燃烧数

燃烧数(Fusible number)，是一系列序型为${\epsilon }_0$的正有理数．

定义

考虑以下的数学问题：一个人处于一个封闭的房间之中．他想要测量一段时间，但是房间之中没有钟表，只有一系列恰好能够在一小时内燃尽的绳索．这些绳索的燃烧速度是不均匀的，因此不能通过其长度来判断时间，但是可以通过将其两端全部点燃的方式测量一半的时间．现在想问：仅靠这些绳索，这个人可以在房间之中测量哪些时间？

这里所有能够测量出来的时间称为燃烧数．

可以证明： 如果$a$和$b$均为燃烧数，那么$(a+b+1)/2$也是燃烧数，并且由这个规则可以从$0$生成所有的燃烧数．

建立数学模型

【待补充一些具体操作的例子】

为了研究燃烧数的问题，我们首先需要对其抽象，建立数学模型．每根绳子有两个末端．我们只允许以下两种操作：

• 在开始的时候（时刻为 $0$）点燃若干末端．
• 在一根绳子燃尽时点燃若干末端．

并有规定：若有绳子在 $t$ 时刻燃尽，则 $t$ 是燃烧数．

如果一根绳子的两端都被点燃，设其第一个末端的点燃时刻为 $t_1$，第二个末端的点燃时刻为 $t_2$，其中 $t_1,t_2$ 都是燃烧数，且有 $0\le t_2-t_1<1$，那么不难算出这根绳子燃尽的时刻是 $(t_1+t_2+1)/2$．如果这根绳子只有一个末端被点燃，点燃时刻是 $t$，那么它燃尽的时刻就是 $t+1$．

综上，我们对燃烧数建立了清晰的认识：

• $0$ 是燃烧数．
• 若 $a$ 是燃烧数，则 $a+1$ 是燃烧数．
• 若 $a,b$ 是燃烧数且 $|b-a|<1$，则 $(a+b+1)/2$ 是燃烧数．
• 所有燃烧数都能通过以上三种方式产生．

从上面第三条可以看出，若 $a$ 是燃烧数，取 $b=a$，则得到 $a+1/2$ 也是燃烧数，进而 $a+1$ 是燃烧数．这蕴含了上面第二条．所以上面的条件可以进一步精简为：

• $0$ 是燃烧数．
• 若 $a,b$ 是燃烧数且 $|b-a|<1$，则 $(a+b+1)/2$ 是燃烧数．
• 所有燃烧数都能通过以上两种方式产生．

【待补充一些具体计算的例子】

伪燃烧函数

定义函数 $f:\mathbb{ℝ}\to \mathbb{ℝ}$ 为：$f(x)$ 表示 $x$ 到下一个燃烧数的距离．例如，$1/3$ 的下一个燃烧数是 $1/2$，所以 $f(1/3)=1/2-1/3=1/6$．

显然，若 $x<0$，则 $x$ 的下一个燃烧数是 $0$，所以 $f(x)=-x$．

若 $x\ge 0$，则 $x$ 的下一个燃烧数是 $(a+b+1)/2>x$，其中 $a,b$ 是燃烧数，且 $|b-a|<1$．

所以 $2x<a+b+1\le a+(a+1)+1=2(a+1)$，即 $a>x-1$．

然而，$a$ 是否就是 $x-1$ 之后的第一个燃烧数呢？其实不一定，不过我们假设如此．这样得到的结果其实已经不是真实的燃烧数，我们叫它“伪燃烧数”．我们假设 $a=x-1+f(x-1)$．

接下来考虑 $b$．现在对 $b$ 有两个限制，其一是 $b>a-1$，其二是 $(a+b+1)/2>x$．后者即为 $b>2x-1-a$．因为 $a<x$，所以 $2x-1-a>2a-1-a=a-1$，也就是说第二条比第一条更强，我们只需考虑第二条限制 $b>2x-1-a$ 即可．

在确定了 $a$ 之后，为了找到大于 $x$ 的最小燃烧数，我们应该让 $b$ 尽可能小，让 $b$ 是 $2x-1-a$ 后的第一个燃烧数，即 $b=2x-1-a+f(2x-1-a)$．

