SAM：修订间差异

2025年8月24日 (日) 18:30的最新版本

SAM（Simple Admissble Mark，简单非递归系统）（事实上这里中英不完全一致，但是别管历史遗留问题），分为 New. 和 Old. 两个版本。Old. 版本更简洁，但是在常用的环境下，难以准确定义，而 New. 版本的良定义程度和投影序数完全一致

SAM 的理念是“用小递归序数的结构理想地表示出大非递归序数的各类层级和结构，然后再放入非递归序数，实现‘左脚踩右脚上天’的效果”。而目前能近似实现上述功能的事物只有兼容（小递归序数表示大递归序数），因此，SAM 选择了兼容作为理想表示的暂时的、局部的实现方式。但是我们可以注意到，这事实上不可能绝对理想的被实现，所以绝对理想的 SAM 在理论中也许并不存在，我们目前用的只是一种“将就”的定义。

本页面将主要叙述 SAM 的 New. 版本。

定义

SAM 存在一类大序数，形如 S_...，就像投影中有各种各样的 α_... 一样，前者的部分性质同样也可以参考后者。其兼容链不仅是一个 [#]，在 SAM 中，这只是一个“行”，而 SAM 的兼容链则是由许多个“行”所构成的“面”。SAM 的定义需要 pfffz（即 pfec fffz）的定义，而 pfffz 实际上就是把 Ω 给直接且不折叠地放进 fffz 里，缺失的结构和基本列长度则通过和 SAM 一样的方法补全。

SAM 的完整定义如下：

$ψ_{S} (0) = 1$
$ψ_{S} (S + 1) = h_{S + 1}$
$ψ_{S} #^{'} [&] (n) = m i n α \to g (α)$ ，当第 2 条规则无法使用且 n 的最内项为 S_... 且 & 的末项 >n 且 $n > m i n α \to g (α)$ ，其中 g(x) = 把 n 的最内项替换为 x 后，所得的新 n 的值
$ψ_{S} #^{'} [&] (n) = ψ_{S} #^{'} [&, n]^{'} [f (n, g (& 的末项)] (f (n, g (& 的末项)))$ ，当第 2、3 条规则无法使用，且 [&,n] 存在，[%,n] 存在
$ψ_{S} #^{'} [&] (n) = m i n α \to ψ_{S} # [&, n] (α)$ ，当第 2、3 条规则无法使用，且 [&,n] 存在、[%,n]不存在、n 为极限序数
$ψ_{S} #^{'} [&] (n) = ψ_{S} #^{'} [&] (n - 1) \times ω$ ，当第 2、3 条规则无法使用，且 [&,n] 存在、[%,n] 不存在、n 为后继序数
$ψ_{S} #^{'} [&] (n) = m i n {α | α > ψ_{S} #^{'} [&] (< n)}$ ，当第 2、3 条规则无法使用，且 [&,n] 不存在
$ψ_{S} # [&] (n) = ψ_{S} # [&, n]^{'} [f (n)] (f (n))$ ，当 [&,n] 存在、[%,n] 存在
$ψ_{S} # [&] (n) = m i n α \to ψ_{S} # [&, n] (α)$ ，当 [&,n] 存在、[%,n] 不存在、n 为极限序数
$ψ_{S} # [&] (n) = ψ_{S} # [&] (n - 1) \times ω$ ，当 [&,n] 存在、[%,n] 不存在、n 为后继序数
$ψ_{S} # [&] (n) = m i n {α | α > ψ_{S} #^{'} [&] (< n)}$ ，当 [&,n] 不存在

化简规则

$ψ_{S} # [&, m] (n) = ψ_{S} # [&] (n)$ ，当 m>n 或 [&,m] 不存在
$ψ_{S} # [] (n) = ψ_{S} # (n)$
$ψ_{S} # [&, m]^{'} (n) = ψ_{S} # [&, m] (n)$ ，当 m>n 或 n<S

附加规则：

f(n,m) = 找到 n 中最外小于 $S_{m}$ 的内项，如果等于 n 则为 $h_{S_{m} + 1}$ 。否则如果不等于 n 且是极限序数则将其替换为 $S_{m}$ ；如果不等于 n 且是后继序数则将其替换为其后继；如果不存在则为 $h (S_{m} + 1)$ ，最终所得的新 n 的值
$g (x) = m a x {S_{v} | x \geq S_{v}}$
激活函数 $h (x) = Ω_{x + 1}$

$ψ_{S} # [&] (n)$ 的直接内项，是 n 的末项；多项式的直接内项，是其末项；0 和 S_... 的直接内项是自身；n 的内项，是自身和自身内项的直接内项；n 的间接内项，是不是 n 的直接内项的 n 的内项；n 的最内项，是指所属层数最大的内项。

