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= Ascension Notation =

此处Ascension Notation指的是AN1.1.1记号。AN1.1.1的定义比较复杂，建议先阅读下方的理念部分来作为铺垫。

== 理念 ==

我们假设一个记号，然后它可以用<math>\psi(\psi_{\psi_0})</math>表示BOCF的<math>\psi(\Omega_\omega)</math>，假如我们想要这个记号“不平凡”，我们可以定义一个用来对角化的一个记号，记作<math>\psi^*_0</math>，然后我们通过对角化，得到<math>\psi(\psi_{\psi^*_0}(\psi_0+1))=\psi(\psi_{\psi_0+1})=TFBO</math>而不是<math>\psi(\psi_{\psi_0}(\psi_0+1))=\psi(\psi_{\psi_0}^{\psi_0+1})=\psi(\Omega_\omega^{\omega+1})</math>。通过引入用来对角化的记号的这种操作，我们称其为“<math>\Pi_1</math>提升”（因为引入的记号的性质类似于极限序数，因此便叫做<math>\Pi_1</math>提升，同理，我们也可以引入更高阶的对角化记号，然后就有“<math>\Pi_2</math>提升”、“<math>\Pi_2\cap\Pi_1\,onto\,\Pi_2</math>提升”之类的）。AN1.1.1的理念便是尽最大可能创造更多的<math>\Pi_1</math>提升并且合理利用。

== 形式 ==

Ascension Notation 1.1.1是一个有序二叉树（叫做AN二叉树），每个节点包含以下信息（使用Typescript书写）

<syntaxhighlight lang="typescript" line="1">
type node = {
    isAscensionNode: boolean,
    data: "+" | "*" | "^" | "ψ" | number
}
</syntaxhighlight>

''isAscensionNode''表示该节点是否是一个提升节点（只有在''operator''为“<math>\psi</math>”时才可以设置为真），''data''表示该节点的数据，要么是一个枚举，要么是一个自然数，当该节点没有左右子节点的时候他才可以为一个自然数，当他为''+''、''*''、''^''的时候必须要有左右子节点。

为了方便表示AN二叉树，我们如下表达这个AN二叉树

# 对于节点N与可以不存在的左右子节点L和R
## 如果N的''data''为一个自然数，则直接使用该自然数来表示
## 如果N的''data''为''+''，则 <math>N=L+R</math>
## 如果N的''data''为''*''，则 <math>N=L\times R</math>
## 如果N的''data''为''^''，则 <math>N=L^R</math>
## 如果N的''data''为''ψ''
### 如果N的''isAscensionNode''为真
#### 如果L与R不存在，则 <math>N=\psi^*</math>
#### 如果R不存在，则<math>N=\psi^*(L)</math>
#### 如果L不存在，则<math>N=\psi^*_R</math>
#### 否则<math>N=\psi^*_R(L)</math>
### 否则
#### 如果L与R不存在，则<math>N=\psi</math>
#### 如果R不存在，则<math>N=\psi(L)</math>
#### 如果L不存在，则<math>N=\psi_R</math>
#### 否则<math>N=\psi_R(L)</math>

AN1.1.1是AN系列记号中的一个，AN系列有一个传统就是要在表达式外面套一个<math>\psi^A</math>。为了延续AN系列的传统，我们将AN的记号用<math>\psi^A</math>包起来，不过这个只是单纯的起到一个标识作用。