有了以上的分析，我们就可以算出 $f(x)$ 了：

$$\begin{array}{rl}f(x)& =(a+b+1)/2-x\\ & =(a+2x-1-a+f(2x-1-a)+1)/2-x\\ & =f(2x-1-a)/2\\ & =f(2x-1-(x-1+f(x-1)))/2\\ & =f(x-f(x-1))/2\end{array}$$

综上，

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}-x& x<0\\ \frac{1}{2}f(x-f(x-1))& x\ge 0\end{array}$$

这就是伪燃烧函数．

有了上述迭代公式，我们可以尝试直接计算较小的$f(n)$．我们有

$f(0)=\frac{1}{2}f(0-f(0-1))=\frac{1}{2}f(-f(-1))=\frac{1}{2}f(-1)=\frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{2}$，

$f(1)=\frac{1}{2}f(1-f(1-1))=\frac{1}{2}f(1-f(0))=\frac{1}{2}f(1-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}f(\frac{1}{2})=\frac{1}{4}f(\frac{1}{2}-f(\frac{1}{2}-1))=\frac{1}{4}f(\frac{1}{2}-f(-\frac{1}{2}))=\frac{1}{4}f(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}f(0)=\frac{1}{8}$．

对于$n=2$，可以算出

$f(2)=\frac{1}{1024}$

对于更大的$n$，为了简化计算，我们需要定义以下概念：

设$A_{\alpha }$是从小到大第$\alpha$个燃烧数(0是第1个)，$d(\alpha )=-lo{g}_{2}f(A_{\alpha })$，规定$d(0)=0$．

我们可以证明$d(\alpha )$满足如下递推关系：

1. $d(\alpha +1)=1+d(\alpha )$
2. $d({\omega }^{\alpha }\times (k+1)+\beta )=k+d({\omega }^{\alpha }+\beta )$，$\beta <{\omega }^{\alpha }$
3. $d({\omega }^{\alpha +1}+\beta )=2+d({\omega }^{\alpha }+\beta )$，$\beta <{\omega }^{\alpha +1}$
4. $d({\omega }^{\alpha }+\beta )=1+d({\omega }^{\alpha [\chi (\alpha )]}+\beta )$，$\beta <{\omega }^{\alpha }$

其中$\chi (\alpha )$满足如下递推关系：

1. $\chi ({\omega }^{\alpha }\times (k+1)+\beta )=\chi ({\omega }^{\alpha }+\beta )$，$k\ge 1$，$\beta <{\omega }^{\alpha }$为极限序数
2. $\chi ({\omega }^{\alpha }+\beta )=\chi ({\omega }^{\alpha [\chi (\alpha )]}+\beta )$，$\alpha$，$\beta$为极限序数，$\beta <{\omega }^{\alpha }$，$\beta \ne {\omega }^{\alpha [\chi (\alpha )]+1}$
3. $\chi ({\omega }^{\alpha }+{\omega }^{\alpha [\chi (\alpha )]+1})=\chi ({\omega }^{\alpha [\chi (\alpha )]+1})-1$，$\alpha$为极限序数
4. $\chi ({\omega }^{\alpha +1}+\beta )=\chi ({\omega }^{\alpha }\times 2+\beta )$，$\beta <{\omega }^{\alpha +1}$为极限序数
5. $\chi ({\omega }^{\alpha +1}\times (k+1))=\chi ({\omega }^{\alpha +1})-2$，$k\ge 1$
6. $\chi ({\omega }^{\alpha +1})=d({\omega }^{\alpha +1})-d(\alpha )+1$
7. $\chi ({\omega }^{\alpha }\times k)=d({\omega }^{\alpha })-d(\alpha )+\chi (\alpha )$，$k\ge 1$，$\alpha$为极限序数

其中$\alpha [n]$代表其基本列．据此可以计算$f(3)$的取值：

$f(3)=\frac{1}{2^{1541023937}}$。

通过一些技巧，也可以不使用序数直接计算出$f(3)$．

（等待更新）

参见

Achatinidae 的知乎回答