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Peano 公理是定义自然数集合及其基本性质的一组公理。

=== 定义 ===
用数学语言（一阶逻辑与集合论）可形式化表述如下：

设 <math>N</math> 为一个集合，<math>0\in N</math> 为其一个特定元素，<math>s:N\rightarrow N</math>为一个函数（称为“后继函数”），满足以下五条公理：

# <math>0\in N</math>（0 是自然数）
# <math>\forall n\in N, s(n)\in N</math>（后继函数的封闭性）
# <math>\forall n\in N,s(n)\neq0</math>（0 不是任何自然数的后继）
# <math>\forall n,m\in N,s(n)=s(m)\Rightarrow n=m</math>（后继函数的单射性）
# <math>\forall P\subseteq N,(0\in P\land\forall n\in P(s(n)\in P))\Rightarrow P=N</math>（数学归纳公理）

=== 历史 ===

* 1888 年，理查德·戴德金（Richard Dedekind）在论文《什么是数，什么应该是数？》（Was sind und was sollen die Zahlen?）中，通过“链”的概念（由基元素通过后继关系生成）结合归纳法，首次系统阐述自然数的连续性，为皮亚诺的工作奠定基础。<ref>Dedekind, R. (1888). Was sind und was sollen die Zahlen? ''Braunschweig: Vieweg''.</ref>
* 1889 年，朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）在著作《算术原理：新方法阐述》（Arithmetices principia, nova methodo exposita）中，首次系统提出自然数的公理化定义，后继函数（successor function）成为其核心概念之一。<ref>Peano, G. (1889). Arithmetices principia, nova methodo exposita. ''Torino: Bocca''.</ref><ref>Kleene, S. C. (1952). Introduction to Metamathematics. ''Van Nostrand''.</ref>
* 后续发展中，伯特兰·罗素与阿尔弗雷德·怀特海在《数学原理》（Principia Mathematica，1910-1913）中将其纳入类型论框架，试图将算术还原为逻辑。<ref>Russell, B., & Whitehead, A. N. (1910–1913). Principia mathematica (Vols. 1–3). ''Cambridge: Cambridge University Press''.</ref>

逻辑框架方面，皮亚诺原初的二阶逻辑归纳公理（量化所有性质）被弱化为一阶逻辑的公理模式（仅覆盖可定义性质），形成标准的一阶皮亚诺算术（PA），成为现代数学基础的核心系统。

=== PA 公理体系 ===
PA 的公理分为两类：基础公理（定义自然数的基本结构）和算术公理（定义加法、乘法的运算规则）。

用一阶逻辑改写 Peano 公理：

# <math>\exists!x(x=0)</math>
# <math>\forall n\in N,\exists!m\in N(m=s(n))</math>
# <math>\forall n(s(n)\neq0)</math>
# <math>\forall n,m(s(n)=s(m)\Rightarrow n=m)</math>
# <math>\forall\varphi(\varphi(0)\land\forall n(\varphi(n)\Rightarrow\varphi(s(n)))\Rightarrow\forall n\varphi(n))</math>

算术公理（加法和乘法）：

'''加法'''

# <math>\forall n(n+0=n)</math>
# <math>\forall n,m(n+s(m)=s(n+m))</math>

'''乘法'''

# <math>\forall n(n\times0=0)</math>
# <math>\forall n,m(n\times s(m)=(n\times m)+n)</math>

==== 和皮亚诺公理的区别 ====

# 逻辑层次不同：
#* Peano 公理：原始版本是二阶逻辑的，其数学归纳公理量化所有子集（如 <math>\forall P\subseteq N</math>）。
#* PA 公理体系：是一阶逻辑的，数学归纳公理被改写为无穷多条一阶公理的模式（即对每个一阶公式 <math>\varphi</math> 单独成立）。
# 内容扩展性不同：
#* Peano 公理：仅定义自然数集合的存在性、后继关系和归纳原则，未涉及具体运算。
#* PA 公理体系：在自然数结构基础上，显式定义加法和乘法，并给出其递归规则和基本性质，支持算术运算的严格推导。
# 证明能力不同：
#* Peano 公理：作为二阶理论，可唯一（同构意义下）刻画自然数集合，但无法在一阶逻辑中完全形式化。
#* PA 公理体系：作为一阶理论，可被形式化为计算机可验证的证明系统（如使用 Gödel 数编码），但受限于一阶逻辑的不完备性（如PA无法证明自身的相容性）。

=== 参考文献 ===
<references />

[[分类:集合论相关]]