可构造宇宙

可构造宇宙（又称“哥德尔的可构造宇宙 L”、“可构造性全域”），是哥德尔为了证明命题的一致性问题而提出的一个内模型。

定义

设 $U$ 为传递集，我们称一个 $U$ 的子集 $A$ 是在结构 $⟨U,\in ⟩$ 上可定义的，当且仅当存在一个公式 $\varphi (x,a_1,a_2,a_3,...)$ 使得 $X=\{x:⟨U,\in ⟩|\varphi (x,a_1,a_2,a_3,...)\}$。我们将 $def(U)$ 表示 $⟨U,\in ⟩$ 上全体可定义的子集组成的集合，也称可定义幂集。可构造宇宙的定义如下：

• $L_0=\mathrm{\varnothing }$
• $L_{\alpha +1}=def(L_{\alpha })$
• $L_{\alpha }(\alpha \text{ 是极限序数})=\bigcup _{\beta <\alpha }{L}_{\beta }$
• $L=\bigcup _{\alpha \in Ord}{L}_{\alpha }$

对于任意集合 $a$，若存在 $L_b$使得 $a\in L_b$，则称 $a$ 是可构造的。

定理

当$\alpha \le \omega$时，满足$V_{\alpha }=L_{\alpha }$；如果$V\ne L$，二者会在第$\omega +1$层开始出现大小的分别

我们可以验证，假设 ZF 是一致的，那么 L 是 ZF 的模型，且是一个真类，且 Ord 是 L 的子类。

L 还蕴含 V=L 即可构造公理，以及选择公理 AC 和广义连续统假设 GCH。并且，L 是 ZF 最小的内模型。