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'''Arai's Ordinal Collapse Function（AOCF）'''是一种类[[序数坍缩函数]]。

=== 定义 ===

'''定义 1'''

(1) 对于 <math>i < \omega</math> 和 <math>\xi < \varepsilon(A)</math>, <math>\Lambda_i(\xi)</math> 由 <math>\Lambda_0(\xi) = \xi</math> 和 <math>\Lambda_{i+1}(\xi) = \Lambda^{\Lambda_i(\xi)}</math> 递归定义。

(2) 对于 <math>A \subset \text{Ord}</math>, 极限序数 <math>\alpha</math> 和 <math>i \geq 0</math>, 令 <math>\alpha \in M_{2+i}(A)</math>, 当且仅当 <math>A \cap \alpha \amalg_i^1</math> 在 <math>\alpha</math> 中是不可描述的。

(3) <math>\kappa^+</math> 表示 <math>\kappa</math> 之上的下一个正则序数。

(4) <math>\Omega_\alpha := \omega_\alpha</math> 表示 <math>\alpha > 0</math>, <math>\Omega_0 := 0</math> 以及 <math>\Omega = \Omega_1</math>。

下面我们同时定义类 <math>\mathcal{H}_\alpha(X)</math>, <math>Mh_k^\xi(\xi)</math> 和序数 <math>\psi_\pi^\xi(\alpha)</math> 如下。令 <math>a < \Lambda</math> 和 <math>\varphi</math> 为二元 Veblen 函数。在函数 <math>+ , \alpha \mapsto \omega^\alpha</math> 下定义 <math>\{0, \mathbb{K}\} \cup X</math> 的 Skolem 壳 <math>\mathcal{H}_a(X)</math>, <math>(\alpha, \beta) \mapsto \varphi\alpha\beta(\alpha, \beta < \mathbb{K})</math>, <math>\alpha \mapsto \Omega_\alpha(\alpha < \mathbb{K})</math> 和 <math>\psi</math> 函数。<math>\text{Reg}</math> 表示 <math>\leq \mathbb{K}</math> 的正则序数的集合。我们有

'''定义 2''' 对 <math>Y \subset \mathbb{K}</math>, 定义 <math>\mathcal{H}_a[Y](X) := \mathcal{H}_a(Y \cup X)</math>。

(1) <math>\mathcal{H}_a(X)</math> 的递归定义如下：

(1a) <math>\{0, \mathbb{K}\} \cup X \subset \mathcal{H}_a(X)</math>.

(1b) <math>x, y \in \mathcal{H}_a(X) \Rightarrow x + y \in \mathcal{H}_a(X)</math>, <math>x \in \mathcal{H}_a(X) \Rightarrow \omega^x \in \mathcal{H}_a(X)</math>, 且 <math>x, y \in \mathcal{H}_a(X) \cap \mathbb{K} \Rightarrow \varphi xy \in \mathcal{H}_a(X)</math>。

(1c) <math>\mathbb{K} > \alpha \in \mathcal{H}_a(X) \Rightarrow \Omega_\alpha \in \mathcal{H}_a(X)</math>。

(1d) 若 <math>\pi \in \mathcal{H}_a(X) \cap \text{Reg}</math> 且 <math>b \in \mathcal{H}_a(X) \cap a</math>, 则 <math>\psi_\pi(b) \in \mathcal{H}_a(X)</math>。

(1e) 若 <math>\{b, \xi\} \subset \mathcal{H}_a(X)</math>, <math>\xi \leq b < a</math>, 则 <math>\kappa = \psi_{\mathbb{K}^\ast}^\xi(b) \in \mathcal{H}_a(X)</math>, 其中 <math>\text{lh}(\overrightarrow{0}) = N - 3</math>。

(1f) 令 <math>\{\pi, b, c\} \subset \mathcal{H}_a(X)</math>, 其中 <math>\pi < \mathbb{K}</math>, <math>2 \leq k < N - 1</math> 为整数, 且 <math>\overrightarrow{\xi} = (\xi_2, \ldots, \xi_k, \xi_{k+1})</math> 为序数序列 <math>\xi_i < \varepsilon(A)</math>, 其中 <math>\text{lh}(\overrightarrow{0}) = N - 2 - k</math> 使得 <math>\xi_{k+1} \neq 0</math> 且 <math>K(\xi) \subset \mathcal{H}_a(X)</math>。假设 <math>\max(K(\xi) \cup \{c\}) \leq b < a</math>, 且 <math>\pi \in Mh_2^b(\xi)</math>。那么 <math>\kappa = \psi_\pi^{\overrightarrow{v}}(b) \in \mathcal{H}_a(X)</math> 对于序列 <math>\overrightarrow{v} = (\xi_2, \ldots, \xi_k + \Lambda^{\xi_{k+1}}c) \ast \overrightarrow{0}</math>, 其中 <math>\text{lh}(\overrightarrow{0}) = N - 1 - k</math>。

