冯诺依曼宇宙：修订间差异

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2025年7月29日 (二) 20:37的最新版本

冯诺依曼宇宙，即良基集合宇宙 WF，是冯诺依曼提出的一个由累加层次归纳构建的集论模型。

定义

在正则公理的基础上，冯诺依曼宇宙和集论全域 $V = {x : x = x}$ 是一个集论模型。我们将 $V$ 的一个累加层次称为 $V_{α}$ ，其中 $α$ 是一个序数。有如下定义：

$V_{0} = \emptyset$
$V_{α + 1} = 𝔓 (V_{α})$
$V_{α} = \cup_{β < α} V_{β}$ ，当 $α$ 是极限序数
$V = \cup_{α \in O r d} V_{α}$

性质

我们可以得出这个模型拥有许多良好的性质，例如

任何一个 $V_{α}$ 都是一个传递集，对于任意 $α$ ， $α \subset V_{α}$ ，并且可以根据“任何集合都在 V 中”这个属性来定义集合的秩（rank）。

冯诺依曼宇宙被认为是集论的“预备模型”，即如果 ZFC 是一致的，那么 $V$ 是它的一个模型。 $V$ 也被称为集合论宇宙。

$V$ 的一些累加层次可以作为 ZFC 公理体系的弱化版的模型，例如 ZF-INF 的模型可以是 $V_{ω}$ ，Z 的模型可以是 $V_{ω \times 2}$ 。

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-冯诺依曼宇宙，即[[良基集|良基集合]]宇宙WF，是冯诺依曼提出的一个由累加层次归纳构建的集论模型.
+冯诺依曼宇宙，即[[传递集#良基集（Well-founded Set）|良基集合]]宇宙 WF，是冯诺依曼提出的一个由累加层次归纳构建的集论模型。
 ==== 定义 ====
-在[[ZFC公理体系#正则公理|正则公理]]的基础上，冯诺依曼宇宙和集论全域 <math>V=\{x:x=x\}</math> 是一个[[模型]]. 我们将<math>V</math>的一个累加层次称为<math>V_{\alpha}</math>，其中<math>\alpha</math>是一个[[序数]]. 有如下定义：
+在[[ZFC公理体系#正则公理|正则公理]]的基础上，冯诺依曼宇宙和集论全域 <math>V=\{x:x=x\}</math> 是一个集论[[模型]]。我们将<math>V</math>的一个累加层次称为<math>V_{\alpha}</math>，其中<math>\alpha</math>是一个[[序数]]。有如下定义：
-<math>V_0=\emptyset</math>
+* <math>V_0=\emptyset</math>
+* <math>V_{\alpha+1}=\mathfrak{P}(V_{\alpha})</math>
-<math>V_{\alpha+1}=\mathfrak{P}(V_{\alpha})</math>
+* <math>V_{\alpha}=\cup_{\beta<\alpha}\ V_{\beta}</math>，当 <math>\alpha</math> 是[[序数#极限序数|极限序数]]
+* <math>V=\cup_{\alpha\in Ord}\ V_{\alpha}</math>
-<math>V_{\alpha}=\cup_{\beta<\alpha}\ V_{\beta}</math>，当 <math>\alpha</math> 是极限序数
-<math>V=\cup_{\alpha\in Ord}\ V_{\alpha}</math>
 ==== 性质 ====
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 我们可以得出这个模型拥有许多良好的性质，例如
-任何一个<math>V_{\alpha}</math>都是一个[[传递集]]，对于任意<math>\alpha</math>，<math>\alpha\subset V_{\alpha}</math>，并且可以根据“任何集合都在V中”这个属性来定义集合的秩（rank）.
+任何一个 <math>V_{\alpha}</math> 都是一个[[传递集]]，对于任意 <math>\alpha</math>，<math>\alpha\subset V_{\alpha}</math>，并且可以根据“任何集合都在 V 中”这个属性来定义集合的秩（rank）。
-冯诺依曼宇宙被认为是集论的“预备模型”，即如果<math>\rm ZFC</math>是一致的，那么<math>V</math>是它的一个模型. <math>V</math>也被称为，集合论宇宙.
+冯诺依曼宇宙被认为是集论的“预备模型”，即如果 ZFC 是一致的，那么 <math>V</math> 是它的一个模型。<math>V</math> 也被称为集合论宇宙。
-<math>V</math>的一些累加层次可以作为[[ZFC公理体系]]的弱化版的模型，例如ZF-INF的模型可以是<math>V_{\omega}</math>，Z的模型可以是<math>V_{\omega\times 2}</math>.
+<math>V</math> 的一些累加层次可以作为 [[ZFC公理体系|ZFC 公理体系]]的弱化版的模型，例如 ZF-INF 的模型可以是 <math>V_{\omega}</math>，Z 的模型可以是<math>V_{\omega\times 2}</math>。
+[[分类:集合论相关]]