查看“︁良序”︁的源代码

== 偏序集 ==

如果一个非空集合 <math>A</math> 上定义的一个二元关系 <math>\leq</math> 满足

# 自反性：<math>\forall a \in A,a \leq a</math>
# 反对称性：<math>\forall a,b \in A,(a \leq b \land b \leq a)\Rightarrow a = b</math>
# 传递性：<math>\forall a,b,c \in A,(a \leq b \land b \leq c)\Rightarrow a \leq c</math>

我们就称这个二元关系为集合上的一个'''偏序'''，集合称为'''偏序集'''，记作 <math>(A,\leq)</math>．

== 良序集 ==

在偏序关系的基础上，我们进一步引入全序关系的概念：

设有一偏序集 <math>(A,\leq)</math>，如果对集合的任意有限非空子集都有关于偏序的最小元素，即我们就称偏序是'''全序'''，<math>(A,\leq)</math> 是一个'''全序集'''．上述定义等价于 <math>\forall a,b\in A</math>，总有 <math>a \leq b</math> 或 <math>b \leq a</math> 至少一者成立（集合的任意两个元素之间可以比较大小）．

如果将全序集中关于“集合的任意有限非空子集”改为“集合的任意非空子集”，结论依然成立的集合称为一个'''良序集'''，此时 <math>\le</math> 为集合上的一个'''良序'''．

== 概念 ==
在描述具有无限个元素的集合的元素“多少”的时候，我们定义了势，即如果两个集合间能建立双射，则它们具有相同的势．那么，为了更精确描述良序集的“大小”，我们定义'''保序映射'''：

如果集合 <math>(A,\mathcal L)</math> 和 <math>(B,\mathcal R)</math> 是良序集，<math>f : A \to B</math>，若对任意的 <math>x,y\in A</math>，有 <math>x\mathcal{L}y\implies f(x)\mathcal{R}f(y)</math>，则称 <math>f</math> 是保序映射．

良序集中小于某元素的元素构成的集合依然是良序集，我们定义这一集合为该良序集关于该元素的'''前段'''，即如果 <math>(W,\leq)</math> 是良序集且 <math>u\in W</math>，则集合 <math>\{x\in W|x<u\}</math> 是 <math>W</math> 关于 <math>u</math> 的前段．

于是我们可以定义'''序型'''：

如果集合 <math>(A,\mathcal L)</math> 和 <math>(B,\mathcal R)</math> 是良序集，且存在双射 <math>f:A\to B</math> 使得 <math>f</math> 和 <math>f^{-1}</math> 均为保序映射，则称 <math>(A,\mathcal L)</math>和<math>(B,\mathcal R)</math> '''序同构'''，即具有相同的序型．

如果集合 <math>(A,\mathcal L)</math> 与集合 <math>(B,\mathcal R)</math> 的某一前段同构，则称 <math>(A,\mathcal L)</math> 的序型小于 <math>(B,\mathcal R)</math>．

根据[[命数定理]]，任意良序集 <math>(A,\le)</math> 与唯一[[序数]] <math>\alpha</math> 同构，我们也把这个序数 <math>\alpha</math> 叫做良序集 <math>(A,\le)</math> 的序型．

[[分类:集合论相关]]
[[分类:重要概念]]