(1g) 令 <math>\{\pi, b\} \subset \mathcal{H}_a(X)</math>, 其中 <math>\pi < \mathbb{K}</math>, 且 <math>0 \neq \xi < \varepsilon(A)</math> 为一个序数满足 <math>K(\xi) \subset \mathcal{H}_a(X)</math>。令 <math>\overrightarrow{v} = (\nu_2, \ldots, \nu_{N-1})</math> 为一个序数序列 <math>< \varepsilon(A)</math> 使得 <math>K(\overrightarrow{v}) \subset \mathcal{H}_a(X)</math>。假设 <math>\max K(\overrightarrow{v}) \leq b < a</math>, <math>K(\overrightarrow{v}) \subset \mathcal{H}_b(\pi)</math>, <math>\pi \in Mh_2^b(\xi)</math> 且 <math>\overrightarrow{v} < \xi</math>, 那么 <math>\kappa = \psi_\pi^{\overrightarrow{v}}(b) \in \mathcal{H}_a(X)</math>。

(2) <math>Mh_k^\xi(\xi)</math> 以及 <math>Mh_k^b(\xi)</math> 定义如下：

首先令 <math>\mathbb{K} \in Mh_N^\xi(0) : \Leftrightarrow \mathbb{K} \in M_N \Leftrightarrow \mathbb{K}</math> 为 <math>\amalg_{N-2}^1</math> - 不可描述的。

类 <math>Mh_k^a(\xi)</math> 定义在 <math>2 \leq k < N</math>, <math>a < \Lambda</math>, <math>\xi < \varepsilon(\Lambda)</math> 上。令 <math>\pi</math> 为一个 <math>\leq \mathbb{K}</math> 的正则序数。

于是对于 <math>\xi > 0</math> 有

<math>
 \pi \in Mh_k^\alpha(\xi) :\Leftrightarrow \{\pi, a\} \cup K(\xi) \subset H_a(\pi) \&  \forall \vec{v} < \xi (K(\vec{v}) \subset H_a(\pi) \Rightarrow \pi \in M_k (Mh_k^\alpha(\vec{v}))), 
</math>

式中 <math>\vec{v} = (\nu_k, \ldots, \nu_n) (2 \leq k \leq n \leq N - 1)</math> 取遍 <math><\varepsilon(\Lambda)</math> 的非空序数序列，且

<math>
 \pi \in Mh_k^\alpha(\vec{v}) :\Leftrightarrow \pi \in \bigcap_{k \leq i \leq n} Mh_i^\alpha(\nu_i). 
</math>

按照惯例，对于 <math>2 \leq k < N, \pi \in Mh_k^\alpha(0) :\Leftrightarrow \pi \in Mh_2^\alpha(\emptyset) :\Leftrightarrow \pi</math> 为一个极限序数。注意到通过令 <math>\vec{v} = (0), \pi \in Mh_k^\alpha(\xi) \Rightarrow \pi \in M_k</math>，对于 <math>\xi > 0</math>。同样 <math>\vec{0} < 1</math>，且 <math>Mh_k^\alpha(1) = M_k</math>。

(3) <math>\psi_\pi^\xi(a)</math> 定义如下：

令 <math>a < \Lambda</math> 为一个序数，<math>\pi \leq \mathbb{K}</math> 为正则序数，且 <math>\xi</math> 为序数数列 <math><\varepsilon(\Lambda)</math> 使得 <math>lh(\xi) = N - 2</math>。

接下来令

<math>
 \psi_\pi^\xi(a) := \min \left( \{\pi\} \cup \left\{ \kappa \in Mh_2^\alpha(\xi) \cap \pi : H_a(\kappa) \cap \pi \subset \kappa, K(\xi) \cup \{\pi, a\} \subset H_a(\kappa) \right\} \right). 
</math>

