查看“︁BTBMS”︁的源代码

BTBMS（Bubby3's Transfinite Bashicu Matrix System）是 Bubby3 创造的序数记号，是现行扩展 [[BMS]] 中强度最高的。它由 Bubby3 最先提出，并由笑姐姐最终给出完整定义。

=== 定义 ===
一个 BTBM 矩阵形如 <math>A = A_1 \cdots A_n</math>，其中 <math>A_i</math> 称为矩阵的顶层列。

一个列形如 <math>C = (C_1, \cdots, C_m)</math>，其中 <math>C_i</math> 称为列的项。

一个项形如 <math>E = v^X</math>，其中 <math>v</math> 是正整数，<math>X</math> 是一个 BTBM 矩阵。称 <math>X</math> 为 <math>E</math> 的高度矩阵，<math>v</math> 为 <math>E</math> 的值，或称作 <math>E</math> 的父列标。
称 <math>E</math> 为 <math>X</math> 的直接外部项；<math>E</math> 所在列为 <math>X</math> 的直接外部列。若 <math>E</math> 的高度矩阵为空，则称 <math>E</math> 为单行项。

以后我们常用 <math>A</math> 表示整个矩阵，<math>X</math> 表示 <math>A</math> 的一个子阵。顶层列的高度矩阵称为直接子阵。矩阵 <math>A</math> 本身，以及 <math>A</math> 的某个直接子阵的子阵，统称为 <math>A</math> 的子阵。

==== 列标 ====
如下定义 <math>A</math> 的列在 <math>A</math> 中的列标。 <math>A</math> 最左列的列标为 1；对一个子阵 <math>X</math>，<math>X</math> 的最左侧列列标为它的外部列的列标 +1。某个子阵非最左侧列的列标等于它左侧相邻列的列标 +1。

对于一个元素，它的值等于它的父列列标。如下寻找它的父列：从该元素所在列 <math>C</math> 出发，若存在左侧相邻列则取左侧相邻列，否则取外部列。得到的列的列标取遍不大于 <math>C</math> 的列标的所有正整数。其中列标等于元素的值的列即为该元素父列。

==== 合法性约束 ====
引入如下约束：一个合法矩阵所有列的所有元素的值都小于所在列的列标；对任何列 <math>C</math>，<math>C</math> 的任何元素的高度矩阵的所有列都非空，且这些列的首个元素的值都大于等于 <math>C</math> 的列标。

==== 零记号与后继记号 ====
若 <math>A</math> 为空矩阵，则 <math>A</math> 为零记号。
若 <math>A</math> 的末列为空列，则 <math>A</math> 为后继记号，其前驱记号为 <math>A</math> 去掉末列。

==== 展开规则（寻找末列与基本列） ====
对于合法的极限矩阵，我们如下寻找它的末列。初始令当前层级为 <math>A</math> 本身。
* 若当前层级的顶层列中的末列的末项（根据合法性约束总是存在）不为单行项，则将当前层级改为该项的高度矩阵，然后继续流程；
* 否则末列即为当前层级的顶层列中的末列。按定义末列的末项为单行项，称为右上元素。该项父列称为根列。

若末列恰有 1 项，且根列为末列所在层级的直接外部列时，适用如下特殊展开规则：
设直接外部列为 <math>C = (E_1, \cdots, E_k, E_{k+1})</math>，其中 <math>E_{k+1} = v^X</math>，<math>X</math> 的顶层列的末列为 <math>A</math> 的末列。
此时 <math>A</math> 的基本列第 <math>n</math> 项为将 <math>E_{k+1}</math> 替换为 <math>{E_{k+1}}'</math> 的 <math>n</math> 份复制，即将 <math>C</math> 替换为 <math>C' = (E_1, \cdots, E_k, {E_{k+1}}', \cdots, {E_{k+1}}')</math>。
其中 <math>{E_{k+1}}' = v^{X'}</math> 为去掉 <math>E_{k+1}</math> 的高度矩阵 <math>X</math> 的末列得到的项。

否则，适用一般展开规则。
一般展开中，我们定义减一余项。这是在末列删去末项后，将要添加到末列的根列的项。
令 <math>C_r</math> 为根列的一个复制，<math>C_t</math> 为末列的一个复制去掉末项，其列标视为原来列的列标。
这之后，不断比较 <math>C_r</math> 与 <math>C_t</math> 首项的高度，然后删去高度较低的项；高度相同时同时删去。直到 <math>C_r</math> 与 <math>C_t</math> 至少有一个为空时，<math>C_r</math> 中的项即称为减一余项。令阶差等于末列列标减去根列列标。

一个元素称为递增的当且仅当它的值不小于根列列标。简单递增 <math>w</math> 次是指将该矩阵的所有递增元素的值增加阶差的 <math>w</math> 倍。
令复制部为根列所在层级中，根列和右侧的所有列构成的矩阵，删去末列。将 <math>C_t'</math> 为原矩阵末列去掉末项，<math>C_r'</math> 为减一余项。将 <math>C_t'</math> 简单递增 <math>w-1</math> 次得到 <math>C_t''</math>。
* 若根列不是所在层级末列，令 <math>C_r''</math> 为对 <math>C_r'</math> 简单递增 <math>w</math> 次。递增结果的首列为 <math>C_t'' + C_r''</math>；其余列为复制部去掉首列后简单递增 <math>w</math> 次。
* 否则，根列为所在层级的末列，因此末列是根列末项高度矩阵中的列。若减一余项为空，则称 <math>A</math> 为坏矩阵，不定义其展开。否则，末列实际为减一余项的子列。将减一余项删去末列，然后简单递增 <math>w</math> 次得到 <math>C_r''</math>。递增结果为 <math>C_t'' + C_r''</math> 构成的单列矩阵。

这之后，<math>A</math> 的基本列第 <math>n</math> 项如下计算：
将 <math>A</math> 删去末列，然后对 <math>i=1, \cdots, n</math>，依次将 <math>A</math> 的复制部递增 <math>i</math> 次后，置于删去的末列的位置。（<math>i=1</math> 时置于 <math>A</math> 删去的末列的位置；否则置于递增 <math>i-1</math> 次的复制部删去的末列的位置）得到的矩阵即为所求。

== 分析 ==
关于 BTBMS 的强度分析及与 Y 序列等记号的具体对应，详见 [[BTBMS分析]]。

{{默认排序:序数记号}}
[[分类:记号]]