一致性：修订间差异
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相对一致性：若理论 <math>T</math> 的一致性可由理论 <math>S</math> 证明（即 <math>S\vDash\mathrm{Con}(T)</math>），则称 ''<math>T</math>'' 相对于 ''<math>S</math>'' 一致。 | 相对一致性：若理论 <math>T</math> 的一致性可由理论 <math>S</math> 证明（即 <math>S\vDash\mathrm{Con}(T)</math>），则称 ''<math>T</math>'' 相对于 ''<math>S</math>'' 一致。 | ||
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2026年5月23日 (六) 22:14的最新版本
在集合论中，一致性（Consistency）指一个形式理论无法推导出矛盾（即同时证明某个命题及其否定）。若一个理论存在至少一个模型（即满足所有公理的结构），则该理论是一致的。一致性是形式系统可信度的核心，确保其推导的定理不会导致逻辑悖论。
定义
若理论 中不存在命题 使得 且 ，则称 一致（或无矛盾）。
相关内容
哥德尔第二不完备定理：若一个足够强的形式系统（如 ZFC 理论体系）是一致的，则它无法在自身内部证明自身的一致性。因此，集合论的一致性通常依赖于更强的元理论（如 ZFC + 大基数公理）或模型论方法。
相对一致性：若理论 的一致性可由理论 证明（即 ），则称 相对于 一致。
一致性证明方法
- 模型构造：通过构建满足公理的具体结构证明一致性
- 相对一致性证明：通过将理论 的公理翻译为另一理论 的语句，若 一致则 一致
- 内模型法：构建满足大基数公理或其他强公理的内模型，以证明这些公理与 ZFC 的相对一致性
集合论中的经典结果
- ZFC 的一致性：目前未发现 ZFC 存在矛盾，但其绝对一致性无法在 ZFC 内部证明。数学家默认接受 ZFC 的一致性，因其与数学实践高度吻合。
- 许多命题（如 CH、选择公理AC）在 ZFC 中独立，即 与 均相对 ZFC 一致。
- 某些非主流理论（如新基础理论 NF）的类一致性已证明，但其与 ZFC 的兼容性仍存疑
一致性如此重要的原因
因为根据爆炸原理，一个系统假设同时推出了，就可以推出任何命题为真，整个系统彻底失去任何价值