令 <math>\psi_\pi a := \psi_\pi^{\vec{0}} a</math>，其中 <math>lh(\vec{0}) = N - 2, Mh_2^{\vec{0}}(\vec{0}) = \mathrm{Lim}</math>，且 <math>\pi \in M_2</math>，即 <math>\pi</math> 是一个正则序数。

Arai 给出了如下的结论。

'''定理 1''' <math>b + c \in H_a[\Theta](d) \Rightarrow c \in H_a[\Theta](d)</math>，且 <math>\omega^c \in H_a[\Theta](d) \Rightarrow c \in H_a[\Theta](d)</math>。

'''定理 2''' 每个 <math>x = H_a(y) (a < \Lambda, y < \mathbb{K}), x = \psi_\kappa a, x \in Mh_k^\alpha(\xi)</math> 和 <math>x = \psi_\kappa^\xi(a)</math> 均为 ZFL 中的不动点处的 <math>\Sigma_1</math>-谓词。

'''定理 3'''

(1) <math>\forall a < \Lambda A(a)</math>。

(2) 对于弱不可达基数 <math>\pi \leq \mathbb{K}</math> 和 <math>a, \xi</math>，<math>\pi \in Mh_k^\alpha(\xi)</math> 是 <math>L_\pi</math> 上的一致 <math>\Pi_{k - 1}^1</math> 类。这意味着对于每个 <math>k</math>，存在一个 <math>\Pi_{k - 1}^1</math> 公式 <math>mh_k^\alpha(x)</math>，当且仅当 <math>L_\pi \models mh_k^\alpha(\xi)</math>，对于任何弱不可达基数 <math>\pi \leq \mathbb{K}</math>，且 <math>f(\{a\} \cup K(\xi)) \subset L_\pi</math>，<math>\pi \in Mh_k^\alpha(\xi)</math>。

(3) <math>\mathbb{K} \in Mh_{N - 1}^\alpha(\Lambda) \cap M_{N - 1} (Mh_{N - 1}^\alpha(\Lambda))</math>。

下面讨论记号的正规形式。

'''定理 4''' <math>\pi \in Mh_{k}^{a}(\zeta) \land \xi \leq \zeta \Rightarrow \pi \in Mh_{k}^{a}(\xi)</math>。

'''定理 5''' 假设 <math>\mathbb{K} \geq \pi \in Mh_{k}^{a}(\xi) \cap Mh_{k+1}^{a}(\xi_0)</math> 其中 <math>2 \leq k \leq N - 1</math>, <math>he(\mu) \leq \xi_0</math> 和 <math>\{a\} \cup K(\mu) \subset H_a(\pi)</math>。则 <math>\pi \in Mh_{k}^{a}(\xi + \mu)</math> 成立。此外，如果 <math>\pi \in M_{k+1}</math>，则 <math>\pi \in M_{k+1}(Mh_{k}^{a}(\xi + \mu))</math> 成立。

'''定义 3''' 对于序数序列 <math>\tilde{\zeta} = (\xi_k, \ldots, \xi_{N-1}), \tilde{\nu} = (\nu_k, \ldots, \nu_{N-1})</math> 以及 <math>2 \leq k, m, n \leq N - 1</math>，<math>Mh_{m}^{a}(\tilde{\nu}) <_k Mh_{n}^{a}(\tilde{\zeta}) :\Leftrightarrow \forall \pi \in Mh_{n}^{a}(\tilde{\zeta}) (\{a, \pi\} \cup K(\tilde{\nu}) \subset H_a(\pi) \Rightarrow \pi \in M_k(Mh_{m}^{a}(\tilde{\nu})))</math>

'''定理 6''' 令 <math>\tilde{\nu} = (\nu_2, \ldots, \nu_{N-1}), \tilde{\zeta} = (\xi_2, \ldots, \xi_{N-1})</math> 为序数 <math>< \varepsilon(\Lambda)</math> 的序列，其中对于整数 <math>k</math>，有 <math>\tilde{\nu} <_k \tilde{\zeta}</math>，且 <math>2 \leq k \leq N - 1</math>。则 <math>Mh_{2}^{a}(\tilde{\nu}) <_k Mh_{2}^{a}(\tilde{\zeta})</math>。特别是如果 <math>\pi \in Mh_{2}^{a}(\tilde{\zeta})</math> 且 <math>K(\tilde{\nu}) \cup \{\pi, a\} \subset H_a(\pi)</math>，则 <math>\psi_{\pi}^{\tilde{\nu}}(a) < \pi</math>。

