初等嵌入
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非平凡初等嵌入
设 M、N 为传递类且满足 ZF⁻（不含幂集公理的 ZF）。
称映射 j: M → N 为初等嵌入，当且仅当对任意一阶公式 φ(x₁,…,xₙ) 及任意 a₁,…,aₙ ∈ M，都有
$$
M\models\varphi[a_1,\dots,a_n] \iff N\models\varphi[j(a_1),\dots,j(a_n)].
$$
若存在 x ∈ M 使 j(x) ≠ x，则称该嵌入为非平凡。
临界点
对于非平凡初等嵌入 j: M → N，必存在最小序数 κ 使 j(κ) ≠ κ。
记该最小序数为 j 的临界点：
$$
\operatorname{crit}(j)=\kappa.
$$
共尾性
称嵌入 j: M → N 为共尾，当且仅当
$$
\forall y\in N,\ \exists x\in M,\ y\in j(x).
$$
若 M ⊨ ZF 且 N ⊆ M，则任何初等嵌入都是共尾的。
一致性（Kunen 定理）
在 ZFC（或 AC）框架下，不存在非平凡初等嵌入 j: V → V，其中 V 为全集。
更具体地（Kunen，1971）：对任意序数 λ，不存在非平凡初等嵌入
$$
j: V_{\lambda+2}\to V_{\lambda+2}
$$
使 V 满足 ZFC。