不可达基数的独立性：修订间差异

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2025年8月31日 (日) 11:04的最新版本

本篇文章在 ZFC+“对于任何基数，都存在一个其后的不可达基数”环境下工作，以证明“存在一个不可达基数”这个命题独立于 ZFC。

由 Tarski 给出的不可达基数公理，考虑第一个不可达基数 $κ$ ，则 $V_{κ} ⊨ Z F C$ 。

引理

若 $κ$ 是不可达基数，则 $V_{κ} ⊨ Z F C$ 。

证明

外延公理： $V_{κ}$ 的元素都是集合，所以它们自然满足。

配对公理：对于任意 $a, b \in V_{κ}$ ，我们都可以找到 $α$ 使得 $a, b \in V_{α}$ ，则 ${a, b} \in V_{α + 1} \subseteq V$ ，所以自然满足。

分离公理模式：对于任意 $a \in V_{κ}$ ，我们都可以得到它是某个 $V_{α + 1}$ 的元素，则任意 $z \in a$ 都是 $V_{α}$ 的元素， $a$ 的任意子集应该都是 $V_{α + 1}$ 的元素，所以自然满足。

正则公理模式：考虑任意非空集 $S \in V_{κ}$ ，以及任意 $x \in S$ ，因为 $S$ 可以确定其中任意元素的 rank，所以取 $S$ 中 rank 最低的元素 $x$ (由于 Ord上存在一个良序，所以任意序数类的子类都有这个良序的最小元，rank 是序数，取全体 $S$ 中元素的 rank 序数构成一个类即可)，则不存在 $y \in S$ 使得 $y \in x$ ，否则 $y$ 的 rank 应该低于 $x$ ，矛盾，所以存在 $x \in S$ 使得 $x \cap S$ 为空，得以证明。

幂集公理：由前面可得任意 $x \in V_{α} (α < κ)$ ，任意 $x$ 的子集都在 $V_{α}$ 中，则 $𝒫 (x) \in V_{α + 1}$ 。

并集公理：考虑任意 $x \in V_{α} (α < κ)$ 而言，它们的任意元素 $u$ 都在某个 $V_{β} (β < α)$ 中，任意 $u$ 的元素都在某个 $V_{γ} (γ < β)$ 中，则 $V_{γ + 1}$ 中存在 $x$ 的并集。

无穷公理： $ω$ 是 $V_{κ}$ 的元素。

替代公理模式：由 $κ$ 是不可达得到 $κ$ 是 Beth 不动点，则 $κ = | V_{κ} |$ ，则对于任意 $X \in V_{α} (α < κ)$ ，则对于任意映射 $f : X \to A, A \subseteq V_{κ}$ ，则 $| A | \leq | X | < | V_{κ} |$ ，所以存在某个 $b$ 使得不存在 $A$ 的元素属于 $V_{β}$ ，则 $A$ 是 $V_{β}$ 的元素，则 $A \in V_{κ}$ 。

选择公理：任意 $a = a_{n} ∣ n \in b \in V_{κ}$ ，则 $a \in V_{c} (c < κ)$ ，则存在某个 $V_{d} (d < c)$ 包含的任意 $a_{n}$ 的元素，则一定存在一个集合使得它是 $⋃ {a_{n} ∣ n \in b}$ 的子集，得证。

进一步可以得到 $V_{κ} ⊨ Z F C +$ 不存在不可达基数，考虑第二个不可达基数 $y$ 则可以得到 $V_{y} ⊨ Z F C +$ 存在一个不可达基数。

