燃烧数：修订间差异

2025年8月20日 (三) 16:25的最新版本

燃烧数(Fusible number)，是一系列序型为 $ε_{0}$ 的正有理数．

定义

考虑以下的数学问题：一个人处于一个封闭的房间之中．他想要测量一段时间，但是房间之中没有钟表，只有一系列恰好能够在一小时内燃尽的绳索．这些绳索的燃烧速度是不均匀的，因此不能通过其长度来判断时间，但是可以通过将其两端全部点燃的方式测量一半的时间．现在想问：仅靠这些绳索，这个人可以在房间之中测量哪些时间？

这里所有能够测量出来的时间称为燃烧数．

可以证明：如果 $a$ 和 $b$ 均为燃烧数，那么 $(a + b + 1) / 2$ 也是燃烧数，并且由这个规则可以从 $0$ 生成所有的燃烧数．

建立数学模型

【待补充一些具体操作的例子】

为了研究燃烧数的问题，我们首先需要对其抽象，建立数学模型．每根绳子有两个末端．我们只允许以下两种操作：

在开始的时候（时刻为 $0$ ）点燃若干末端．
在一根绳子燃尽时点燃若干末端．

并有规定：若有绳子在 $t$ 时刻燃尽，则 $t$ 是燃烧数．

如果一根绳子的两端都被点燃，设其第一个末端的点燃时刻为 $t_{1}$ ，第二个末端的点燃时刻为 $t_{2}$ ，其中 $t_{1}, t_{2}$ 都是燃烧数，且有 $0 \leq t_{2} - t_{1} < 1$ ，那么不难算出这根绳子燃尽的时刻是 $(t_{1} + t_{2} + 1) / 2$ ．如果这根绳子只有一个末端被点燃，点燃时刻是 $t$ ，那么它燃尽的时刻就是 $t + 1$ ．

综上，我们对燃烧数建立了清晰的认识：

$0$ 是燃烧数．
若 $a$ 是燃烧数，则 $a + 1$ 是燃烧数．
若 $a, b$ 是燃烧数且 $| b - a | < 1$ ，则 $(a + b + 1) / 2$ 是燃烧数．
所有燃烧数都能通过以上三种方式产生．

从上面第三条可以看出，若 $a$ 是燃烧数，取 $b = a$ ，则得到 $a + 1 / 2$ 也是燃烧数，进而 $a + 1$ 是燃烧数．这蕴含了上面第二条．所以上面的条件可以进一步精简为：

$0$ 是燃烧数．
若 $a, b$ 是燃烧数且 $| b - a | < 1$ ，则 $(a + b + 1) / 2$ 是燃烧数．
所有燃烧数都能通过以上两种方式产生．

【待补充一些具体计算的例子】

伪燃烧函数

定义函数 $f : ℝ \to ℝ$ 为： $f (x)$ 表示 $x$ 到下一个燃烧数的距离．例如， $1 / 3$ 的下一个燃烧数是 $1 / 2$ ，所以 $f (1 / 3) = 1 / 2 - 1 / 3 = 1 / 6$ ．

显然，若 $x < 0$ ，则 $x$ 的下一个燃烧数是 $0$ ，所以 $f (x) = - x$ ．

若 $x \geq 0$ ，则 $x$ 的下一个燃烧数是 $(a + b + 1) / 2 > x$ ，其中 $a, b$ 是燃烧数，且 $| b - a | < 1$ ．

所以 $2 x < a + b + 1 \leq a + (a + 1) + 1 = 2 (a + 1)$ ，即 $a > x - 1$ ．

然而， $a$ 是否就是 $x - 1$ 之后的第一个燃烧数呢？其实不一定，不过我们假设如此．这样得到的结果其实已经不是真实的燃烧数，我们叫它“伪燃烧数”．我们假设 $a = x - 1 + f (x - 1)$ ．

接下来考虑 $b$ ．现在对 $b$ 有两个限制，其一是 $b > a - 1$ ，其二是 $(a + b + 1) / 2 > x$ ．后者即为 $b > 2 x - 1 - a$ ．因为 $a < x$ ，所以 $2 x - 1 - a > 2 a - 1 - a = a - 1$ ，也就是说第二条比第一条更强，我们只需考虑第二条限制 $b > 2 x - 1 - a$ 即可．

在确定了 $a$ 之后，为了找到大于 $x$ 的最小燃烧数，我们应该让 $b$ 尽可能小，让 $b$ 是 $2 x - 1 - a$ 后的第一个燃烧数，即 $b = 2 x - 1 - a + f (2 x - 1 - a)$ ．

