可构造宇宙：修订间差异

2026年5月17日 (日) 12:25的最新版本

可构造宇宙（又称“哥德尔的可构造宇宙 L”、“可构造性全域”），是哥德尔为了证明命题的一致性问题而提出的一个内模型。

定义

设 $U$ 为传递集，我们称一个 $U$ 的子集 $A$ 是在结构 $⟨ U, \in ⟩$ 上可定义的，当且仅当存在一个公式 $ϕ (x, a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . .)$ 使得 $X = {x : ⟨ U, \in ⟩ | ϕ (x, a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . .)}$ 。我们将 $d e f (U)$ 表示 $⟨ U, \in ⟩$ 上全体可定义的子集组成的集合，也称可定义幂集。可构造宇宙的定义如下：

$L_{0} = \emptyset$
$L_{α + 1} = d e f (L_{α})$
$L_{α} (α 是极限序数) = ⋃_{β < α} L_{β}$
$L = ⋃_{α \in O r d} L_{α}$

对于任意集合 $a$ ，若存在 $L_{b}$ 使得 $a \in L_{b}$ ，则称 $a$ 是可构造的。

定理

当 $α \leq ω$ 时，满足 $V_{α} = L_{α}$ ；如果 $V \neq L$ ，二者会在第 $ω + 1$ 层开始出现大小的分别

我们可以验证，假设 ZF 是一致的，那么 L 是 ZF 的模型，且是一个真类，且 Ord 是 L 的子类。

L 还蕴含 V=L 即可构造公理，以及选择公理 AC 和广义连续统假设 GCH。并且，L 是 ZF 最小的内模型。

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-'''可构造宇宙(又称“哥德尔的可构造宇宙L”、“可构造性全域”)'''，是哥德尔为了证明命题的一致性问题而提出的一个[[内模型]]。
+'''可构造宇宙（又称“哥德尔的可构造宇宙 L”、“可构造性全域”）'''，是哥德尔为了证明命题的一致性问题而提出的一个[[内模型]]。
 ==== 定义 ====
-设<math>U</math>为[[传递集]]，我们称一个<math>U</math>的[[子集]]集合<math>A</math>是在结构 <math>\langle U,\in\rangle</math>上可定义的，当且仅当存在一个公式<math>\phi(x,a_{1},a_{2},a_{3},...)</math>使得<math>X=\{x:\langle U,\in\rangle |\phi(x,a_{1},a_{2},a_{3},...)\}</math>。我们将<math>def(U)</math>表示<math>\langle U,\in\rangle</math>上全体可定义的子集组成的集合，也称可定义幂集。可构造宇宙的定义如下：
+设 <math>U</math> 为[[传递集]]，我们称一个 <math>U</math> 的子集 <math>A</math> 是在结构 <math>\langle U,\in\rangle</math> 上可定义的，当且仅当存在一个公式 <math>\phi(x,a_{1},a_{2},a_{3},...)</math> 使得 <math>X=\{x:\langle U,\in\rangle |\phi(x,a_{1},a_{2},a_{3},...)\}</math>。我们将 <math>def(U)</math> 表示 <math>\langle U,\in\rangle</math> 上全体可定义的子集组成的集合，也称可定义幂集。可构造宇宙的定义如下：
-<math>L_{0}=\emptyset</math>
+* <math>L_{0}=\emptyset</math>
+* <math>L_{\alpha+1}=def(L_{\alpha})</math>
+* <math>L_{\alpha}(\alpha\text{ 是极限序数})=\bigcup_{\beta<\alpha}\ L_{\beta}</math>
+* <math>L=\bigcup_{\alpha\in Ord}\ L_{\alpha}</math>
-<math>L_{\alpha+1}=def(L_{\alpha})</math>
+对于任意集合 <math>a</math>，若存在 <math>L_{b}</math>使得 <math>a\in L_{b}</math>，则称 <math>a</math> 是'''可构造的'''。
-<math>L_{\alpha}(\alpha</math>为[[序数#极限序数|极限序数]]<math>)=\cup_{\beta<\alpha}\ L_{\beta}</math>
+==== 定理 ====
-<math>L=\cup_{\alpha\in Ord}\ L_{\alpha}</math>
+当<math>\alpha \leq \omega</math>时，满足<math>V_\alpha=L_\alpha</math>；如果<math>V\neq L</math>，二者会在第<math>\omega+1</math>层开始出现大小的分别
-对于任意集合<math>a</math>，若存在<math>L_{b}</math>使得<math>a\in L_{b}</math>，则称<math>a</math>是'''可构造的'''。
-==== 定理 ====
-我们可以验证，假设[[ZF]]是一致的，那么L是ZF的模型，且是一个真类，且Ord是L的子类。
+我们可以验证，假设 [[ZFC公理体系|ZF]] 是一致的，那么 L 是 ZF 的模型，且是一个真类，且 Ord 是 L 的子类。
-L还蕴含V=L即可构造公理，以及[[ZFC公理体系#选择公理|选择公理]]AC和[[连续统假设|广义连续统假设]]GCH。并且，L是ZF最小的内模型。
+L 还蕴含 V=L 即可构造公理，以及[[ZFC公理体系#选择公理|选择公理]] AC 和广义连续统假设 GCH。并且，L 是 ZF 最小的内模型。
 [[分类:集合论相关]]