BEAF：修订间差异

2025年7月14日 (一) 05:05的版本

Bowers' Exploding Array Function(BEAF，鲍尔斯爆炸数阵函数)是由乔纳森·鲍尔斯(Jonathan Bowers)发明的一种表示大数的记号。

定义

BEAF的定义包含以下几部分：数阵记号(Array Notation)，扩展数阵记号(Extended Array Notation)，以及尚未严格良定义的超指数数阵记号(Tetrational Array Notation)及其之后的部分。

数阵记号

一个数阵为如下形式，由若干个项组成：

${a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}$

我们定义以下概念：

$a_{1}$ 为底数，记为 $b$ 。
$a_{2}$ 为指数，记为 $p$ 。
指数右侧第一个非1的数称为驾驶员，驾驶员左侧的第一个项为副驾驶，左侧的其余项为乘客。

对于数阵 ${a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}$ ，其展开规则如下：

如果驾驶员不存在，数阵的值为 $b^{p}$ 。
如果指数为1，数阵的值为 $b$ 。
如果 $a_{n} = 1$ ， $n > 2$ ，数阵的值为 ${a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n - 1}}$ 。
如果以上两条规则都不成立，按照下述规则展开：
1. 复制一个这个数阵的副本，并将副本中指数的值减1。
2. 将原本数阵的驾驶员减1，全体乘客替换为底数 $b$ 。
3. 将副驾驶换为之前得到的数阵副本。

例如， ${4, 8, 1, 3}$ 的驾驶员为3，副驾驶为1，于是首先得到副本 ${4, 7, 1, 3}$ ，然后原数阵驾驶员减1，替换乘客得到 ${4, 4, 1, 2}$ ，最后得到最终展开为 ${4, 4, {4, 7, 1, 3}, 2}$ 。

扩展数阵记号

一个扩展数阵为如下形式，由若干个项和若干个分隔符 $(x_{i})$ 组成：

${a_{01}, a_{02}, \dots, a_{0 m_{0}} (x_{1}) a_{11}, \dots, a_{1 m_{1}} (x_{2}) \dots (x_{3}) \dots (x_{n}) a_{n 1}, a_{n 2}, \dots, a_{n m_{n}}}$

我们定义以下概念：

$a_{01}$ 为底数，记为 $b$ 。
$a_{02}$ 为指数，记为 $p$ 。
指数右侧第一个非1的数称为驾驶员。
驾驶员左侧如果不是分隔符，称其左侧的第一个项为副驾驶。

定义 $&$ 符号如下，它生成扩展数阵中的项和分隔符：

$1 &^{n} a = a$ ，

$b & a = a, (b - 1) & a$ ，

$b &^{k + 1} a = b &^{k} a (k) (b - 1) &^{k + 1} a$ 。

注：在大部分版本中， $&$ 的指标写在左上侧。此处写在右上侧是为了避免与 $b^{k}$ 混淆。

注：有的地方认为形如 $b & a$ 的表达式直接表达了一个(扩展)数阵 ${a, a, \dots, a}$ ，实际上这是错误的。

对于扩展数阵 ${a_{01}, a_{02}, \dots, a_{0 m_{0}} (x_{1}) a_{11}, \dots, a_{1 m_{1}} (x_{2}) \dots (x_{3}) \dots (x_{n}) a_{n 1}, a_{n 2}, \dots, a_{n m_{n}}}$ ，其展开规则如下：

如果扩展数阵只有 $a_{01}, a_{02}$ 两项，扩展数阵的值为 $b^{p}$ 。
如果指数为1，扩展数阵的值为 $b$ 。
如果某个 $a_{k m_{k}} = 1$ ，扩展数阵的值相当于删掉 $a_{k m_{k}}$ 后得到的扩展数阵的值。
如果某个 $m_{k} = 0$ ，而且 $k = n$ 或 $x_{k} < x_{k + 1}$ ，那么扩展数阵的值相当于删掉 $(x_{k})$ 后得到的扩展数阵的值。
如果扩展数阵中没有分隔符，按数阵记号的规则展开。
如果以上规则均不适用：此时扩展数阵形如{a,b(x1)(x2)(x3)⋯(xn)b1,b2,⋯,bt#}，满足x1≥x2≥⋯≥xn，b1=b2=⋯=bt−1=1。
1. 如果 $t = 1$ ，其展开为 ${b &^{x_{1}} a (x_{1}) b &^{x_{2}} a (x_{2}) b &^{x_{3}} a (x_{3}) \dots b &^{x_{n}} a (x_{n}) b_{1} - 1 #}$ 。
2. 如果 $t > 1$ ，其展开为 ${b &^{x_{1}} a (x_{1}) b &^{x_{2}} a (x_{2}) b &^{x_{3}} a (x_{3}) \dots b &^{x_{n}} a (x_{n}) a, a, \dots, a, {a, b - 1 (x_{1}) (x_{2}) (x_{3}) \dots (x_{n}) b_{1}, b_{2}, \dots, b_{t} #}, b_{t} - 1 #}$ 。