有了以上的分析，我们就可以算出 $f (x)$ 了：

$\begin{aligned} f (x) & = (a + b + 1) / 2 - x \\ = (a + 2 x - 1 - a + f (2 x - 1 - a) + 1) / 2 - x \\ = f (2 x - 1 - a) / 2 \\ = f (2 x - 1 - (x - 1 + f (x - 1))) / 2 \\ = f (x - f (x - 1)) / 2 \end{aligned}$

综上，

$f (x) = {\begin{cases} - x & x < 0 \\ \frac{1}{2} f (x - f (x - 1)) & x \geq 0 \end{cases}$

这就是伪燃烧函数．

有了上述迭代公式，我们可以尝试直接计算较小的 $f (n)$ ．我们有

$f (0) = \frac{1}{2} f (0 - f (0 - 1)) = \frac{1}{2} f (- f (- 1)) = \frac{1}{2} f (- 1) = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}$ ，

$f (1) = \frac{1}{2} f (1 - f (1 - 1)) = \frac{1}{2} f (1 - f (0)) = \frac{1}{2} f (1 - \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} f (\frac{1}{2} - f (\frac{1}{2} - 1)) = \frac{1}{4} f (\frac{1}{2} - f (- \frac{1}{2})) = \frac{1}{4} f (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} f (0) = \frac{1}{8}$ ．

对于 $n = 2$ ，可以算出

$f (2) = \frac{1}{1024}$

对于更大的 $n$ ，为了简化计算，我们需要定义以下概念：

设 $A_{α}$ 是从小到大第 $α$ 个燃烧数(0是第1个)， $d (α) = - l o g_{2} f (A_{α})$ ，规定 $d (0) = 0$ ．

我们可以证明^[1] $d (α)$ 满足如下递推关系：

$d (α + 1) = 1 + d (α)$
$d (ω^{α} \times (k + 1) + β) = k + d (ω^{α} + β)$ ， $β < ω^{α}$
$d (ω^{α + 1} + β) = 2 + d (ω^{α} + β)$ ， $β < ω^{α + 1}$
$d (ω^{α} + β) = 1 + d (ω^{α [χ (α)]} + β)$ ， $β < ω^{α}$

其中 $χ (α)$ 满足如下递推关系：

$χ (ω^{α} \times (k + 1) + β) = χ (ω^{α} + β)$ ， $k \geq 1$ ， $β < ω^{α}$ 为极限序数
$χ (ω^{α} + β) = χ (ω^{α [χ (α)]} + β)$ ， $α$ ， $β$ 为极限序数， $β < ω^{α}$ ， $β \neq ω^{α [χ (α)] + 1}$
$χ (ω^{α} + ω^{α [χ (α)] + 1}) = χ (ω^{α [χ (α)] + 1}) - 1$ ， $α$ 为极限序数
$χ (ω^{α + 1} + β) = χ (ω^{α} \times 2 + β)$ ， $β < ω^{α + 1}$ 为极限序数
$χ (ω^{α + 1} \times (k + 1)) = χ (ω^{α + 1}) - 2$ ， $k \geq 1$
$χ (ω^{α + 1}) = d (ω^{α + 1}) - d (α) + 1$
$χ (ω^{α} \times k) = d (ω^{α}) - d (α) + χ (α)$ ， $k \geq 1$ ， $α$ 为极限序数

其中 $α [n]$ 代表其基本列．据此可以计算^[2] $f (3)$ 的取值：

$f (3) = \frac{1}{2^{1541023937}}$ 。

通过一些技巧，也可以不使用序数直接计算出 $f (3)$ ^[3]．

（等待更新）

参见

Achatinidae 的知乎回答

[1] ttps://zhuanlan.zhihu.com/p/1908578056337076774

[2] ttps://www.zhihu.com/question/36464952/answer/2912411355

[3] ttps://zhuanlan.zhihu.com/p/26493979529

[1]

[2]

[3]

