自然数

自然数是指 $0,1,2,3,\cdots$ 等数。1889 年，皮亚诺（Peano，1858-1932）提出皮亚诺公理，首次给出了自然数的严格定义。

皮亚诺理论

一阶语言的皮亚诺理论包含一个常元 $0$、一个一元函词 $S$、一个二元谓词 $=$、两条公理和一条公理模式。两条公理如下：

• $\mathrm{\forall }n\mathrm{\neg }S(n)=0$
• $\mathrm{\forall }n\mathrm{\forall }m(S(n)=S(m)\to n=m)$

设 $\phi (n)$ 是含一个自由变元的公式，则下式是皮亚诺理论的公理：

• $\phi (0)\wedge (\mathrm{\forall }n(\phi (n)\to \phi (S(n))))\to \mathrm{\forall }n\phi (n)$

这条公理模式称为归纳公理模式。

冯诺依曼的自然数模型

冯诺依曼在集合论中构造了皮亚诺理论的模型，其论域为 $\omega$，赋值函数 $\nu$ 定义如下：

• $\nu (0)=\varnothing$
• $\nu (S(n))=\nu (n)\cup \{\nu (n)\}$
• $n=m⟷\nu (n)=\nu (m)$

下面验证皮亚诺理论的公理：

• 对任意 $n$，因为 $\nu (S(n))=\nu (n)\cup \{\nu (n)\}$，所以 $\nu (n)\in \nu (S(n))$，进而 $\nu (S(n))\ne \varnothing$，从而 $S(n)\ne 0$。

• 对任意 $n,m$，若 $S(n)=S(m)$ 则 $\nu (S(n))=\nu (S(n))$。
  根据定义，$\mathrm{\forall }x(x\in \nu (S(n))⟷x=\nu (n)\vee x\in \nu (n))$，$\mathrm{\forall }x(x\in \nu (S(m))⟷x=\nu (m)\vee x\in \nu (m))$。
  反证，设 $n\ne m$ 即 $\nu (n)\ne \nu (m)$。
  因为 $\nu (n)\in \nu (S(n))$ 所以 $\nu (n)\in \nu (S(m))$，而 $\nu (n)\ne \nu (m)$ 所以只能 $\nu (n)\in \nu (m)$。
  同理 $\nu (m)\in \nu (n)$。这与正则公理矛盾，反证假设不成立，$n=m$。
• 归纳公理模式：可以从 $\omega$ 的定义中直接看出。