TFBO

TFBO（Takeuti-Feferman-Buchholz ordinal），是 Buchholz Hydra 的极限的序数。

序数记号	表达式
BOCF	$\psi ({\mathrm{\Omega }}_{\omega +1})$
MOCF	$\psi ({\psi }_{\omega }(0))$
BMS	$\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 3\\ 0& 1& 1& 2\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right)=(0)(1,1,1)(2,1)(3,2)$
0-Y	$1,4,6,9$
1-Y / ω-Y	$1,2,4,8,11,15$
BHM	$\left(\begin{array}{cccccccccccc}0& 1& 1& 2& 1& 1& 2& 2& 3& 1& 2& 3\\ 0& 1& 0& 0& 0& 0& 1& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$
BSM	$\left(\begin{array}{cccccccccccc}0& 1& 2& 2& 3& 0& 1& 1& 2& 1& 1& 2\end{array}\right)$
M 记号	$\psi (\psi (M\times \omega +M))$
FOS	$0,1,\omega ,{\omega }^{\omega },{\omega }^{\omega }+{\omega }^2,{\omega }^{\omega }+{\omega }^3$

性质

证明论序数：${\mathrm{\Pi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}}\mathrm{-}\mathrm{C}\mathrm{A}\mathrm{+}\mathrm{B}\mathrm{I}$，$\mathrm{K}\mathrm{P}\mathrm{l}$，$\mathrm{I}{\mathrm{D}}_{\mathrm{\omega }}$，$\mathrm{B}\mathrm{I}{D}_{\mathrm{\omega }}^{\mathrm{2}}$

极限在此处的记号：BPF，Buchholz Hydra，MPF，Feferman's θ