'''定理 7''' 令 <math>\vec{\xi} = (\xi_2, \ldots, \xi_{N-1})</math> 为序数 <math><\varepsilon(\Lambda)</math> 的序列，且 <math>\{\pi, a\} \cup K(\vec{\xi}) \subset H_a(\pi)</math>。假设 <math>Tl(\xi_i) < \Lambda_k(\xi_{i+k} + 1)</math>，其中 <math>i < N - 1</math> 且 <math>k > 0</math>。然后 <math>\pi \in Mh_2^9(\vec{\xi}) \Leftrightarrow \pi \in Mh_2^9(\vec{\mu})</math>，其中 <math>\vec{\mu} = (\mu_2, \ldots, \mu_{N-1})</math>，且 <math>\mu_i = \xi_i - Tl(\xi_i)</math> 和 <math>\mu_j = \xi_j</math>，其中 <math>j \neq i</math>。

'''定义 4''' 序数序列 <math>\vec{\xi} = (\xi_2, \ldots, \xi_{N-1})</math> 称为不可约的，当且仅当 <math>\forall i < N - 1, \forall k > 0 (\xi_i > 0 \Rightarrow Tl(\xi_i) \geq \Lambda_k(\xi_{i+k} + 1))</math>。

'''定理 8''' 令 <math>\vec{\nu} = (\nu_k, \ldots, \nu_{N-1}) \neq \vec{0}</math> 为不可约序列，<math>k_0 \geq k</math> 为满足 <math>\nu_{k_0} \neq 0</math> 的最小数。设 <math>\nu_{k_0} < he^{(k_0 - k)}(\vec{\xi})</math>。则 <math>\vec{\nu} < \vec{\xi}</math>。

'''定义 5''' 令 <math>\vec{\xi} = (\xi_k, \ldots, \xi_{N-1})</math>，<math>\vec{\nu} = (\nu_k, \ldots, \nu_{N-1})</math> 且 <math>\vec{\nu} \neq \vec{\xi}</math>。令 <math>i \geq k</math> 为使 <math>\nu_i \neq \xi_i</math> 的最小数。假设 <math>(\xi_i, \ldots, \xi_{N-1}) \neq \vec{0}</math>，令 <math>k_1 \geq i</math> 为使 <math>\xi_{k_1} \neq 0</math> 的最小数，则 <math>\vec{\nu} <_{lx,k} \vec{\xi}</math> 当且仅当下列之一成立：

(1) <math>(\nu_i, \ldots, \nu_{N-1}) = \vec{0}</math>。

(2) 接下来假设 <math>(\nu_i, \ldots, \nu_{N-1}) \neq \vec{0}</math>，并让 <math>k_0 \geq i</math> 为满足 <math>\nu_{k_0} \neq 0</math> (<math>i = \min\{k_0, k_1\}</math>) 的最小数，则 <math>\vec{\nu} <_{lx,k} \vec{\xi}</math> 当且仅当下列之一成立：

(2a) <math>i = k_0 < k_1</math> 且 <math>he^{(k_1 - k_0)}(\nu_{k_0}) \leq \xi_{k_1}</math>。

(2b) <math>k_0 \geq k_1 = i</math> 且 <math>\nu_{k_0} < he^{(k_0 - k_1)}(\xi_{k_1})</math>。

'''定理 9''' 设 <math>\vec{\nu}</math> 和 <math>\vec{\xi}</math> 都是不可约的，则 <math>\vec{\nu} <_{lx,k} \vec{\xi} \Rightarrow Mh_k^a(\vec{\nu}) <_k Mh_k^a(\vec{\xi})</math>。

'''定理 10''' 令 <math>\vec{\nu} = (\nu_2, \ldots, \nu_{N-1})</math>，<math>\vec{\xi} = (\xi_2, \ldots, \xi_{N-1})</math> 为不可约序数序列 <math><\varepsilon(\Lambda)</math>，并假设 <math>\psi_\pi^{\vec{\nu}}(b) < \pi</math> 和 <math>\psi_\kappa^{\vec{\xi}}(a) < \kappa</math>。则 <math>\beta_1 = \psi_\pi^{\vec{\nu}}(b) < \psi_\kappa^{\vec{\xi}}(a) = \alpha_1</math> 当且仅当以下情况之一成立：