项，是序数；行，是由项依次有序组成的序列；面，是由行依次有序组成的序列，行之间可以直接连接，也可间隔一个间接连接。

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-'''SAM'''
+'''SAM'''（Simple Admissble Mark，简单非递归系统）''（事实上这里中英不完全一致，但是别管历史遗留问题）''，分为 New. 和 Old. 两个版本。Old. 版本更简洁，但是在常用的环境下，难以准确定义，而 New. 版本的良定义程度和投影序数完全一致
-即Simple Admissble Mark，简单非递归系统''（事实上这里中英不完全一致，但是别管历史遗留问题）''，分为New.和Old.两个版本。Old.版本更简洁，但是在常用的环境下，难以准确定义，而New.版本的良定义程度和投影序数完全一致
-SAM的理念是“用小递归序数的结构理想地表示出大非递归序数的各类层级和结构，然后再放入非递归序数，实现‘左脚踩右脚上天’的效果”。而目前能近似实现上述功能的事物只有兼容（小递归序数表示大递归序数），因此，SAM选择了兼容作为理想表示的暂时的、局部的实现方式。但是我们可以注意到，这事实上不可能绝对理想的被实现，所以绝对理想的SAM在理论中也许并不存在，我们目前用的只是一种“将就”的定义
+SAM 的理念是“用小递归序数的结构理想地表示出大非递归序数的各类层级和结构，然后再放入非递归序数，实现‘左脚踩右脚上天’的效果”。而目前能近似实现上述功能的事物只有兼容（小递归序数表示大递归序数），因此，SAM 选择了兼容作为理想表示的暂时的、局部的实现方式。但是我们可以注意到，这事实上不可能绝对理想的被实现，所以绝对理想的 SAM 在理论中也许并不存在，我们目前用的只是一种“将就”的定义。
-本页面将主要叙述SAM的New版本
+本页面将主要叙述 SAM 的 New. 版本。
-首先，SAM存在一类大序数，形如<math>S_\cdots</math>，就像投影中有各种各样的<math>\alpha_\cdots</math>一样，前者的部分性质同样也可以参考后者
+=== 定义 ===
+SAM 存在一类大序数，形如 S<sub>...</sub>，就像投影中有各种各样的 α<sub>...</sub> 一样，前者的部分性质同样也可以参考后者。其兼容链不仅是一个 [#]，在 SAM 中，这只是一个“行”，而 SAM 的兼容链则是由许多个“行”所构成的“面”。SAM 的定义需要 pfffz（即 pfec fffz）的定义，而 pfffz 实际上就是把 Ω 给直接且不折叠地放进 fffz 里，缺失的结构和基本列长度则通过和 SAM 一样的方法补全。
-其次，SAM的兼容链不仅是一个[#]。在SAM中，这只是一个“行”。而SAM的兼容链则是由许多个“行”所构成的“面”
+SAM 的完整定义如下：
-再次，SAM的定义需要pfffz(即p.f.e.c fffz)的定义，而pfffz实际上就是把<math>\Omega</math>给直接且不折叠地放进fffz里，缺失的结构和基本列长度则通过和SAM一样的方法补全
-然后，SAM的完整定义如下：
 # <math>\psi_S(0)=1</math>
 # <math>\psi_S(S+1)=h_{S+1}</math>
-# <math>\psi_S\#'[\&](n)=min~\alpha\rightarrow g(\alpha)</math>   第2条规则无法使用 且 n的最内项为“<math>S_{...}</math>”且“&的末项”>n 且 <math>n>min~\alpha\rightarrow g(\alpha)</math>，其中g(x)=“把n的最内项替换为x后，所得的新n的值”
+# <math>\psi_S\#'[\&](n)=min~\alpha\rightarrow g(\alpha)</math>，当第 2 条规则无法使用且 n 的最内项为 S<sub>...</sub> 且 <code>& 的末项 >n</code> 且 <math>n>min~\alpha\rightarrow g(\alpha)</math>，其中 <code>g(x) = 把 n 的最内项替换为 x 后，所得的新 n 的值</code>
-# <math>\psi_S\#'[\&](n)=\psi_S\#'[\&,n]'[f(n,g(\&\text{的末项})](f(n,g(\&\text{的末项})))</math>   第2、3条规则无法使用 且 [&,n]存在 且 [%,n]存在
+# <math>\psi_S\#'[\&](n)=\psi_S\#'[\&,n]'[f(n,g(\&\text{的末项})](f(n,g(\&\text{的末项})))</math>，当第 2、3 条规则无法使用，且 [&,n] 存在，[%,n] 存在
-# <math>\psi_S\#'[\&](n)=min~\alpha\rightarrow\psi_S\#[\&,n](\alpha)</math>  第2、3条规则无法使用 且 [&,n]存在 且 [%,n]不存在 且 n为极限序数
+# <math>\psi_S\#'[\&](n)=min~\alpha\rightarrow\psi_S\#[\&,n](\alpha)</math>，当第 2、3 条规则无法使用，且 [&,n] 存在、[%,n]不存在、n 为极限序数
