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'''马洛基数'''（又称'''马赫罗基数'''），是集合论中的一类[[大基数公理|大基数]]，由 Friedrich Paul Mahlo 于1911-1913年间提出。

== 定义 ==
我们称一个[[序数]] <math>\alpha </math> 是一个序数集 <math>B</math> 上的'''极限点'''，当且仅当 <math>\sup (\alpha \cap B)=\alpha </math>.

我们称一个[[基数#共尾度|正则]][[基数#有限基数和无穷基数（超限基数）|不可数基数]] <math>\kappa </math> 的子集 <math>C</math> 是'''无界闭的'''，当且仅当 <math>\sup (C)=\kappa </math> 且任何一个 <math>C</math> 上小于 <math>\kappa </math> 的极限点都是 <math>C</math> 的元素。

我们称一个正则不可数基数 <math>\kappa </math> 的子集 <math>S</math> 是<span id="驻集">'''驻集'''</span>，当且仅当 <math>S</math> 与 <math>\kappa </math> 上任意无界闭子集所交非空。

一个基数 <math>\kappa </math> 是'''马洛/强马洛的'''，当且仅当它是一个[[不可达基数#定义|强不可达基数]]且 <math>\kappa </math> 下方的全体正则基数构成 <math>\kappa </math> 的驻集。

一个基数 <math>\kappa </math> 是'''弱马洛的'''，当且仅当它是一个弱不可达基数且 <math>\kappa </math> 下方弱不可达基数构成它的驻集。

== 定理 ==

弱马洛有一个等价定义： <math>\kappa </math> 是一个弱不可达基数且其下弱不可达基数构成它的驻集

证明：


等效的，强马洛也有这样的等价定义

证明：强马洛⇔强不可达+下方强不可达构成驻集

1.强马洛k推强不可达+下方强不可达构成驻集

考虑强马洛基数k，首先其是强不可达。假设存在一个无界闭子集C⊂k使得C不包含任意一个强不可达基数，则考虑全体k下任意除N0外强极限基数组成的子集与它的交集，这也是一个无界闭子集(因为C中任意正则基数都不是强极限基数)，然而它与k下方正则基数无交，矛盾

2.强不可达+下方强不可达构成驻集→强马洛

证：显然，由于强不可达基数都是正则基数，所以任何一个无界闭子集中都一定包含一个正则基数(也就是被包含的强不可达基数)，因此得证。

[[分类:集合论相关]]