(1) <math>\pi \leq \psi_\kappa^{\vec{\xi}}(a)</math>。

(2) <math>b < a, \psi_\pi^{\vec{\nu}}(b) < \kappa</math> 且 <math>K(\vec{\nu}) \cup \{\pi, b\} \subset H_a(\psi_\kappa^{\vec{\xi}}(a))</math>。

(3) <math>b > a</math> 且 <math>K(\vec{\xi}) \cup \{\kappa, a\} \not\subset H_b(\psi_\pi^{\vec{\nu}}(b))</math>。

(4) <math>b = a, \kappa < \pi</math> 且 <math>\kappa \notin H_b(\psi_\pi^{\vec{\nu}}(b))</math>。

(5) <math>b = a, \pi = \kappa, K(\vec{\nu}) \subset H_a(\psi_\kappa^{\vec{\xi}}(a))</math>，且 <math>\vec{\nu} <_{lx,2} \vec{\xi}</math>。

(6) <math>b = a, \pi = \kappa, K(\vec{\xi}) \not\subset H_b(\psi_\pi^{\vec{\nu}}(b))</math>。

'''定义 6''' 一个由序数 <math>\xi_i < \varepsilon(\Lambda)</math> 组成的序列 <math>\vec{\xi} = (\xi_2, \ldots, \xi_{N-1})</math> 的集合 <math>SD</math> 递归定义如下。

(1) 对于每个 <math>a < \Lambda</math>，<math>\vec{0} * (a) \in SD</math>。

(2) 令 <math>\vec{\xi} = (\xi_2, \ldots, \xi_{N-1}) \in SD</math>，<math>1 \leq k < N - 1</math>，<math>\zeta < \varepsilon(\Lambda)</math> 为序数，满足 <math>(\xi_{k+1}, \ldots, \xi_{N-1}) <_{sd} \zeta</math>，且 <math>(\xi_2, \ldots, \xi_{k-1}, \zeta) * \vec{0} \in SD</math>。然后对于 <math>\zeta_k = \xi_k + \Lambda \zeta_a</math> 和一个序数 <math>a < \Lambda</math>，<math>(\xi_2, \ldots, \xi_{k-1}) * (\zeta_k) * (\xi_{k+1}, \ldots, \xi_{N-1}) \in SD</math> 以及 <math>(\xi_2, \ldots, \xi_{k-1}) * (\zeta_k) * \vec{0} \in SD</math>。

'''定理 11''' 令 <math>\vec{\xi} = (\xi_2, \ldots, \xi_{N-1}) \in SD</math>。

(1) 对于每个 <math>i</math>，<math>(\xi_2, \ldots, \xi_i) * \vec{0} \in SD</math>，其中 <math>1 \leq i < N</math>。

(2) 对于 <math>2 \leq i < j < k < N</math>，如果 <math>\xi_i \neq 0</math> 且 <math>\xi_k \neq 0</math>，则 <math>\xi_j \neq 0</math>。

(3) 令 <math>\xi_i \neq 0</math>。则 <math>(\xi_{i+1}, \ldots, \xi_{N-1}) <_{sd} te(\xi_i)</math>。

(4) <math>\vec{\xi}</math> 是不可约的。

对于序数折叠函数来说，相应的序数符号是重要的。接下来我们将研究算术的一个弱片段，例如片段 <math>I\Sigma_1</math> 或有界算术 <math>S_2^1</math>。符号 <math>\{0, \mathbb{K}, \Lambda, +, \omega, \varphi, \Omega, \psi\}</math> 上的序数项集 <math>OT \subset \Lambda = \varepsilon_{\mathbb{K}+1}</math>

以及 <math>E \subset \varepsilon(\Lambda) = \varepsilon_{\mathbb{K}+2}</math> 可以以递归方式进行定义。<math>OT</math> 同构于 <math>H_A(0)</math> 的一个子集。同时我们定义有限集 <math>K_\delta(\alpha) \subset OT</math>（其中 <math>\delta, \alpha \in OT</math>）和序列 <math>(m_k(\alpha))_{2 \leq k \leq N-1}</math>（其中 <math>\alpha \in OT \cap \mathbb{K}</math>），其中在 <math>\alpha = \psi_\pi^{\vec{\nu}}(a)</math> 中，<math>m_k(\alpha) = \nu_k</math>，即 <math>\vec{\nu} = (\nu_2, \ldots, \nu_{N-1}) = (m_2(\alpha), \ldots, m_{N-1}(\alpha)) = (m_k(\alpha))_k = \vec{m}(\alpha)</math>

