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Username’s OCF（UNOCF）是一个由 Username5243 提出的不严格的[[序数坍缩函数|序数折叠函数]]。它并未给出集合论定义，而是直接讨论其折叠性质。因此，这实际上只是一个长得像 OCF 的序数记号。

=== 首个不可数基数 ===
在 <math>\psi(\Omega)</math> 之前，我们可以遵循三个简单的规则：

* <math>\psi(0)=1</math>
* <math>\psi(\alpha+1)[n]=\psi(\alpha)n</math>
* <math>\psi(\alpha[n])=\psi(\alpha)[n]</math>

其中 <math>\alpha</math> 共尾度为 <math>\omega</math>。易知 <math>\psi(\alpha)=\omega^\alpha</math>。

现在我们需要考虑共尾性，基本上它是这样的：任何单个基数（前面部分的 <math>\omega=\psi(1)</math> 和 <math>\Omega</math>）都具有与其自身相等的共尾性。0 并且后继具有共尾性 0 。<math>\alpha+\beta,\alpha\cdot\beta,\alpha^\beta</math> 具有等于 <math>\beta</math> 的共尾性（除了当 <math>\beta=0</math> 时，这种情况下 <math>\alpha+0</math> 具有共尾性 ''<math>\alpha</math>'' 而其他具有共尾性 0 ）。<math>\psi(0)</math> 具有共尾性 0 并且对于所有其他 ''<math>\alpha</math>''，<math>\psi(\alpha)</math> 具有共尾性 ''<math>\omega</math>''。

要定义具有共尾性 <math>\Omega</math> 的序数函数，最好将它们视为某个函数 <math>f(\Omega)</math> 的输出。例如，<math>\Omega^{\Omega2}=f(\Omega)</math>，其中 <math>f</math> 定义为 <math>f(\alpha)=\Omega^{\Omega+\alpha}</math>。这本质上与普通函数相同，但末尾是 <math>\Omega[n]</math> 而不是 <math>\omega[n]</math>。

然后我们可以说，如果序数具有共尾性 <math>\Omega</math> ，那么 <math>\psi(\alpha)[0]=\psi(f(0)),\quad\psi(\alpha)[n]=\psi(\alpha[n])</math>。

尽管其初始值增长得较慢，但是它最终还是与通常的 OCF 发生了[[Catching|追平]]。

=== 更高的不可数基数 ===
我们现在引入 <math>\Omega_\alpha</math> 基数。首先，它有助于引入“后继基数”的概念。<math>\Omega_\alpha</math> 的后继基数是 <math>\Omega_{\alpha+1}</math>。我们还需要引入“势”的概念，即表达式中的最高基数。因此，<math>\Omega_2^2</math> 的势是 <math>\Omega_2</math>。还有一件重要的事情需要注意：如果 ''α'' 不是后继，则 <math>\Omega_\alpha</math> 的共尾性等于 ''<math>\alpha</math>''，因此 <math>\Omega_\Omega</math> 的共尾性为 <math>\Omega</math>。

这是处理具有共尾性 <math>\Omega_\alpha</math> 的折叠基数的一般规则，记作 <math>f(\Omega_\alpha)</math>。

<math>\psi(\alpha)[0]=\psi(f(\psi_\alpha(0))),\quad\psi(\alpha)[n+1]=\psi(f(\psi_\beta(f(\alpha[n]))))</math>

我们为更高基数定义了 <math>\psi_\alpha</math> 函数。其工作原理是：在 ''<math>\psi_\alpha</math>'' 折叠函数中，''<math>\alpha</math>'' 是第一个对角化的基数；所有低于它的基数都遵循 FS 规则（因为它将具有更大的共尾性）。此外，<math>\psi_\alpha(0)</math> 是其后继基数为 ''<math>\alpha</math>'' 的基数。注意，有时我们使用 <math>\psi_n</math>，它实际上对应于 <math>\psi_{\Omega_{n+1}}</math> 函数。这种简写很常用，并且是允许的（除非它与正常符号冲突）。

类似的概念适用于更高的基数，极限与正常 OCF 相同。

=== 不可达基数 ===
我们现在引入不可达基数 <math>I</math>，作为 <math>\Omega_\alpha</math> 的对角化器。具有共尾性 ''<math>I</math>'' 的项以与之前类似的方式分解为 <math>\psi_I</math> 函数的嵌套。''<math>\psi_I</math>'' 函数的原理如下：

# <math>\psi_I(0)=\Omega</math>
# <math>\psi_I(\alpha+1)</math> 是 <math>\psi_I(\alpha)</math> 之后的下一个基数
# <math>\psi_I(\alpha)</math> 在其下方的对角化，以防它是一个极限。

在 <math>\psi(I^\omega)</math> 处，我们追平了通常的 OCF 。在此之后，我们可以得到诸如 <math>\psi(I^I)</math> 之类的东西。此时，我们需要定义 ''<math>I</math>'' 的“后继基数”。这很简单——它是 <math>\Omega_{I+1}</math>。然后我们可以有进一步的后继，并最终有极限基数。

现在我们得到了一个与得到 ''<math>I</math>'' 类似的结果，我们需要另一个不可达基数。我们使用 <math>I_2</math> 来表示这一点。<math>\psi_{I_2}(0)=I</math>，否则一切都将以与以前相同的方式分解。然后我们可以定义更多不可达项，如 <math>I_3</math>、<math>I_4</math> 等。它们以类似的方式分解：<math>\psi_{I_{n+1}}(0)=I_n</math>。

=== 超不可达基数 ===
现在我们可以建立一个序数对角化子序列。我们将继续使用 ''<math>I</math>'' 来表示每个函数。其中第一个是 <math>\Omega(0,\alpha)=\Omega_\alpha</math>，然后 <math>\Omega(1,\alpha)=I_\alpha</math>。因此，<math>\Omega(2,0)</math> 是 <math>\Omega(1,\alpha)=I_\alpha</math> 的极限。一般来说，<math>\psi_{\Omega(\alpha+1,\beta+1)}(0)=\Omega(\alpha+1,\beta)</math>，而 <math>\psi_{\Omega(\alpha+1,0)}(0)=\Omega(\alpha,0)</math>。一般而言，<math>\psi_{\Omega(\alpha+1,\beta)}(\gamma+1)</math> 是 <math>\psi_{\Omega(\alpha+1,\beta)}(\gamma)</math> 之后的下一个 <math>\Omega(\alpha,\beta)</math> 基数。

一般来说，若要计算 <math>\psi_\alpha(0)</math>，其中 <math>\alpha</math> 以 0 结尾，找到最后一个非零项并将其减一；而若要得到 <math>\psi_\alpha(\beta+1)</math>，则将该项之后的项加 1 。其极限是 <math>\Omega(1,0,0,\cdots)</math>，与普通 OCF 中的 <math>I(1,0,0,\cdots)</math> 相似。

=== 引入一个 Mahlo 基数 ===
在某些方面，I 函数看起来像 [[Veblen 函数|Veblen ϕ 函数]]，我们需要一种方法来对它进行对角化。这就是 [[递归 Mahlo 序数|Mahlo 基数]] <math>M</math> 和 <math>\psi_M</math> 函数。<math>\psi_M(\alpha)</math> 仍然是 <math>\Omega_{1+\alpha}</math>。但 <math>\psi_M(M)=I</math>。事实上，<math>M</math> 基本上是它所取代的东西的对角化子。

''TO DO: 未完成''

{{默认排序:序数记号}}
[[分类:记号]]