AN

Ascension Notation

此处Ascension Notation指的是AN1.1.1记号。AN1.1.1的定义比较复杂，建议先阅读下方的理念部分来作为铺垫。

理念

我们假设一个记号，然后它可以用$\psi ({\psi }_{{\psi }_0})$表示BOCF的$\psi ({\mathrm{\Omega }}_{\omega })$，假如我们想要这个记号“不平凡”，我们可以定义一个用来对角化的一个记号，记作${\psi }_0^{*}$，然后我们通过对角化，得到$\psi ({\psi }_{{\psi }_0^{*}}({\psi }_0+1))=\psi ({\psi }_{{\psi }_0+1})=TFBO$而不是$\psi ({\psi }_{{\psi }_0}({\psi }_0+1))=\psi ({\psi }_{{\psi }_0}^{{\psi }_0+1})=\psi ({\mathrm{\Omega }}_{\omega }^{\omega +1})$。通过引入用来对角化的记号的这种操作，我们称其为“${\mathrm{\Pi }}_1$提升”（因为引入的记号的性质类似于极限序数，因此便叫做${\mathrm{\Pi }}_1$提升，同理，我们也可以引入更高阶的对角化记号，然后就有“${\mathrm{\Pi }}_2$提升”、“${\mathrm{\Pi }}_2\cap {\mathrm{\Pi }}_{1}onto{\mathrm{\Pi }}_2$提升”之类的）。AN1.1.1的理念便是尽最大可能创造更多的${\mathrm{\Pi }}_1$提升并且合理利用。

形式

Ascension Notation 1.1.1是一个有序二叉树（叫做AN二叉树），每个节点包含以下信息（使用Typescript书写）

type node = {
    isAscensionNode: boolean,
    data: "+" | "*" | "^" | "ψ" | number
}

isAscensionNode表示该节点是否是一个提升节点（只有在operator为“$\psi$”时才可以设置为真），data表示该节点的数据，要么是一个枚举，要么是一个自然数，当该节点没有左右子节点的时候他才可以为一个自然数，当他为+、*、^的时候必须要有左右子节点。

为了方便表示AN二叉树，我们如下表达这个AN二叉树

1. 对于节点N与可以不存在的左右子节点L和R
   1. 如果N的data为一个自然数，则直接使用该自然数来表示
   2. 如果N的data为+，则 $N=L+R$
   3. 如果N的data为*，则 $N=L\times R$
   4. 如果N的data为^，则 $N=L^R$
   5. 如果N的data为ψ
      1. 如果N的isAscensionNode为真
         1. 如果L与R不存在，则 $N={\psi }^{*}$
         2. 如果R不存在，则$N={\psi }^{*}(L)$
         3. 如果L不存在，则$N={\psi }_R^{*}$
         4. 否则$N={\psi }_R^{*}(L)$
      2. 否则
         1. 如果L与R不存在，则$N=\psi$
         2. 如果R不存在，则$N=\psi (L)$
         3. 如果L不存在，则$N={\psi }_R$
         4. 否则$N={\psi }_R(L)$

AN1.1.1是AN系列记号中的一个，AN系列有一个传统就是要在表达式外面套一个${\psi }^A$。为了延续AN系列的传统，我们将AN的记号用${\psi }^A$包起来，不过这个只是单纯的起到一个标识作用。

合法表达式实例

${\psi }^A({\psi }_0({\psi }_1))$

${\psi }^A({\psi }_1\times 2)$

${\psi }^A({\psi }_0({\psi }_{{\psi }_0}))$

${\psi }^A({\psi }_0({\psi }_{{\psi }_0^{*}+1}))$

临时定义

1. 希腊字母表示任意一个序数。
2. n与m表示任意一个自然数。
3. #或者${\mathrm{\#}}_n$（n为自然数）是一个合法的AN二叉树。
4. #+1或者${\mathrm{\#}}_n+1$（n为自然数）是一个最左侧data为一个不为零的自然数的节点的AN二叉树，其中#（或者${\mathrm{\#}}_n$）是让最左侧节点的自然数为原本的AN二叉树的自然数的前继的AN二叉树。
5. [*]或者$[{*}_n]$（n为自然数）表示这个标记是可选的，如果选了就必须在后文带上这个标记（你如提升节点的标记）。
6. ${\mathrm{\#}}^E{\psi }_{\mathrm{\#}+1}^{[*1]}$是一个AN二叉树，是${\psi }_{\mathrm{\#}+1}^{[{*}_1]}$沿着父节点向上找到的第一个形如${\psi }_{{\mathrm{\#}}^{\prime }}^{[{*}_2]}$且 ${\mathrm{\#}}^{\prime }<\mathrm{\#}+1$（按照右根左字典序比较）的AN二叉树（不包括${\psi }_{\mathrm{\#}+1}$与${\psi }_{{\mathrm{\#}}^{\prime }}$），随后将${\mathrm{\#}}^E$的根接到二叉树 ${\psi }_{\mathrm{\#}}^{[{*}_2]}(...)$的省略号处，最终得到的${\mathrm{\#}}^E$才是真正的${\mathrm{\#}}^E$。该规则类似于极限为EBO的BOCF寻找${\psi }_{\mathrm{\#}}$的过程。
7. ${\mathrm{\#}}^L$是一个最右侧结尾是一个${\psi }_0$或者${\psi }_0^{*}$的二叉树。
8. $\lambda \alpha .(\beta )$表示应用映射二叉树$\alpha$到$\beta$一直到第一个不动点的过程。
9. ${\alpha }^{th}\lambda \beta .(\gamma )$表示应用映射二叉树$\alpha$到$\beta$一直到第$\alpha$个不动点的过程。