于是，得证：命题“存在一个不可达基数”独立于 ZFC。

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-本篇文章在ZFC+“对于任何基数，都存在一个其后的不可达基数”环境下工作，以证明“存在一个不可达基数”这个命题独立于ZFC
+本篇文章在 ZFC+“对于任何基数，都存在一个其后的不可达基数”环境下工作，以证明“存在一个不可达基数”这个命题独立于 ZFC。
-由tarski给出的不可达基数公理，考虑第一个不可达基数k，则Vk|=ZFC
+由 Tarski 给出的不可达基数公理，考虑第一个不可达基数 <math>\kappa</math>，则 <math>V_\kappa\vDash\mathrm{ZFC}</math>。
-引理：若k是不可达基数，则V_k|=ZFC
+'''引理'''
-证明：外延公理：Vk的元素都是集合，所有它们自然满足外延
+若 <math>\kappa</math> 是不可达基数，则 <math>V_\kappa\vDash\mathrm{ZFC}</math>。
-配对公理：对于任意a，b∈Vk，我们都可以找到a，b∈某个Va，则｛a，b｝∈V_a+1⊂V，所以自然满足
+'''证明'''
-分离公理模式：对于任意a∈Vk，我们都可以得到它是某个V_a+1的元素，则任意z∈a都是V_a的元素，a的任意子集应该都是V_a+1的元素，所以自然满足
+外延公理：<math>V_\kappa</math> 的元素都是集合，所以它们自然满足。
-正则公理模式：考虑任意非空集S∈Vk，以及任意x∈S，因为S可以确定其中任意元素的rank，所以取S中rank最低的元素x(由于ord上存在一个良序，所以任意序数类的子类都有这个良序的最小元，rank是序数，取全体S中元素的rank序数构成一个类即可)，则不存在y∈S使得y∈x，否则y的rank应该低于x，矛盾，所以存在x∈S使得x∩S为空，得以证明
+配对公理：对于任意 <math>a,b\in V_\kappa</math>，我们都可以找到 <math>\alpha</math> 使得 <math>a,b\in V_\alpha</math>，则 <math>\{a,b\}\in V_{\alpha+1}\sube V</math>，所以自然满足。
-幂集公理：由前面可得任意x∈Va(a＜k)，任意x的子集都在Va中，则P(x)∈V_a+1
+分离公理模式：对于任意 <math>a\in V_\kappa</math>，我们都可以得到它是某个 <math>V_{\alpha+1}</math>的元素，则任意 <math>z\in a</math> 都是 <math>V_\alpha</math> 的元素，<math>a</math> 的任意子集应该都是 <math>V_{\alpha+1}</math> 的元素，所以自然满足。
-并集公理：考虑任意x∈Va(a＜k)而言，它们的任意元素u都在某个Vb(b＜a)中，任意u的元素都在某个Vc(c＜b)中，则V_c+1中存在x的并集
+正则公理模式：考虑任意非空集 <math>S\in V_\kappa</math>，以及任意 <math>x\in S</math>，因为 <math>S</math> 可以确定其中任意元素的 rank，所以取 <math>S</math> 中 rank 最低的元素 <math>x</math>(由于 Ord上存在一个良序，所以任意序数类的子类都有这个良序的最小元，rank 是序数，取全体 <math>S</math> 中元素的 rank 序数构成一个类即可)，则不存在 <math>y\in S</math> 使得 <math>y\in x</math>，否则 <math>y</math> 的 rank 应该低于 <math>x</math>，矛盾，所以存在 <math>x\in S</math> 使得 <math>x\cap S</math>为空，得以证明。
-无穷公理：ω是Vk的元素
+幂集公理：由前面可得任意 <math>x\in V_\alpha(\alpha<\kappa)</math>，任意 <math>x</math> 的子集都在 <math>V_\alpha</math> 中，则 <math>\mathcal P(x)\in V_{\alpha+1}</math>。
-替代公理模式：由k是不可达得到k是beth不动点，则k=|Vk|，则对于任意X∈Va(a＜k)，则对于任意映射f：X→A，A⊂Vk，则|A|≤|X|＜|Vk|，所以存在某个b使得不存在A的元素属于Vb，则A是Vb的元素，则A∈Vk
+并集公理：考虑任意 <math>x\in V_\alpha(\alpha<\kappa)</math> 而言，它们的任意元素 <math>u</math> 都在某个 <math>V_\beta(\beta<\alpha)</math> 中，任意 <math>u</math> 的元素都在某个 <math>V_\gamma(\gamma<\beta)</math> 中，则 <math>V_{\gamma+1}</math> 中存在 <math>x</math> 的并集。
-选择公理：任意a=｛a_n：n∈b｝∈Vk，则a∈Vc(c＜k)，则存在某个Vd(d＜c)包含的任意a_n的元素，则一定存在一个集合使得它是Ua_n：n∈b的子集，得证
+无穷公理：<math>\omega</math> 是 <math>V_\kappa</math> 的元素。
-进一步可以得到Vk|=ZFC+不存在不可达基数，考虑第二个不可达基数y则可以得到Vy|=ZFC+存在一个不可达基数
+替代公理模式：由 <math>\kappa</math> 是不可达得到 <math>\kappa</math> 是 Beth 不动点，则 <math>\kappa=|V_\kappa|</math>，则对于任意 <math>X\in V_\alpha(\alpha<\kappa)</math>，则对于任意映射 <math>f:X\to A,A\sube V_\kappa</math>，则 <math>|A|\le|X|<|V_\kappa|</math>，所以存在某个 <math>b</math> 使得不存在 <math>A</math> 的元素属于 <math>V_\beta</math>，则 <math>A</math> 是 <math>V_\beta</math> 的元素，则 <math>A\in V_\kappa</math>。
+选择公理：任意 <math>a={a_n\mid n\in b}\in V_\kappa</math>，则 <math>a\in V_c(c<\kappa)</math>，则存在某个 <math>V_d(d<c)</math> 包含的任意 <math>a_n</math> 的元素，则一定存在一个集合使得它是 <math>\bigcup\{a_n\mid n\in b\}</math> 的子集，得证。
+进一步可以得到 <math>V_\kappa\vDash\mathrm{ZFC}+</math> 不存在不可达基数，考虑第二个不可达基数 <math>y</math> 则可以得到 <math>V_y\vDash\mathrm{ZFC}+</math> 存在一个不可达基数。
+于是，得证：命题“存在一个不可达基数”独立于 ZFC。
-于是，得证：命题“存在一个不可达基数”独立于ZFC
 [[分类:集合论相关]]
-[[分类:证明]]