PSS Hydra

PSS Hydra(Pair Sequence System Hydra)， 是一种Hydra型序数记号，其行为和BO之前的BOCF类似。PSS Hydra是最简单的达到BO的方法，没有之一。

定义

合法表达式

PSS Hydra 的表达式由${\psi }_n^H(n\in \mathbb{\mathbb{N}})$，$+$，$0$和括号组成。在使用时，${\psi }_n^H(X)$通常简写为$pn(X)$。${\psi }_n^H(0)$可以记作$pn$.

PSS Hydra的合法表达式可以按以下的方式递归定义：

• $0$为合法表达式，其等级为1；
• 若$n$为正整数，$A$为等级$\le n+1$的合法表达式，则${\psi }_n^H(A)$为合法表达式，其等级为$n$；
• 若$A,B$分别为等级为$m,n$的合法表达式，则$A+B$也为合法表达式，其等级为$\max \{m,n\}$。

一个PSS Hydra的合法表达式对应一个小于${\omega }_1^{CK}$的序数，当且仅当其等级为1。

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1. 若$P=0$，则其对应序数0；
2. 若$P=\mathrm{\#}+{\psi }_1^H(0)$，则$P$对应一个后继序数，其前驱为$P^{\prime }=\mathrm{\#}$；
3. 若$P={\mathrm{\#}}_1({\psi }_k^H({\mathrm{\#}}_2+{\psi }_1^H(0)))$，则$P[n]={\mathrm{\#}}_1(\underset{n\text{个}}{\underbrace{{\psi }_k^H({\mathrm{\#}}_2)+{\psi }_k^H({\mathrm{\#}}_2)+\cdots +{\psi }_k^H({\mathrm{\#}}_2)}})$.
4. 若$P={\mathrm{\#}}_1({\psi }_k^H({\mathrm{\#}}_2({\psi }_{k+1}^H(0))))$，${\mathrm{\#}}_2$不包含${\psi }_k^H$，则$P[n]={\mathrm{\#}}_1(\underset{n\text{层}{\psi }_k^H}{\underbrace{{\psi }_k^H({\mathrm{\#}}_2({\psi }_k^H({\mathrm{\#}}_2({\psi }_k^H({\mathrm{\#}}_2(\cdots ))))))}})$.

通俗的说，如果表达式不是0，则需要找到最右侧的${\psi }_n^H(0)$。

如果它在最外层（n一定是1），则走规则2视为后继。

如果它不在最外层且n=1，则走规则3，找到包着它的最近的${\psi }_k^H$确定${\mathrm{\#}}_1$和${\mathrm{\#}}_2$后即可按规则取基本列。

如果它不在最外层且n≠1，则走规则4，找到包着它的最近的${\psi }_{n-1}^H$,随后确定${\mathrm{\#}}_1$和${\mathrm{\#}}_2$后即可按规则取基本列。

以下是例子：

例1：${\psi }_1^H({\psi }_2^H({\psi }_2^H(0)))+{\psi }_1^H(0)$，最右侧的${\psi }_n^H(0)$满足n=1且在最外层。因此它是${\psi }_1^H({\psi }_2^H({\psi }_2^H(0)))$的后继。

例2：${\psi }_1^H({\psi }_2^H({\psi }_3^H({\psi }_2^H(0))+{\psi }_1^H(0)))[3]$，最右侧的${\psi }_n^H(0)$满足n=1且不在最外层，因此找到包着它的${\psi }_k^H$，得到${\psi }_2^H({\psi }_3^H({\psi }_2^H(0))+{\psi }_1^H(0))$，于是根据规则3把它变为${\psi }_2^H({\psi }_3^H({\psi }_2^H(0)))+{\psi }_2^H({\psi }_3^H({\psi }_2^H(0)))+{\psi }_2^H({\psi }_3^H({\psi }_2^H(0)))$，再放回原式，于是得到${\psi }_1^H({\psi }_2^H({\psi }_3^H({\psi }_2^H(0))+{\psi }_1^H(0)))[3]={\psi }_1^H({\psi }_2^H({\psi }_3^H({\psi }_2^H(0)))+{\psi }_2^H({\psi }_3^H({\psi }_2^H(0)))+{\psi }_2^H({\psi }_3^H({\psi }_2^H(0))))$.

例3：${\psi }_1^H({\psi }_2^H(0)+{\psi }_2^H(0))[2]$.最右侧的${\psi }_n^H(0)$满足n=2且不在最外层，2-1=1，因此找到包着它的${\psi }_1^H$，得到${\psi }_1^H({\psi }_2^H(0)+{\psi }_2^H(0))$,于是根据规则4把它变为${\psi }_1^H({\psi }_2^H(0)+{\psi }_1^H({\psi }_2^H(0)))$.放回原式，但因为它自己就是原式，因此原式就等于它。

例4：${\psi }_1({\psi }_2^H({\psi }_3^H({\psi }_3^H(0))+{\psi }_3^H({\psi }_3^H(0))))[4]$.最右侧的${\psi }_n^H(0)$满足n=3且不在最外层，3-1=2，因此找到包着它的${\psi }_2^H$，得到${\psi }_2^H({\psi }_3^H({\psi }_3^H(0))+{\psi }_3^H({\psi }_3^H(0)))$,于是根据规则4把它变为${\psi }_2^H({\psi }_3^H({\psi }_3^H(0))+{\psi }_3^H({\psi }_2^H({\psi }_3^H({\psi }_3^H(0))+{\psi }_3^H({\psi }_2^H({\psi }_3^H({\psi }_3^H(0))+{\psi }_3^H({\psi }_2^H({\psi }_3^H({\psi }_3^H(0))+{\psi }_3^H(0))))))))$,放回原式，得到原式基本列第四项就是${\psi }_1^H({\psi }_2^H({\psi }_3^H({\psi }_3^H(0))+{\psi }_3^H({\psi }_2^H({\psi }_3^H({\psi }_3^H(0))+{\psi }_3^H({\psi }_2^H({\psi }_3^H({\psi }_3^H(0))+{\psi }_3^H({\psi }_2^H({\psi }_3^H({\psi }_3^H(0))+{\psi }_3^H(0)))))))))$。

小知识

PSS Hydra名字中的“PSS”，源于其与双行BMS的互译。互译规则如下：

对于一个PSS Hydra表达式：

1. 从左往右，记录每个${\psi }_{a_i}^H(i=1,2,\cdots ,n)$的下标$a_i$；
2. 从左往右，记录每个${\psi }_{a_i}^H(i=1,2,\cdots ,n)$的净括号层数(即它左侧的左括号“(”字符个数减去右括号“)”字符个数)$b_i$；
3. 这个PSS Hydra表达式对应的BMS为$(b_1,a_1-1)(b_2,a_2-1)\cdots (b_n,a_n-1)$。

对于一个双行BMS表达式：

1. 取出所有形如$(0,k)$的列。如果至少取出了2个，在所有这样的列左边添加一个加号，首列除外；
2. 将每个$(0,k)$替换为${\psi }_{k+1}^H($。接下来往右移动直到遇见第一个加号，在加号左侧添加一个右括号$)$，如果右边没有加号了，则改为在表达式末尾添加；
3. 如果有剩余的双行BMS表达式，将所有第1行的元素减去1，并回到第1步；
4. 如果没有剩余的双行BMS表达式，找到所有形如${\psi }_k^H()$的空括号，并补上0。