可构造宇宙：修订间差异

2025年7月29日 (二) 20:18的最新版本

可构造宇宙（又称“哥德尔的可构造宇宙 L”、“可构造性全域”），是哥德尔为了证明命题的一致性问题而提出的一个内模型。

定义

设 $U$ 为传递集，我们称一个 $U$ 的子集 $A$ 是在结构 $⟨ U, \in ⟩$ 上可定义的，当且仅当存在一个公式 $ϕ (x, a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . .)$ 使得 $X = {x : ⟨ U, \in ⟩ | ϕ (x, a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . .)}$ 。我们将 $d e f (U)$ 表示 $⟨ U, \in ⟩$ 上全体可定义的子集组成的集合，也称可定义幂集。可构造宇宙的定义如下：

$L_{0} = \emptyset$
$L_{α + 1} = d e f (L_{α})$
$L_{α} (α 是极限序数) = ⋃_{β < α} L_{β}$
$L = ⋃_{α \in O r d} L_{α}$

对于任意集合 $a$ ，若存在 $L_{b}$ 使得 $a \in L_{b}$ ，则称 $a$ 是可构造的。

定理

我们可以验证，假设 ZF 是一致的，那么 L 是 ZF 的模型，且是一个真类，且 Ord 是 L 的子类。

L 还蕴含 V=L 即可构造公理，以及选择公理 AC 和广义连续统假设 GCH。并且，L 是 ZF 最小的内模型。

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-可构造宇宙，又称哥德尔的可构造宇宙L，可构造性全域，是哥德尔为了证明命题的一致性问题而提出的一个内模型，其定义如下
+'''可构造宇宙（又称“哥德尔的可构造宇宙 L”、“可构造性全域”）'''，是哥德尔为了证明命题的一致性问题而提出的一个[[内模型]]。
-设U为传递集，我们称一个U的子集集合A是在结构<U,∈>上可定义的，当且仅当存在一个公式φ（x,a1,a2,a3,...）使得
+==== 定义 ====
-X={x：<U,∈>满足φ（x,a1,a2,a3,...）}，我们将def（U）表示<U,∈>上全体可定义的子集组成的集合，也称可定义幂集
+设 <math>U</math> 为[[传递集]]，我们称一个 <math>U</math> 的子集 <math>A</math> 是在结构 <math>\langle U,\in\rangle</math> 上可定义的，当且仅当存在一个公式 <math>\phi(x,a_{1},a_{2},a_{3},...)</math> 使得 <math>X=\{x:\langle U,\in\rangle |\phi(x,a_{1},a_{2},a_{3},...)\}</math>。我们将 <math>def(U)</math> 表示 <math>\langle U,\in\rangle</math> 上全体可定义的子集组成的集合，也称可定义幂集。可构造宇宙的定义如下：
-L_0=空集
+* <math>L_{0}=\emptyset</math>
+* <math>L_{\alpha+1}=def(L_{\alpha})</math>
+* <math>L_{\alpha}(\alpha\text{ 是极限序数})=\bigcup_{\beta<\alpha}\ L_{\beta}</math>
+* <math>L=\bigcup_{\alpha\in Ord}\ L_{\alpha}</math>
-L_a+1=def（L_a）
+对于任意集合 <math>a</math>，若存在 <math>L_{b}</math>使得 <math>a\in L_{b}</math>，则称 <math>a</math> 是'''可构造的'''。
-L_a(a为[[极限序数]])=U _b<a Lb
+==== 定理 ====
-L=U _a∈ord L_a
+我们可以验证，假设 [[ZFC公理体系|ZF]] 是一致的，那么 L 是 ZF 的模型，且是一个真类，且 Ord 是 L 的子类。
-对于任意集合a,若存在L_b使得a∈L_b，则称a是可构造的
+L 还蕴含 V=L 即可构造公理，以及[[ZFC公理体系#选择公理|选择公理]] AC 和广义连续统假设 GCH。并且，L 是 ZF 最小的内模型。
-我们可以验证，假设ZF是一致的，那么L是ZF的模型，且是一个真类，且ord是L的子类
-L还蕴含V=L即可构造公理，以及选择公理AC和广义连续统假设GCH，并且，L是ZF最小的内模型
 [[分类:集合论相关]]