=== 合法表达式实例 ===

<math>\psi^A(\psi _0(\psi _1))</math>

<math>\psi^A(\psi _1\times 2)</math>

<math>\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi _0}))</math>

<math>\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi^*_0+1}))</math>

== 临时定义 ==

# 希腊字母表示任意一个序数。
# n与m表示任意一个自然数。
# #或者<math>\#_n</math>（n为自然数）是一个合法的AN二叉树。
# #+1或者<math>\#_n+1</math>（n为自然数）是一个最左侧''data''为一个不为零的自然数的节点的AN二叉树，其中#（或者<math>\#_n</math>）是让最左侧节点的自然数为原本的AN二叉树的自然数的前继的AN二叉树。
# [*]或者<math>[*_n]</math>（n为自然数）表示这个标记是可选的，如果选了就必须在后文带上这个标记（你如提升节点的标记）。
# <math>\#^E\psi^{[* 1]}_{\#+1}</math>是一个AN二叉树，是<math>\psi^{[*_1]}_{\#+1}</math>沿着父节点向上找到的第一个形如<math>\psi^{[* _2]}_{\#'}</math>且 <math>\#'<\#+1</math>（按照右根左字典序比较）的AN二叉树（不包括<math>\psi_{\#+1}</math>与<math>\psi_{\#'}</math>），随后将<math>\#^E</math>的根接到二叉树 <math>\psi^{[*_2]}_{\#}(...)</math>的省略号处，最终得到的<math>\#^E</math>才是真正的<math>\#^E</math>。该规则类似于极限为EBO的BOCF寻找<math>\psi_\#</math>的过程。
# <math>\#^L</math>是一个最右侧结尾是一个<math>\psi_0</math>或者<math>\psi^*_0</math>的二叉树。
# <math>\lambda\alpha.(\beta)</math>表示应用映射二叉树<math>\alpha</math>到<math>\beta</math>一直到第一个不动点的过程。
# <math>\alpha^{th}\lambda\beta.(\gamma)</math>表示应用映射二叉树<math>\alpha</math>到<math>\beta</math>一直到第<math>\alpha</math>个不动点的过程。

== 展开规则 ==

每个规则都按照右根左（反过来的中序）的顺序遍历与匹配，规则按照从上到下匹配。

=== <math>\Pi_0</math>提升规则（一般的Hydra模式规则） ===

<math>\psi _0=\omega</math>

<math>\#^E\psi_{\#+1}=\#^E\lambda\alpha.(\#^E\alpha)</math>

<math>\psi_{\#^L}[n]=\psi_{\#^L[n]}</math>

<math>\psi_{\# _1}(\# _2)=(\psi_{\# _1})^{\# _2}</math>

=== <math>\Pi_1</math>提升规则 ===

<math>\psi^*_0=\omega</math>

<math>\#^E\psi^*_{\#+1}=\#^E\lambda\alpha.(\#^E\alpha)</math>

<math>\psi^*_{\#^L}[n]=\psi^*_{\#^L[n]}</math>

<math>\psi^*_0(\#)=\#</math>

<math>\#^E\psi^*_{\# _1+1}(\# _2)=\#^E(1+\psi^A(\psi _0(\# _2)))^{th}\lambda\alpha.(\#^E\alpha)</math>

<math>\psi^*_{\#^L}(\#)=\psi^*_{\#^L(\#)}</math>

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可以注意到每一个AN二叉树都需要以<math>\psi _0(...)</math>或者<math>\psi^*_0(...)</math>开始，不然没法展开。

=== 展开实例 ===

<math>\psi^A(\psi _0)=\omega</math>

<math>\psi^A(\psi _0(\psi _1))=\psi^A(\psi _0(\psi _0(\psi _0(...))))=\varepsilon _0</math>

<math>\psi^A(\psi _0(\psi _2))=\psi^A(\psi _0(\psi _1(\psi _1(...))))=\psi(\Omega _2)</math>

<math>\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi^*_0}(\psi _0+1)))=\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi^*_0(\psi _0+1)}))=\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi _0+1}))=\psi(\Omega_{\omega+1})</math>

<math>\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi^*_0}(\psi _1)))=\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi _0(\psi_{\psi _0(...)})}))=\psi(\Omega_\Omega)</math>

<math>\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi^*_0+1}))=\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi_{...}}))=\psi(I)</math>

<math>\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi^*_0(2)}(\psi _0+114514)))=\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi^*_0\times(\psi _0+114514)}))</math>

<math>\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi^*_0(\psi _1)}))=\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi^*_0(\psi^*_0(\psi^*_0(...)))}))</math>

<math>\psi^A(\psi _0(\psi_{\psi^*_0(\psi^*_1)\times\psi _0}))</math>

== 极限式 ==

<math>lim(AN1.1.1)=\psi^A(\psi _0(\psi^*_{\psi^*_{...}}))</math>

== 枚举 ==

TODO：分析AN1.1.1