展开规则

每个规则都按照右根左（反过来的中序）的顺序遍历与匹配，规则按照从上到下匹配。

${\mathrm{\Pi }}_0$提升规则（一般的Hydra模式规则）

${\psi }_0=\omega$

${\mathrm{\#}}^E{\psi }_{\mathrm{\#}+1}={\mathrm{\#}}^E\lambda \alpha .({\mathrm{\#}}^E\alpha )$

${\psi }_{{\mathrm{\#}}^L}[n]={\psi }_{{\mathrm{\#}}^L[n]}$

${\psi }_{{\mathrm{\#}}_1}({\mathrm{\#}}_2)=({\psi }_{{\mathrm{\#}}_1}{)}^{{\mathrm{\#}}_2}$

${\mathrm{\Pi }}_1$提升规则

${\psi }_0^{*}=\omega$

${\mathrm{\#}}^E{\psi }_{\mathrm{\#}+1}^{*}={\mathrm{\#}}^E\lambda \alpha .({\mathrm{\#}}^E\alpha )$

${\psi }_{{\mathrm{\#}}^L}^{*}[n]={\psi }_{{\mathrm{\#}}^L[n]}^{*}$

${\psi }_0^{*}(\mathrm{\#})=\mathrm{\#}$

${\mathrm{\#}}^E{\psi }_{{\mathrm{\#}}_1+1}^{*}({\mathrm{\#}}_2)={\mathrm{\#}}^E(1+{\psi }^A({\psi }_0({\mathrm{\#}}_2)){)}^{th}\lambda \alpha .({\mathrm{\#}}^E\alpha )$

${\psi }_{{\mathrm{\#}}^L}^{*}(\mathrm{\#})={\psi }_{{\mathrm{\#}}^L(\mathrm{\#})}^{*}$

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可以注意到每一个AN二叉树都需要以${\psi }_0(...)$或者${\psi }_0^{*}(...)$开始，不然没法展开。

展开实例

${\psi }^A({\psi }_0)=\omega$

${\psi }^A({\psi }_0({\psi }_1))={\psi }^A({\psi }_0({\psi }_0({\psi }_0(...))))={\epsilon }_0$

${\psi }^A({\psi }_0({\psi }_2))={\psi }^A({\psi }_0({\psi }_1({\psi }_1(...))))=\psi ({\mathrm{\Omega }}_2)$

${\psi }^A({\psi }_0({\psi }_{{\psi }_0^{*}}({\psi }_0+1)))={\psi }^A({\psi }_0({\psi }_{{\psi }_0^{*}({\psi }_0+1)}))={\psi }^A({\psi }_0({\psi }_{{\psi }_0+1}))=\psi ({\mathrm{\Omega }}_{\omega +1})$

${\psi }^A({\psi }_0({\psi }_{{\psi }_0^{*}}({\psi }_1)))={\psi }^A({\psi }_0({\psi }_{{\psi }_0({\psi }_{{\psi }_0(...)})}))=\psi ({\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{\Omega }})$

${\psi }^A({\psi }_0({\psi }_{{\psi }_0^{*}+1}))={\psi }^A({\psi }_0({\psi }_{{\psi }_{...}}))=\psi (I)$

${\psi }^A({\psi }_0({\psi }_{{\psi }_0^{*}(2)}({\psi }_0+114514)))={\psi }^A({\psi }_0({\psi }_{{\psi }_0^{*}\times ({\psi }_0+114514)}))$

${\psi }^A({\psi }_0({\psi }_{{\psi }_0^{*}({\psi }_1)}))={\psi }^A({\psi }_0({\psi }_{{\psi }_0^{*}({\psi }_0^{*}({\psi }_0^{*}(...)))}))$

${\psi }^A({\psi }_0({\psi }_{{\psi }_0^{*}({\psi }_1^{*})\times {\psi }_0}))$

极限式

$lim(AN1.1.1)={\psi }^A({\psi }_0({\psi }_{{\psi }_{...}^{*}}^{*}))$

枚举

TODO：分析AN1.1.1