $γ > β$ ，同时 $ψ_{π} (β)$ 和 $ψ_{π} (γ)$ 均为完全简化的。
对于极限序数 $α$ ， $C_{π} (α) [n] = C_{π} (α [n])$
$π$ 是 $C_{π} ()$ 函数的对角化参数

对于正整数 $k$ ， $C_{Ω_{1 + k}} ()$ 也可写作 $C_{k} ()$ ，而 $C_{Ω} ()$ 可简写为 $C ()$ 。

- 什么是完全简化的？

- 记法 $ψ (β)$ 是完全简化的当且仅当 $ψ (β + 1) > ψ (β)$ 。例如， $ψ (Ω_{2})$ 是完全简化的，但 $ψ (ψ_{1} (Ω_{2}))$ 则不是，因为 $ψ (Ω_{2} + 1) > ψ (Ω_{2}) = ψ (ψ_{1} (Ω_{2}) + 1) = ψ (ψ_{1} (Ω_{2}))$ 。有时 $ψ$ 函数会增长，有时则保持不变，而完全简化记法处于增长部分或保持部分的末尾。

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-Catching 函数是 hypcos 创造的序数记号，用以记录 [[增长层级#快速增长层级|FGH]] 和 [[增长层级#慢速增长层级|SGH]] 的“交点”。
+'''Catching 函数'''，是由 HypCos 创造的[[序数记号]]，用以记录 [[增长层级#快速增长层级|FGH]] 和 [[增长层级#慢速增长层级|SGH]] 的[[Catching|追平点]]。
 === 定义 ===
-将 C(α) 用于表示这个函数，其定义如下：
+将 <math>C(\alpha)</math> 用于表示这个函数，其定义如下：
-* 当 α=0 时：C(0) 是第一个序数 β，使得 g<sub>β(n)</sub> 与 f<sub>β(n)</sub> 可比；
+* 当 <math>\alpha=0</math> 时：<math>C(0)</math> 是第一个[[序数]] <math>\beta</math>，使得 <math>g_{\beta(n)}</math> 与 <math>f_{\beta(n)}</math> 可比；
-* 当 α 为后继序数时（即 α=γ+1）：C(α+1) 是 C(α) 之后下一个满足 g<sub>β(n)</sub> 与 f<sub>β(n)</sub> 可比的序数 β；
+* 当 <math>\alpha</math> 为[[序数#序数的后继|后继序数]]时（即 <math>\alpha=\gamma+1</math>）：<math>C(\alpha+1)</math> 是 <math>C(\alpha)</math> 之后下一个满足 <math>g_{\beta(n)}</math> 与 <math>f_{\beta(n)}</math> 可比的序数 <math>\beta</math>；
-* 当 α 为极限序数时（即 α=L）：C(α)[n]=C(α[n])（其中 α[n] 表示 α 的基本序列第 n 项）。
+* 当 <math>\alpha</math> 为[[序数#极限序数|极限序数]]时（即 <math>\alpha=L</math>）：<math>C(\alpha)[n]=C(\alpha[n])</math>（其中 <math>\alpha[n]</math> 表示 <math>\alpha</math> 的[[基本列]]第 <math>n</math> 项）。
-此外，C(α) 是最小的序数 β，使得 g<sub>β(n)</sub> 与 f<sub>β(n)</sub> 可比，且对于所有 γ<α，β 都大于 C(γ)。
+此外，<math>C(\alpha)</math> 是最小的序数 <math>\beta</math>，使得 <math>g_{\beta(n)}</math> 与 <math>f_{\beta(n)}</math> 可比，且对于所有 <math>\gamma<\alpha</math>，<math>\beta</math> 都大于 <math>C(\gamma)</math>。
-"可比"是一个模糊的术语，但此处可理解为：f<sub>β(n)</sub> 与g<sub>β(n)</sub> 可比当且仅当存在某个 k，使得对任意 n 都有 g<sub>β(n+k)</sub>>f<sub>β(n)</sub>。
+"可比"是一个模糊的术语，但此处可理解为：<math>f_{\beta(n)}</math> 与<math>g_{\beta(n)}</math> 可比当且仅当存在某个 <math>k</math>，使得对任意 <math>n</math> 都有 <math>g_{\beta(n+k)}>f_{\beta(n)}</math>D。
-现在，使用第一个不可数序数 Ω 作为 C() 中的对角化器。想象一下：当我们遇到一个 Ω 并需要处理它时，首先找到最近的 C() 结构，然后复制该 C() 内部的内容（但不包括这个 Ω 本身）n 次，每次都将复制的内容插入到原本 Ω 的位置。换句话说，C(#Ω@) 等于嵌套 n 层的 C(#C(...C(#0@)...@)@)，其中 @ 位置不包含任何序数（即仅保留结构占位）。
+现在，使用第一个[[序数#可数序数与不可数序数|不可数序数]] Ω 作为 C() 中的[[对角化]]器。想象一下：当我们遇到一个 Ω 并需要处理它时，首先找到最近的 C() 结构，然后复制该 C() 内部的内容（但不包括这个 Ω 本身）n 次，每次都将复制的内容插入到原本 Ω 的位置。换句话说，C(#Ω@) 等于嵌套 n 层的 C(#C(...C(#0@)...@)@)，其中 @ 位置不包含任何序数（即仅保留结构占位）。