类似于数阵记号，“乘客”的定义可以如下理解：

分隔符 $(k)$ 给出了一个尺寸为 $p^{k}$ 的“块”(类似于 $&$ 符号的结构)，“乘客”则是驾驶员左侧的所有这样的块(不完整的用1补齐)去掉副驾驶员。于是上述展开规则5.和6.可以写为：

复制一个这个扩展数阵的副本，并将副本中指数的值减1。
将原本扩展数阵的驾驶员减1，全体乘客替换为底数。
如果副驾驶存在，将副驾驶换为之前得到的扩展数阵副本。

据此，可以认为扩展数阵记号是数阵记号的扩展。

超指数数阵记号

在扩展数阵记号中，我们用分隔符 $(k)$ 表示了一个尺寸为 $p^{k}$ 的“块”，且其结构也类似于“长度”为 $p$ 的 $k$ 维区域。

于是，设想用 $(0, 1)$ 来表示尺寸为 $p^{p}$ 的块，使得 ${a, b (0, 1) 2} = {a, b (b) 2}$ 。

进一步地，可以设想用 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 来表示尺寸为 $p^{a_{1} + a_{2} p + \dots + a_{n} p^{n}}$ 的块，这一系列 $(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n})$ 又有类似于数阵的结构，于是引入 $((1) 1)$ 来表示尺寸为 $p^{p^{p}}$ 的块，以此类推，最终可以得到 $(\dots (0, 1) \dots)$ ，括号的层数与 $p$ 有关，来表示尺寸为 $p ↑ ↑ p$ 级别的块。