对于 <math>\{\alpha_0, \ldots, \alpha_m, \beta\} \subset OT</math>，我们有 <math> K_\delta(\alpha_0, \ldots, \alpha_m) := \bigcup_{i \leq m} K_\delta(\alpha_i),\quad K_\delta(\alpha_0, \ldots, \alpha_m) < \beta :\Leftrightarrow \forall \gamma \in K_\delta(\alpha_0, \ldots, \alpha_m) (\gamma < \beta)</math> 且 <math>\beta \leq K_\delta(\alpha_0, \ldots, \alpha_m) :\Leftrightarrow \exists \gamma \in K_\delta(\alpha_0, \ldots, \alpha_m) (\beta \leq \gamma)</math>

如果 <math>OT</math> 中的序数项是形式为 <math>\mathbb{K}, \Omega_{\beta+1}</math> 或 <math>\psi_\pi^{\vec{\nu}}(a)</math> 且非零序列 <math>\vec{\nu} \neq \vec{0}</math> 的项，则称其为正则项。<math>\mathbb{K}</math> 和后面的项 <math>\psi_\pi^{\vec{\nu}}(a)</math> 都是 Mahlo 项。

<math>\alpha =_{NF} \alpha_m + \cdots + \alpha_0</math> 表示 <math>\alpha = \alpha_m + \cdots + \alpha_0</math> 和 <math>\alpha_m \geq \cdots \geq \alpha_0</math> 且每个 <math>\alpha_i</math> 都是非零加法主数。<math>\alpha =_{NF} \varphi\beta\gamma</math> 表示 <math>\alpha = \varphi\beta\gamma</math> 且 <math>\beta, \gamma < \alpha</math>。<math>\alpha =_{NF} \omega^\beta</math> 表示 <math>\alpha = \omega^\beta > \beta</math>。<math>\alpha =_{NF} \Omega_\beta</math> 表示 <math>\alpha = \Omega_\beta > \beta</math>。

令 <math>pd(\psi_\pi^{\vec{\nu}}(a)) = \pi</math>（即使 <math>\vec{\nu} = \vec{0}</math>）。此外，对于 <math>n pd^{(n)}(\alpha)</math> 由 <math>pd^{(0)}(\alpha) = \alpha</math> 和 <math>pd^{(n+1)}(\alpha) \simeq pd(pd^{(n)}(\alpha))</math> 递归定义。

对于项 <math>\pi, \kappa \in OT</math>，<math>\pi \prec \kappa</math> 表示关系 <math>\{(\pi, \kappa) : \exists \xi \exists b \left[ \pi = \psi_\kappa^{\vec{\xi}}(b) \right]\}</math> 的传递闭包，以及其自反闭包 <math>\pi \preceq \kappa :\Leftrightarrow \pi \prec \kappa \lor \pi = \kappa \Leftrightarrow \exists n (\kappa = pd^{(n)}(\pi))</math>。

对于每个序数项 <math>\alpha = \psi_\pi^{\vec{\nu}}(a)</math>，序数项序列 <math>(\pi_i)_{i \leq L}</math> 唯一确定如下：<math>\pi_L = \alpha, \pi_i = pd(\pi_{i+1})</math> 和 <math>\pi_0 = \mathbb{K}</math>。我们将序列 <math>(\pi_i)_{i \leq L}</math> 称为 <math>\alpha = \pi_L</math> 的折叠序列。

下面我们将构建序数项 <math>\alpha = \psi_\pi^{\vec{\nu}}(a)</math>。

'''定义 7''' <math>\ell\alpha</math> 表示符号 <math>\{0, \mathbb{K}, \Lambda, +, \omega, \varphi, \Omega, \psi\}</math> 在项 <math>\alpha \in OT \cup E</math> 中出现的次数。

(1a) <math>0 \in E</math>。

(1b) 如果 <math>0 < a \in OT</math>，则 <math>a \in E.K(a) = \{a\}</math>。

(1c) 如果 <math>\{\xi_i : i \leq m\} \subset E, \xi_m > \cdots > \xi_0 > 0</math> 且 <math>0 < b_i \in OT</math>，则 <math>\sum_{i \leq m} \Lambda^{\xi_i} b_i = \Lambda^{\xi_m} b_m + \cdots + \Lambda^{\xi_0} b_0 \in E K \left( \sum_{i \leq m} \Lambda^{\xi_i} b_i \right) = \{b_i : i \leq m\} \cup \bigcup \{K(\xi_i) : i \leq m\}</math>。