@@ 第16行： / 第16行： @@
 * 在开始的时候（时刻为 <math>0</math>）点燃若干末端．
-* 在一根绳子燃尽时点燃若干末端．
+*在一根绳子燃尽时点燃若干末端．
 并有规定：若有绳子在 <math>t</math> 时刻燃尽，则 <math>t</math> 是燃烧数．
@@ 第27行： / 第27行： @@
 * 若 <math>a</math> 是燃烧数，则 <math>a+1</math> 是燃烧数．
 * 若 <math>a,b</math> 是燃烧数且 <math>|b-a|<1</math>，则 <math>(a+b+1)/2</math> 是燃烧数．
-* 所有燃烧数都能通过以上三种方式产生．
+*所有燃烧数都能通过以上三种方式产生．
 从上面第三条可以看出，若 <math>a</math> 是燃烧数，取 <math>b=a</math>，则得到 <math>a+1/2</math> 也是燃烧数，进而 <math>a+1</math> 是燃烧数．这蕴含了上面第二条．所以上面的条件可以进一步精简为：
@@ 第55行： / 第55行： @@
 有了以上的分析，我们就可以算出 <math>f(x)</math> 了：
-<math display=block>\begin{aligned}
+<math display="block">\begin{aligned}
 f(x)\,&=(a+b+1)/2-x\\
 &=(a+2x-1-a+f(2x-1-a)+1)/2-x\\
@@ 第65行： / 第65行： @@
 综上，
-<math display=block>f(x)=\begin{cases}-x&x<0\\ \dfrac 12 f(x-f(x-1))&x\ge 0\end{cases}</math>
+<math display="block">f(x)=\begin{cases}-x&x<0\\ \dfrac 12 f(x-f(x-1))&x\ge 0\end{cases}</math>
 这就是伪燃烧函数．
+有了上述迭代公式，我们可以尝试直接计算较小的<math>f(n)</math>．我们有
+<math>f(0)=\frac{1}{2}f(0-f(0-1))=\frac{1}{2}f(-f(-1))=\frac{1}{2}f(-1)=\frac{1}{2}\times1=\frac{1}{2}</math>，
+<math>f(1)=\frac{1}{2}f(1-f(1-1))=\frac{1}{2}f(1-f(0))=\frac{1}{2}f(1-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}f(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}f(\frac{1}{2}-f(\frac{1}{2}-1))=\frac{1}{4}f(\frac{1}{2}-f(-\frac{1}{2}))=\frac{1}{4}f(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}f(0)=\frac{1}{8}</math>．
+对于<math>n=2</math>，可以算出
+<math>f(2)=\frac{1}{1024}</math>
+对于更大的<math>n</math>，为了简化计算，我们需要定义以下概念：
+设<math>A_\alpha</math>是从小到大第<math>\alpha</math>个燃烧数(0是第1个)，<math>d(\alpha)=-log_2f(A_\alpha)</math>，规定<math>d(0)=0</math>．
+我们可以证明<ref>https://zhuanlan.zhihu.com/p/1908578056337076774</ref><math>d(\alpha)</math>满足如下递推关系：
+# <math>d(\alpha+1)=1+d(\alpha)</math>
+# <math>d(\omega^\alpha\times{(k+1)}+\beta)=k+d(\omega^\alpha+\beta)</math>，<math>\beta<\omega^\alpha</math>
+# <math>d(\omega^{\alpha+1}+\beta)=2+d(\omega^\alpha+\beta)</math>，<math>\beta<\omega^{\alpha+1}</math>
+# <math>d(\omega^\alpha+\beta)=1+d(\omega^{\alpha[\chi(\alpha)]}+\beta)</math>，<math>\beta<\omega^\alpha</math>
+其中<math>\chi(\alpha)</math>满足如下递推关系：
+# <math>\chi(\omega^\alpha\times{(k+1)}+\beta)=\chi(\omega^\alpha+\beta)</math>，<math>k\geq1</math>，<math>\beta<\omega^\alpha</math>为极限序数
+#<math>\chi(\omega^\alpha+\beta)=\chi(\omega^{\alpha[\chi(\alpha)]}+\beta)</math>，<math>\alpha</math>，<math>\beta</math>为极限序数，<math>\beta<\omega^\alpha</math>，<math>\beta\neq\omega^{\alpha[\chi(\alpha)]+1}</math>
+#<math>\chi(\omega^\alpha+\omega^{\alpha[\chi(\alpha)]+1})=\chi(\omega^{\alpha[\chi(\alpha)]+1})-1</math>，<math>\alpha</math>为极限序数
+# <math>\chi(\omega^{\alpha+1}+\beta)=\chi(\omega^\alpha\times2+\beta)</math>，<math>\beta<\omega^{\alpha+1}</math>为极限序数
+# <math>\chi(\omega^{\alpha+1}\times{(k+1)})=\chi(\omega^{\alpha+1})-2</math>，<math>k\geq1</math>
+# <math>\chi(\omega^{\alpha+1})=d(\omega^{\alpha+1})-d(\alpha)+1</math>
+#<math>\chi(\omega^\alpha\times{k})=d(\omega^\alpha)-d(\alpha)+\chi(\alpha)</math>，<math>k\geq1</math>，<math>\alpha</math>为极限序数
+其中<math>\alpha[n]</math>代表其基本列．据此可以计算<ref>https://www.zhihu.com/question/36464952/answer/2912411355</ref><math>f(3)</math>的取值：
+<math>f(3)=\frac{1}{2^{1541023937}}</math>。
+通过一些技巧，也可以不使用序数直接计算出<math>f(3)</math><ref>https://zhuanlan.zhihu.com/p/26493979529</ref>．
 （等待更新）
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 [https://www.zhihu.com/question/36464952/answer/2912411355 Achatinidae 的知乎回答]
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