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自然数是指 <math>0,1,2,3,\cdots</math> 等数。1889 年，皮亚诺（Peano，1858-1932）提出皮亚诺公理，首次给出了自然数的严格定义。

== 皮亚诺理论 ==

一阶语言的皮亚诺理论包含一个常元 <math>0</math>、一个一元函词 <math>S</math>、一个二元谓词 <math>=</math>、两条公理和一条公理模式。两条公理如下：

* <math>\forall n\lnot S(n)=0</math>
* <math>\forall n\forall m(S(n)=S(m)\to n=m)</math>

设 <math>\varphi(n)</math> 是含一个自由变元的公式，则下式是皮亚诺理论的公理：

* <math>\varphi(0)\land(\forall n(\varphi(n)\to\varphi(S(n))))\to\forall n\varphi(n)</math>

这条公理模式称为'''归纳公理模式'''。

== 冯诺依曼的自然数模型 ==

冯诺依曼在集合论中构造了皮亚诺理论的模型，其论域为 <math>\omega</math>，赋值函数 <math>\nu</math> 定义如下：

* <math>\nu(0)=\varnothing</math>
* <math>\nu(S(n))=\nu(n)\cup\{\nu(n)\}</math>
* <math>n=m\longleftrightarrow \nu(n)=\nu(m)</math>

下面验证皮亚诺理论的公理：

* 对任意 <math>n</math>，因为 <math>\nu(S(n))=\nu(n)\cup\{\nu(n)\}</math>，所以 <math>\nu(n)\in\nu(S(n))</math>，进而 <math>\nu(S(n))\neq\varnothing</math>，从而 <math>S(n)\neq 0</math>。

* 对任意 <math>n,m</math>，若 <math>S(n)=S(m)</math> 则 <math>\nu(S(n))=\nu(S(n))</math>。<br>根据定义，<math>\forall x(x\in\nu(S(n))\longleftrightarrow x=\nu(n)\lor x\in\nu(n))</math>，<math>\forall x(x\in\nu(S(m))\longleftrightarrow x=\nu(m)\lor x\in\nu(m))</math>。<br>反证，设 <math>n\neq m</math> 即 <math>\nu(n)\neq\nu(m)</math>。<br>因为 <math>\nu(n)\in\nu(S(n))</math> 所以 <math>\nu(n)\in\nu(S(m))</math>，而 <math>\nu(n)\neq\nu(m)</math> 所以只能 <math>\nu(n)\in\nu(m)</math>。<br>同理 <math>\nu(m)\in\nu(n)</math>。这与正则公理矛盾，反证假设不成立，<math>n=m</math>。
* 归纳公理模式：可以从 <math>\omega</math> 的定义中直接看出。

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