然而，目前尚未有严谨的，描述高阶括号展开规则的定义。不过我们已经知道，它的理想强度达到了FGH $ε_{0}$ 的级别。

@@ 第1行： / 第1行： @@
-Bowers' Exploding Array Function（BEAF，鲍尔斯爆炸数组函数）是由乔纳森·鲍尔斯（Jonathan Bowers）发明的一种表示极大数的符号系统，类似于[[链式箭头记号|链式箭头符号]]，但强度远超后者。它是数阵记号（Array Notation）和扩展数阵记号（Extended Array Notation）的超集，两者均由鲍尔斯发明。由于其简洁性和极快的增长速度，BEAF 在 googology 中颇具名气，更不用说那些用该函数定义的充满奇思妙想的命名数（如 golapulus 和传奇的 meameamealokkapoowa oompa——这是鲍尔斯定义的最大数之一）。然而，对于四维数阵以上的符号系统，目前尚无统一认可的定义。因此，严格来说，四维数阵以上的 BEAF 是未明确定义的，而四维数阵及以下的 BEAF 则是定义明确的。
+'''Bowers' Exploding Array Function(BEAF，鲍尔斯爆炸数阵函数)'''是由乔纳森·鲍尔斯(Jonathan Bowers)发明的一种表示大数的记号。
-尽管克里斯·伯德（Chris Bird）和约翰·斯宾塞（John Spencer，鲍尔斯的朋友）协助构建了 BEAF，但通常认为该函数完全由鲍尔斯独立创造。
+== 定义 ==
+BEAF的定义包含以下几部分：'''数阵记号(Array Notation)'''，'''扩展数阵记号(Extended Array Notation)'''，以及尚未严格良定义的'''超指数数阵记号(Tetrational Array Notation)'''及其之后的部分。
-萨比斯·赛比安（Sbiis Saibian）指出，是否存在一种完全符合鲍尔斯规则的符号系统，是大数研究领域的一个未解决问题。尽管他仅直接提到五维数阵，但这一问题可能也适用于 BEAF 的其他层级。
+=== 数阵记号 ===
+一个数阵为如下形式，由若干个项组成：
-=== 定义 ===
+<math>\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}</math>
-以下是对 BEAF 工作原理的大致框架性描述。如前所述，对于原始 BEAF 在四维数阵之外的扩展，目前尚未达成共识的定义，因此这并非一个完整的定义。
-* 基（base, b）：数组的第一个元素。
+我们定义以下概念：
-* 主数（prime, p）：数组的第二个元素。
+# <math>a_1</math>为'''底数'''，记为<math>b</math>。
-* 领航员（pilot）：主数之后第一个非 1 的元素，可能最早出现在第三个元素的位置。
+# <math>a_2</math>为'''指数'''，记为<math>p</math>。
-* 副驾驶（copilot）：紧邻领航员之前的元素。若领航员是其所在行的第一个元素，则副驾驶不存在。
+# 指数右侧第一个非1的数称为'''驾驶员'''，驾驶员左侧的第一个项为'''副驾驶'''，左侧的其余项为'''乘客'''。
-* 结构（structure）：数组中由低维组构成的部分，例如：单个元素（entry，记为 X<sup>0</sup>）、一行（row，X<sup>1</sup>）、一平面（plane，X<sup>2</sup>）、一领域（realm，X<sup>3</sup>）、一流（flune，X<sup>4</sup>），以及更高维结构（X<sup>5</sup>, X<sup>6</sup> 等）或超幂结构（如 X<sup>X<sup>X</sup></sup>）。更进一步还可扩展至 5-超运算（pentational）、6-超运算（hexational）……直至超扩展运算（expandal）等结构。
-* 之前项（previous entry）：领航员之前、且与所有其他之前项在同一行的元素。
-* 之前行（previous row）：领航员所在行之前、且与所有其他之前行在同一平面的行。
-* 之前平面（previous plane）：领航员所在平面之前、且与所有其他之前平面在同一领域的平面，依此类推。这些统称为“之前结构（previous structures）”。
-* 主块（prime block）：对结构 S，将其中的所有 X 替换为 p 得到的对象。例如，若 S=X<sup>3</sup>，则主块为 p<sup>3</sup>（边长为 p 的立方体）；若 S=X<sup>X</sup>（X 维超立方体），则主块为 p<sup>p</sup>（边长为 p 的 p 维超立方体）。
-* 机组（airplane）：包含领航员、所有之前项，以及所有之前结构的主块。
-* 乘客（passengers）：机组中既非领航员也非副驾驶的元素。
-* 数组值（value of the array）：记为 v(A)，其中 A 为数组。
-=== 规则 ===
+对于数阵<math>\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}</math>，其展开规则如下：
-# 主数规则（Prime rule）：若 p=1，则 v(A)=b。
+# 如果驾驶员不存在，数阵的值为<math>b^p</math>。
-# 初始规则（Initial rule）：若不存在领航员，则 v(A)=b<sup>p</sup>。
+# 如果指数为1，数阵的值为<math>b</math>。
-# 灾难规则（Catastrophic rule）：若上述两条规则均不适用，则执行以下操作：
+# 如果<math>a_n=1</math>，<math>n>2</math>，数阵的值为<math>\{a_1,a_2,\cdots,a_{n-1}\}</math>。
-#* 领航员减 1；
+# 如果以上两条规则都不成立，按照下述规则展开：
-#* 副驾驶变为原数组中主数减 1 后的数组；
+## 复制一个这个数阵的副本，并将副本中指数的值减1。
-#* 所有乘客变为 b；
+## 将原本数阵的驾驶员减1，全体乘客替换为底数<math>b</math>。
-#* 数组其余部分保持不变。