(1d) 对于序列 <math>\vec{\nu} = (\nu_2, \ldots, \nu_{N-1})</math>，令 <math>K(\vec{\nu}) = \bigcup_{2 \leq i \leq N-1} K(\nu_i)</math>。

(2a) 对于任意 <math>k, 0, \mathbb{K} \in OT.m_k(0) = 0</math>，且 <math>K_\delta(0) = K_\delta(\mathbb{K}) = \varnothing</math>。

(2b) 如果 <math>\alpha =_{NF} \alpha_m + \cdots + \alpha_0 (m > 0)</math>，且 <math>\{\alpha_i : i \leq m\} \subset OT</math>，则 <math>\alpha \in OT</math>，且对于任意 <math>k</math>，<math>m_k(\alpha) = 0</math>。<math>K_\delta(\alpha) = K_\delta(\alpha_0, \ldots, \alpha_m)</math>。

(2c) 如果 <math>\alpha =_{NF} \varphi\beta\gamma</math> 且 <math>\{\beta, \gamma\} \subset OT \cap \mathbb{K}</math>，则 <math>\alpha \in OT</math>，且对于任何 <math>k</math>，<math>m_k(\alpha) = 0</math>。<math>K_\delta(\alpha) = K_\delta(\beta, \gamma)</math>。

(2d) 如果 <math>\alpha =_{NF} \omega^\beta</math> 且 <math>\mathbb{K} < \beta \in OT</math>，则 <math>\alpha \in OT</math>，且对于任何 <math>k</math>，<math>m_k(\alpha) = 0</math>。<math>K_\delta(\alpha) = K_\delta(\beta)</math>。

(2e) 如果 <math>\alpha =_{NF} \Omega_\beta</math> 且 <math>\beta \in OT \cap \mathbb{K}</math>，则如果 <math>\beta</math> 是后继序数，则对于任何 <math>k > 2</math>，<math>\alpha \in OT.m_2(\alpha) = 1, m_k(\alpha) = 0</math>。否则对于任何 <math>k</math>，<math>m_k(\alpha) = 0</math>。在每种情况下，<math>K_\delta(\alpha) = K_\delta(\beta)</math>。

(2f) 令 <math>\alpha = \psi_\pi^{\vec{\nu}}(a) := \psi_\pi^{\vec{0}}(a)</math>，其中 <math>\pi</math> 为正则项，即，要么是 <math>\pi = \mathbb{K}</math>，要么 <math>\vec{m}(\pi) \neq \vec{0}</math>，且 <math>K_\alpha(\pi, a) < a</math>。则 <math>\alpha = \psi_\pi^{\vec{\nu}}(a) \in OT</math>。对于任意 <math>k</math>，令 <math>m_k(\alpha) = 0</math>。若 <math>\alpha < \delta</math>，则 <math>K_\delta(\psi_\pi^{\vec{\nu}}(a)) = \varnothing</math>。否则，<math>K_\delta(\psi_\pi^{\vec{\nu}}(a)) = \{a\} \cup K_\delta(a, \pi)</math>。

(2g) 令 <math>\alpha = \psi_\mathbb{K}^{\vec{\nu}}(a)</math>，其中 <math>\vec{\nu} = \vec{0} * (b) (\text{lh}(\vec{\nu}) = N - 2)</math>，且 <math>b, a \in OT</math>，使得 <math>0 < b \leq a</math> 且 <math>K_\alpha(b, a) < a</math>。则 <math>\alpha = \psi_\mathbb{K}^{\vec{\nu}}(a) \in OT</math>。令 <math>m_{N-1}(\alpha) = b m_k(\alpha) = 0</math>，其中 <math>k < N - 1</math>。若 <math>\alpha < \delta</math>，则 <math>K_\delta(\psi_\mathbb{K}^{\vec{\nu}}(a)) = \varnothing</math>。否则，<math>K_\delta(\psi_\mathbb{K}^{\vec{\nu}}(a)) = \{a\} \cup \bigcup \{K_\delta(\gamma) : \gamma \in K(\vec{\nu})\}</math>。

