超运算序列

超运算序列（Hyperoperation Sequence）是指一个从基本算术运算（如加法）开始，通过迭代方式逐步扩展到更高阶运算（如乘法、乘方、迭代幂次等）的二元运算序列。超运算序列可以统一地用三元函数表示，其中级别 n 参数化了运算的“高度”。高德纳箭头、阿克曼函数等均为超运算序列。

特别地，对于一个超运算序列中特定的非初始 n 值的运算，我们称之为超运算。序列中的第 n 项即为第 n 级超运算。

定义

广义超运算

广义的超运算序列可以这么定义：

$H_n(a,b)=\{\begin{array}{ll}f(a,b)& \text{if }n=1\\ H_{n-1}(a,H_n(a,b-1))& \text{if }n>1\end{array}$

其中 $f$ 可以是任意二元函数，例如 $f(a,b)=a+b$，$f(a,b)=a^b$。

它实际上与增长层级有许多类似之处，只不过它是二元的。

方括号超运算

现在常用的超运算序列 $a[n]b$ 是 Goodstein 的 $G(n,a,b)$ 的变体。它的定义如下：

$a[n]b=\{\begin{array}{ll}b+1& \text{if }n=0\\ a& \text{if }n=1\text{ and }b=0\\ 0& \text{if }n=2\text{ and }b=0\\ 1& \text{if }n\ge 3\text{ and }b=0\\ a[n-1](a[n](b-1))& \text{otherwise}\end{array}$

我们有：

• $a[0]b=b+1$
• $a[1]b=a+b$
• $a[2]b=a\times b$
• $a[3]b=a^b$

$a[n]b(n\ge 3)$等价于高德纳箭头。