下箭号表示法：修订间差异

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2026年2月25日 (三) 19:18的最新版本

下箭号表示法（亦称"下箭头记号"），一种满足左结合律的二元运算。

定义

下箭号由如下公式递归定义：

$a ↓^{1} b = a^{b}$
$a ↓^{c} 1 = a$
$a ↓^{c + 1} (b + 1) = (a ↓^{c + 1} b) ↓^{c} a$

其中， $a, b, c$ 均为正整数， $a ↓^{c} b = a \underset{c}{\underset{⏟}{↓ ↓ \dots ↓}} b$ .

在计算下箭号时，如无括号，按照从左往右的顺序计算，即：

$a ↓^{m} b ↓^{n} c = (a ↓^{m} b) ↓^{n} c$

若将下箭号的左结合律更替为右结合律，其余定义不变，将得到高德纳箭头。

性质

下箭号有如下性质：

展开

$n ↓^{k} m = \underset{m个n}{\underset{⏟}{n ↓^{k - 1} n ↓^{k - 1} \dots ↓^{k - 1} n}}$

增长率

下箭号虽然看起来增长得比高德纳箭头慢得多，但其FGH 增长率仍为 $ω$ .

可以证明的是， $a ↓^{2 n - 1} b \geq a ↑^{n} b$ .

超运算

下箭号是一种超运算记号。

计算示例

$\begin{aligned} 3 ↓ ↓ ↓ 3 & = (3 ↓ ↓ 3) ↓ ↓ 3 \\ = (3 ↓ 3 ↓ 3) ↓ ↓ 3 \\ = (27 ↓ 3) ↓ ↓ 3 \\ = 19683 ↓ ↓ 3 \\ = 1968 3^{1968 3^{2}} \\ = 3^{3^{20}} \end{aligned}$

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-{{DISPLAYTITLE:下箭号表示法、下箭头记号}}
+'''下箭号表示法（亦称"下箭头记号"）'''，一种满足'''左结合律'''的二元运算。
+== 定义 ==
+下箭号由如下公式递归定义：
+* <math>a \downarrow^1 b = a^b</math>
+* <math>a \downarrow^{c} 1 = a</math>
+* <math>a \downarrow^{c+1} (b+1) = ( a \downarrow^{c+1} b)\downarrow^{c}  a</math>
-下箭号表示法是一种[[超运算]]，它类似于[[高德纳箭头|上箭号表示法]]，只是将其结合律从[[右结合]]变成了[[左结合]]。
+其中，<math>a,b,c</math> 均为'''正整数'''，<math>a \downarrow^{c} b = a\ \underbrace{ \downarrow\downarrow\cdots\downarrow }_{c}\ b</math>.
-==== 定义 ====
+在计算下箭号时，如无括号，按照从左往右的顺序计算，即：
-<math>a \downarrow^1 b = a^b</math>
+* <math>a \downarrow^{m} b\downarrow^{n} c=(a \downarrow^{m} b)\downarrow^{n} c</math>
+若将下箭号的左结合律更替为右结合律，其余定义不变，将得到[[高德纳箭头]]。
-<math>a \downarrow^{n} 1 = a</math>
+== 性质 ==
-<math>a \downarrow^{n+1} (b+1) = ( a \downarrow^{n+1} b)\downarrow^{n}  a</math>
+下箭号有如下性质：
-==== 小贴士 ====
+==== 展开 ====
-下箭号虽然看起来增长地比上箭号慢得多，但其FGH[[增长率]]仍为<math>\omega</math>。
+<math>n \downarrow^{k} m = \underbrace{n \downarrow^{k-1} n \downarrow^{k-1} \cdots \downarrow^{k-1} n }_{\text{m个n}}</math>
-可以证明的是，<math>a \downarrow^{2n-1} b \ge a \uparrow^n b</math>。
+==== 增长率 ====
+下箭号虽然看起来增长得比高德纳箭头慢得多，但其[[增长层级#快速增长层级|FGH]][[增长率]]仍为 <math>\omega</math>.
+可以证明的是，<math>a \downarrow^{2n-1} b \ge a \uparrow^n b</math>.
+==== 超运算 ====
+下箭号是一种[[超运算|超运算记号]]。
+== 计算示例 ==
+<math>\begin{align}
+\downarrow\downarrow\downarrow3&=(3\downarrow\downarrow3)\downarrow\downarrow3\\&=(3\downarrow3\downarrow3)\downarrow\downarrow3\\&=(27\downarrow3)\downarrow\downarrow3\\&=19683\downarrow\downarrow3\\&=19683^{19683^2}\\&=3^{3^{20}}
+\end{align}</math>
+{{默认排序:大数记号}}
+[[分类:记号]]