-我们知道，一个 Catching 序数必定形如 ψ(α)。也就是说，它是满足 β→ω<sup>β</sup> 的固定点。而一个基数 α 可以作为 ψ<sub>α</sub>() 中的对角化参数。在常规记法中，ψ<sub>Ω<sub>1+k</sub></sub>() 对于正整数 k 也可写作 ψ<sub>k</sub>()，而 ψ<sub>Ω</sub>() 也可简写为 ψ()。自然地，一个更强的 Catching 层次结构应运而生。
+我们知道，一个 Catching 序数必定形如 <math>\psi(\alpha)</math>。也就是说，它是满足 <math>\beta\rightarrow \omega^{\beta}</math> 的固定点。而一个[[基数]] <math>\alpha</math> 可以作为 <math>\psi_{\alpha}()</math> 中的对角化参数。在常规记法中，<math>\psi_{\Omega_{1+k}}()</math> 对于正整数 <math>k</math> 也可写作 <math>\psi_{k}()</math>，而 <math>\psi_{\Omega}()</math> 也可简写为 <math>\psi()</math>。自然地，一个更强的 Catching 层次结构应运而生。
-* C<sub>π</sub>(0)=ψ<sub>π</sub>(Ω<sub>ω</sub>)
+* <math>C_{\pi}(0)=\psi_{\pi}(\Omega_{\omega})</math>
-* 若 C<sub>π</sub>(α)=ψ<sub>π</sub>(β)，则C<sub>π</sub>(α+1)=ψ<sub>π</sub>(γ)，其中 ψ(γ) 是满足 g<sub>ψ(γ)</sub>(n) 与 f<sub>ψ(γ)</sub>(n) 可比较的最小序数，且 γ>β，同时 ψ<sub>π</sub>(β) 和 ψ<sub>π</sub>(γ) 均为完全简化的。
+* 若 <math>C_{\pi}(\alpha)=\psi_{\pi}(\beta)</math>，则<math>C_{\pi}(\alpha+1)=\psi_{\pi}(\gamma)</math>，其中 <math>\psi(\gamma)</math> 是满足 <math>g_{\psi(\gamma)}(n)</math> 与 <math>f_{\psi(\gamma)}(n)</math> 可比较的最小序数，且 <math>\gamma>\beta</math>，同时 <math>\psi_{\pi}(\beta)</math> 和 <math>\psi_{\pi}(\gamma)</math> 均为完全简化的。
-* 对于极限序数 α，C<sub>π</sub>(α)[n]=C<sub>π</sub>(α[n])
+* 对于极限序数 <math>\alpha</math>，<math>C_{\pi}(\alpha)[n]=C_{\pi}(\alpha[n])</math>
-* π 是 C<sub>π</sub>() 函数的对角化参数
+* <math>\pi</math> 是 <math>C_{\pi}()</math> 函数的对角化参数
-对于正整数 k，C<sub>Ω<sub>1+k</sub></sub>() 也可写作 C<sub>k</sub>()，而 C<sub>Ω</sub>() 可简写为 C()。
+对于正整数 <math>k</math>，<math>C_{\Omega_{1+k}}()</math> 也可写作 <math>C_{k}()</math>，而 <math>C_{\Omega}()</math> 可简写为 <math>C()</math>。
 <nowiki>- </nowiki>什么是完全简化的？
-<nowiki>- </nowiki>记法 ψ(β) 是完全简化的当且仅当 ψ(β+1)>ψ(β)。例如，ψ(Ω<sub>2</sub>) 是完全简化的，但ψ(ψ<sub>1</sub>(Ω<sub>2</sub>))则不是，因为 ψ(Ω<sub>2</sub>+1)>ψ(Ω<sub>2</sub>)=ψ(ψ<sub>1</sub>(Ω<sub>2</sub>)+1)=ψ(ψ<sub>1</sub>(Ω<sub>2</sub>))。有时 ψ 函数会增长，有时则保持不变，而完全简化记法处于增长部分或保持部分的末尾。
+<nowiki>- </nowiki>记法 <math>\psi(\beta)</math> 是完全简化的当且仅当 <math>\psi(\beta+1)>\psi(\beta)</math>。例如，<math>\psi(\Omega_{2})</math> 是完全简化的，但<math>\psi(\psi_{1}(\Omega_{2}))</math>则不是，因为 <math>\psi(\Omega_{2}+1)>\psi(\Omega_{2})=\psi(\psi_{1}(\Omega_{2})+1)=\psi(\psi_{1}(\Omega_{2}))</math>。有时 <math>\psi</math> 函数会增长，有时则保持不变，而完全简化记法处于增长部分或保持部分的末尾。