-# <math>\psi_S\#'[\&](n)=\psi_S\#'[\&](n-1)\times\omega</math>   第2、3条规则无法使用 且 [&,n]存在 且 [%,n]不存在 且 n为后继序数
+# <math>\psi_S\#'[\&](n)=\psi_S\#'[\&](n-1)\times\omega</math>，当第 2、3 条规则无法使用，且 [&,n] 存在、[%,n] 不存在、n 为后继序数
-# <math>\psi_S\#'[\&](n)=min\{\alpha|\alpha>\psi_S\#'[\&](<n)\}</math>   第2、3条规则无法使用 且 [&,n]不存在
+# <math>\psi_S\#'[\&](n)=min\{\alpha|\alpha>\psi_S\#'[\&](<n)\}</math>，当第 2、3 条规则无法使用，且 [&,n] 不存在
-# <math>\psi_S\#[\&](n)=\psi_S\#[\&,n]'[f(n)](f(n))</math>   [&,n]存在 且 [%,n]存在
+# <math>\psi_S\#[\&](n)=\psi_S\#[\&,n]'[f(n)](f(n))</math> ，当 [&,n] 存在、[%,n] 存在
-# <math>\psi_S\#[\&](n)=min~\alpha\rightarrow\psi_S\#[\&,n](\alpha)</math>   [&,n]存在 且 [%,n]不存在 且 n为极限序数
+# <math>\psi_S\#[\&](n)=min~\alpha\rightarrow\psi_S\#[\&,n](\alpha)</math> ，当 [&,n] 存在、[%,n] 不存在、n 为极限序数
-# <math>\psi_S\#[\&](n)=\psi_S\#[\&](n-1)\times\omega</math>   [&,n]存在 且 [%,n]不存在 且 n为后继序数
+# <math>\psi_S\#[\&](n)=\psi_S\#[\&](n-1)\times\omega</math> ，当 [&,n] 存在、[%,n] 不存在、n 为后继序数
-# <math>\psi_S\#[\&](n)=min\{\alpha|\alpha>\psi_S\#'[\&](<n)\}</math>   [&,n]不存在
+# <math>\psi_S\#[\&](n)=min\{\alpha|\alpha>\psi_S\#'[\&](<n)\}</math> ，当 [&,n] 不存在
 化简规则
-# <math>\psi_S\#[\&,m](n)=\psi_S\#[\&](n)</math>   m>n 或 [&,m]不存在
+# <math>\psi_S\#[\&,m](n)=\psi_S\#[\&](n)</math>，当 m>n 或 [&,m] 不存在
 # <math>\psi_S\#[](n)=\psi_S\#(n)</math>
-# <math>\psi_S\#[\&,m]'(n)=\psi_S\#[\&,m](n)</math>  m>n 或 n<S
+# <math>\psi_S\#[\&,m]'(n)=\psi_S\#[\&,m](n)</math>，当 m>n 或 n<S
-附加规则
-  f(n,m)=“找到n中最外小于<math>S_m</math>的内项，如果等于n则为<math>h_{S_m+1}</math>。否则如果不等于n且是极限序数则将其替换为<math>S_m</math>；如果不等于n且是后继序数则将其替换为其后继；如果不存在则为<math>h(S_m+1)</math> ， 最终所得的新n的值”
-<math>g(x)=max\{S_v|x\geq S_v\}</math>
-激活函数<math>h(x)=\Omega_{x+1}</math>
-<math>\psi_S\#[\&](n)</math>的直接内项，是n的末项
+附加规则：
-  多项式的直接内项，是其末项
-和S_...的直接内项是自身
-  n的内项，是自身和自身内项的直接内项
-  n的间接内项，是 不是n的直接内项的 n的内项
-  n的最内项，是指所属层数最大的内项
-项，是序数
-行，是由项依次有序组成的序列
+* <code>f(n,m) = 找到 n 中最外小于 <math>S_m</math> 的内项，如果等于 n 则为 <math>h_{S_m+1}</math>。否则如果不等于 n 且是极限序数则将其替换为 <math>S_m</math>；如果不等于 n 且是后继序数则将其替换为其后继；如果不存在则为 <math>h(S_m+1)</math>，最终所得的新 n 的值</code>
+* <math>g(x)=max\{S_v|x\geq S_v\}</math>
+* 激活函数 <math>h(x)=\Omega_{x+1}</math>
+<math>\psi_S\#[\&](n)</math> 的直接内项，是 n 的末项；多项式的直接内项，是其末项；0 和 S<sub>...</sub> 的直接内项是自身；n 的内项，是自身和自身内项的直接内项；n 的间接内项，是 不是 n 的直接内项的 n 的内项；n 的最内项，是指所属层数最大的内项。
-面，是由行依次有序组成的序列，行之间可以直接连接，也可间隔一个'间接连接，'
+项，是序数；行，是由项依次有序组成的序列；面，是由行依次有序组成的序列，行之间可以直接连接，也可间隔一个间接连接。
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