(2h) 设 <math>\pi \in OT \cap \mathbb{K}</math> 使得 <math>m_{k+1}(\pi) \neq 0</math> 且 <math>\forall i > k + 1 (m_i(\pi) = 0)</math>（其中 <math>a k(2 \leq k \leq N - 2)</math>），以及 <math>b, a \in OT</math> 使得 <math>0 < b \leq a</math>。设 <math>\vec{\nu} = (\nu_2, \ldots, \nu_{N-1})</math> 为由 <math>\forall i < k (\nu_i = m_i(\pi)), \nu_k = m_k(\pi) + \Lambda m_{k+1}(\pi) b</math> 和 <math>\forall i > k (\nu_i = 0)</math> 定义的序列。然后如果 <math>K_\alpha(\pi, a, b) \cup K_\alpha(K(\vec{m}(\pi))) < a</math>，则 <math>\alpha = \psi_\pi^{\vec{\nu}}(a) \in OT</math>。对于每个 <math>i</math>，令 <math>m_i(\alpha) = \nu_i</math>。如果 <math>\alpha < \delta</math>，则 <math>K_\delta(\psi_\pi^{\vec{\nu}}(a)) = \varnothing</math>。否则 <math>K_\delta(\psi_\pi^{\vec{\nu}}(a)) = \{a\} \cup K_\delta(a, \pi) \cup \bigcup \{K_\delta(b) : b \in K(\vec{\nu})\}</math>。

(2i) 令 <math>\pi \in OT \cap \mathbb{K}</math> 使得 <math>m_2(\pi) \neq 0</math> 且 <math>\forall i > 2 (m_i(\pi) = 0)</math>，以及 <math>a \in OT</math>。令 <math>\vec{0} \neq \vec{\nu} = (\nu_2, \ldots, \nu_{N-1}) \in SD</math> 为序数项序列 <math>\nu_i \in E</math>，使得 <math>\vec{\nu} <_{sp} m_2(\pi)</math>。然后如果 <math>K_\alpha(\pi, a) < a</math>，并且 <math>\forall k (K_\alpha(\nu_k) < \max K(\nu_k))</math>。对于每个 <math>i</math>，令 <math>m_i(\alpha) = \nu_i</math>。如果 <math>\alpha < \delta</math>，则 <math>K_\delta(\psi_\pi^{\vec{\nu}}(a)) = \varnothing</math>。否则 <math>K_\delta(\psi_\pi^{\vec{\nu}}(a)) = \{a\} \cup K_\delta(a, \pi) \cup \bigcup \{K_\delta(b) : b \in K(\vec{\nu})\}</math>。

设 <math>\{\pi, a, \xi\} \subset H_a(\pi)</math>。则 <math>\xi = m_k(\pi)</math> 等价于 <math>\pi \in Mh_k^\xi(\xi)</math>。

我们给出如下结论：

'''定理 12''' 对于每个 Mahlo 项 <math>\alpha = \psi_\pi^{\vec{\nu}}(a) \in OT, \vec{m}(\alpha) = \vec{\nu} \in SD</math>。

'''定理 13''' 对于任何 <math>\alpha \in OT</math> 和任何 <math>\delta</math>，使得 <math>\delta = 0, \mathbb{K}</math> 或 <math>\delta = \psi_\pi^{\vec{\nu}}(b)</math>，其中某个 <math>\pi, b, \vec{\nu}, \alpha \in H_\gamma(\delta) \Leftrightarrow K_\delta(\alpha) < \gamma</math>。

'''定理 14''' <math>(OT, <)</math> 是可计算的序数符号系统。特别是，初始段 <math>\{\alpha \in OT : \alpha < \Omega_1\}</math> 的序类型小于 <math>\omega_1^{CK}</math>。

具体来说，对于 <math>\alpha, \beta \in OT, \alpha < \beta</math> 和 <math>\alpha = \beta</math> 都是可判定的，而对于符号 <math>\{0, \mathbb{K}, \Lambda, +, \omega, \varphi, \Omega, \psi\}</math> 上的项 <math>\alpha</math>，<math>\alpha \in OT</math> 是可判定的。

'''定理 15'''

(a) 令 <math>\beta = \psi_\pi^{\vec{\nu}}(b)</math> 且 <math>\pi = \psi_\kappa^{\vec{\xi}}(a)</math>。则 <math>a < b</math>。

(b) 对于 <math>\alpha = \psi_\pi^{\vec{\nu}}(a) \in OT \max K(\vec{\nu}) \leq a</math> 成立。