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BTBMS（Bubby3's Transfinite Bashicu Matrix System）是 Bubby3 创造的序数记号，是现行扩展 [[BMS]] 中强度最高的。

=== 定义 ===
BTBMS 表达式中的一列形如 <math>\left(a_1,a_2,\cdots,a_n^{(b_1,b_2,\cdots)}\right)</math>。它由两部分组成，分别为 <math>(a_1,a_2,\cdots,a_n)</math> 以及 <math>(b_1,b_2,\cdots)</math>。它的后继规则为 <math>(\#)(0)[n]=(\#)[n+1],\quad\left(a^{(\#)(\varnothing)}\right)[n]=\left(a^{(\#)},a\right)[n]</math>。

其展开过程如下。首先找到坏根。如果末列不位于上标，则其规则与 BMS 是一致的。如果末列位于上标，则将其视为平移到原矩阵的最后方，然后按照 BMS 的规则寻找坏根。特别地，<math>(\#,a_n)</math> 视为 <math>\left(\#,a_n^{(\varnothing)}\right)</math>。

末列在找坏根的时候逐级向外，例如对于表达式 <math>(0)(1^{(2,1^{(3)})})</math> 将 <math>(1^{(2,1^{(3)})})</math> 视为 <math>(1^{(\varnothing)}(2,1^{(\varnothing)})(3))</math>，它的 <math>(3)</math> 现在本层找坏根。它的行数为 1，可以直接找到空序列作坏根，所以不向下找，直接在 <math>(\varnothing)(3)</math> 那一层复制为 <math>(2,1^{(\varnothing)},1^{(\varnothing)},\cdots)</math>。

第二步是确定复制部。如果末列不位于上标，则其规则与 BMS 一致，复制到的位置也不位于上标。如果末列位于上标，则形如 <math>(0)\cdots(\mathrm{br})\cdots(A,B^C)</math>，复制部为 <math>(\mathrm{br})\cdots(A,B^{[]})</math>。复制时将 <math>(\mathrm{br})</math> 复制到中括号的位置，然后加上提升偏移 <math>\Delta</math>。 

第三步是确定提升偏移。对于一项 <math>\left(a_1,a_2,\cdots,a_n^{(b_1,b_2,\cdots)}\right)</math>，无需考虑 <math>(b_1,b_2,\cdots)</math> 的提升偏移，正常计算即可。例如对于表达式 <math>(0)(1^{(2,1)})</math>，它的坏根为 <math>(0)</math>，它的提升偏移就是 <math>(2,0,0,\cdots)</math>。如果出现末项行数无穷的情况，例如表达式 <math>(0)(1^{(2,1)},1)</math>，则其末项为 <math>(1^{(2,1)})</math>，坏根为 <math>(0)</math>，提升偏移为 <math>(1,1,1,\cdots)</math>。多余的提升偏移被忽略，因此将其展开为 <math>(0)(1^{(2,1)})(2^{(3,2)})\cdots</math>。

{{默认排序:序数记号}}
[[分类:记号]]