+## 将副驾驶换为之前得到的数阵副本。
+例如，<math>\{4,8,1,3\}</math>的驾驶员为3，副驾驶为1，于是首先得到副本<math>\{4,7,1,3\}</math>，然后原数阵驾驶员减1，替换乘客得到<math>\{4,4,1,2\}</math>，最后得到最终展开为<math>\{4,4,\{4,7,1,3\},2\}</math>。
+=== 扩展数阵记号 ===
+一个扩展数阵为如下形式，由若干个项和若干个分隔符<math>(x_i)</math>组成：
+<math>\{a_{01},a_{02},\cdots,a_{0m_0}(x_1)a_{11},\cdots,a_{1m_1}(x_2)\cdots(x_3)\cdots(x_n)a_{n1},a_{n2},\cdots,a_{nm_n}\}</math>
+我们定义以下概念：
+# <math>a_{01}</math>为'''底数'''，记为<math>b</math>。
+# <math>a_{02}</math>为'''指数'''，记为<math>p</math>。
+# 指数右侧第一个非1的数称为'''驾驶员'''。
+# 驾驶员左侧如果不是分隔符，称其左侧的第一个项为'''副驾驶'''。
+定义<math>\&</math>符号如下，它生成扩展数阵中的项和分隔符：
+<math>1\&^na=a</math>，
+<math>b\&a=a,(b-1)\&a</math>，
+<math>b\&^{k+1}a=b\&^ka(k)(b-1)\&^{k+1}a</math>。
+注：在大部分版本中，<math>\&</math>的指标写在左上侧。此处写在右上侧是为了避免与<math>b^k</math>混淆。
+注：有的地方认为形如<math>b\&a</math>的表达式直接表达了一个(扩展)数阵<math>\{a,a,\cdots,a\}</math>，实际上这是错误的。
+对于扩展数阵<math>\{a_{01},a_{02},\cdots,a_{0m_0}(x_1)a_{11},\cdots,a_{1m_1}(x_2)\cdots(x_3)\cdots(x_n)a_{n1},a_{n2},\cdots,a_{nm_n}\}</math>，其展开规则如下：
+# 如果扩展数阵只有<math>a_{01},a_{02}</math>两项，扩展数阵的值为<math>b^p</math>。
+# 如果指数为1，扩展数阵的值为<math>b</math>。
+# 如果某个<math>a_{km_k}=1</math>，扩展数阵的值相当于删掉<math>a_{km_k}</math>后得到的扩展数阵的值。
+# 如果某个<math>m_k=0</math>，而且<math>k=n</math>或<math>x_k<x_{k+1}</math>，那么扩展数阵的值相当于删掉<math>(x_k)</math>后得到的扩展数阵的值。
+# 如果扩展数阵中没有分隔符，按数阵记号的规则展开。
+# 如果以上规则均不适用：此时扩展数阵形如<math>\{a,b(x_1)(x_2)(x_3)\cdots(x_n)b_1,b_2,\cdots,b_t\#\}</math>，满足<math>x_1\geq{x_2}\geq\cdots\geq{x_n}</math>，<math>b_1=b_2=\cdots=b_{t-1}=1</math>。
+## 如果<math>t=1</math>，其展开为<math>\{b\&^{x_1}a(x_1)b\&^{x_2}a(x_2)b\&^{x_3}a(x_3)\cdots{b}\&^{x_n}a(x_n)b_1-1\#\}</math>。
+## 如果<math>t>1</math>，其展开为<math>\{b\&^{x_1}a(x_1)b\&^{x_2}a(x_2)b\&^{x_3}a(x_3)\cdots{b}\&^{x_n}a(x_n)a,a,\cdots,a,\{a,b-1(x_1)(x_2)(x_3)\cdots(x_n)b_1,b_2,\cdots,b_t\#\},b_t-1\#\}</math>。
+类似于数阵记号，“乘客”的定义可以如下理解：
+分隔符<math>(k)</math>给出了一个尺寸为<math>p^k</math>的“块”(类似于<math>\&</math>符号的结构)，“乘客”则是驾驶员左侧的所有这样的块(不完整的用1补齐)去掉副驾驶员。于是上述展开规则5.和6.可以写为：
+# 复制一个这个扩展数阵的副本，并将副本中指数的值减1。
+# 将原本扩展数阵的驾驶员减1，全体乘客替换为底数。
+# 如果副驾驶存在，将副驾驶换为之前得到的扩展数阵副本。
+据此，可以认为扩展数阵记号是数阵记号的扩展。
+=== 超指数数阵记号 ===
+在扩展数阵记号中，我们用分隔符<math>(k)</math>表示了一个尺寸为<math>p^k</math>的“块”，且其结构也类似于“长度”为<math>p</math>的<math>k</math>维区域。
+于是，设想用<math>(0,1)</math>来表示尺寸为<math>p^p</math>的块，使得<math>\{a,b(0,1)2\}=\{a,b(b)2\}</math>。
+进一步地，可以设想用<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>来表示尺寸为<math>p^{a_1+a_2p+\cdots+a_np^n}</math>的块，这一系列<math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math>又有类似于数阵的结构，于是引入<math>((1)1)</math>来表示尺寸为<math>p^{p^p}</math>的块，以此类推，最终可以得到<math>(\cdots(0,1)\cdots)</math>，括号的层数与<math>p</math>有关，来表示尺寸为<math>p\uparrow\uparrow{p}</math>级别的块。
+然而，目前尚未有严谨的，描述高阶括号展开规则的定义。不过我们已经知道，它的理想强度达到了[[增长层级#快速增长层级|FGH]]<math>\varepsilon_0</math>的级别。