马洛基数

前置知识：我们称一个序数a是一个序数集B上的极限点，当且仅当，sup(a∩B)=a

我们称一个正则不可数基数k的子集C是无界闭的，当且仅当sup(C)=k且任何一个C上小于k的极限点都是C的元素

我们称一个正则不可数基数k的子集S是驻集，当且仅当S与k上任意无界闭子集所交非空

一个基数k是马洛/强马洛的，当且仅当它是一个强不可达基数且k下方的全体正则基数构成k的驻集

称一个基数k上弱马洛的，当且仅当它是一个弱不可达基数且k下方弱不可达基数构成它的驻集

弱马洛有一个等价定义：k是一个弱不可达基数且其下弱不可达基数构成它的驻集

证明：

等效的，强马洛也有这样的等价定义

证明：强马洛⇔强不可达+下方强不可达构成驻集

1.强马洛k推强不可达+下方强不可达构成驻集

考虑强马洛基数k，首先其是强不可达。假设存在一个无界闭子集C⊂k使得C不包含任意一个强不可达基数，则考虑全体k下任意除N0外强极限基数组成的子集与它的交集，这也是一个无界闭子集(因为C中任意正则基数都不是强极限基数)，然而它与k下方正则基数无交，矛盾

2.强不可达+下方强不可达构成驻集→强马洛

证：显然，由于强不可达基数都是正则基数，所以任何一个无界闭子集中都一定包含一个正则基数(也就是被包含的强不可达基数)，因此得证