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[[Googology|googology]]中有“沙拉”这样的现象，即把若干种大数记号“组合”到一起，变成一个看上去很复杂的东西，但实际上强度没有什么变化；一般情况下，与其“原料”中的最强者相比没多少提升。在大部分语境之下，由于其对强度本身的贡献不大，一般被称作无效的扩展。

本条目介绍几种混合不同记号的方法。

=== 简单的混合 ===

==== 函数的复合 ====
设大数函数f、g分别具有相当于[[HH|Hardy层数]]（Hardy hierarchy，简记为HH）中<math>\alpha</math>、<math>\beta</math>的增长率，那么函数<math>\lambda x.g(f(x))</math>的HH增长率则是<math>\alpha+\beta</math>。

==== Goodstein强化 ====
设有正整数上的大数函数f，且是严格增函数。 定义其Goodstein强化G(f)如下。设有序列<math>\{a_n|1\le n\le N\}</math>，其中每个<math>a_n</math>写成以f(n)为底的遗传记法，然后将每次出现的f(n)都改成f(n+1)，所得的数再减去1，就得到<math>a_{n+1}</math>。且<math>a_N=0</math>。那么<math>G(f)(a_1)=N</math>就作为G(f)的一个函数值（<math>a_1</math>是此函数的自变量，N是因变量）。

=== 大数记号的混合 ===
本节的定义基于大数记号。一个大数记号A应该具有以下特性：

# A的表达式x可以用x[n]归约（也就是通常说的“展开”）成更“小”的表达式。
# “0”表达式不能继续归约。
# 如果x是“后继”型的表达式，那么无论n是多少，x[n]都会得到x的前继。

==== 序数加型混合 ====
设有大数记号<math>A_1</math>、<math>A_2</math>。

定义混合记号<math>A_1\oplus A_2</math>如下。其表达式形如<math>\langle x,y\rangle</math>，其中<math>x\in\{1,2\}</math>，y是<math>A_x</math>中的表达式。其展开方法为： <math>\langle x,y\rangle[n]=\left\{\begin{array}{ll}0&,x=1\land y=0\\ \langle1,\text{Limit}_1[n]\rangle&,x=2\land y=0\\ \langle x,y[n]\rangle&,\text{otherwise}\end{array}\right.</math> 

其中<math>\text{Limit}_1</math>表示<math>A_1</math>的表达极限。

如果<math>A_i</math>的序数强度极限为<math>\alpha_i</math>，那么<math>A_1\oplus A_2</math>的序数强度极限为<math>\alpha_1+\alpha_2</math>。

注意，序数加型混合是将两个大数记号合成一个大数记号，然后它还可以继续跟自己或其它记号混合。下面的序数乘型混合、序数乘方型混合也类似。

==== 序数乘型混合 ====
设有大数记号<math>A_1</math>、<math>A_2</math>。

定义混合记号<math>A_1\otimes A_2</math>如下。其表达式形如<math>\langle x_2,x_1\rangle</math>，其中，<math>x_i</math>是<math>A_i</math>中的表达式。其展开方法为：

<math>\langle x,y\rangle[n]=\left\{\begin{array}{ll}0&,x=0\land y=0\\ \langle x[n],\text{Limit}_1[n]\rangle&,x\neq0\land y=0\\ \langle x,y[n]\rangle&,\text{otherwise}\end{array}\right.</math> 

其中<math>\text{Limit}_1</math>表示<math>A_1</math>的表达极限。

如果<math>A_i</math>的序数强度极限为<math>\alpha_i</math>，那么<math>A_1\otimes A_2</math>的序数强度极限为<math>\alpha_1\cdot\alpha_2</math>。

==== 序数乘方型混合 ====
设有大数记号<math>A_1</math>、<math>A_2</math>。<math>A_2</math>中的表达式需能比较大小。

定义混合记号<math>A_1\uparrow A_2</math>如下。其表达式形如\(\langle x_1@y_1,x_2@y_2,\cdots,x_m@y_m\rangle\)，长度m为非负整数，各x_i都是A_1中的表达式，各<math>y_i</math>都是<math>A_2</math>中的表达式，且<math>\forall i<j(y_i>y_j)</math>。其展开方法为：

# \(\langle x_1@y_1,\cdots,x_{i-1}@y_{i-1},0@y_i,x_{i+1}@y_{i+1},\cdots,x_m@y_m\rangle=\langle x_1@y_1,\cdots,x_{i-1}@y_{i-1},x_{i+1}@y_{i+1},\cdots,x_m@y_m\rangle\)
# <math>\langle\rangle=0</math>
# \(\langle S,x@y\rangle[n]=\langle S,x[n]@y,\text{Limit}_1[n]@y[n]\rangle\)

其中S代表任意长的“\(x_i@y_i\)”串，<math>\text{Limit}_1</math>表示<math>A_1</math>的表达极限。

如果<math>A_i</math>的序数强度极限为<math>\alpha_i</math>，那么<math>A_1\uparrow A_2</math>的序数强度极限为<math>\alpha_1^{\alpha_2}</math>。

=== [[Beklemishev's Worm|worm]]的混合 ===
本节的定义基于worm型记号。一个worm型记号A应该具有以下特性：

1.A的表达式是形如<math>(a_1,a_2,\cdots,a_x)</math>的序列，其中各<math>a_i</math>是正整数，称作项。

2.A的表达式之间可以比较大小。（一般是字典序）

3.归约（从<math>(a_1,a_2,\cdots,a_x)[n]</math>得到更小的表达式）的步骤包括：

①从<math>a_x</math>出发，向左找“小”项，其间可能计算<math>a_i\pm a_j</math>。

②找到某个<math>a_r</math>后，展开，其间可能计算<math>a_i\pm a_j</math>。

③由于<math>(a_1,a_2,\cdots,a_{x-1},a_x+1)</math>总是展开成<math>(a_1,a_2,\cdots,a_{x-1},a_x,\cdots)</math>，我们可以把“展开”过程看作“先将最右项减去1，然后在其右边新增一些项”。

4.表达式()不能继续归约，意味着0。

5.最右项为1的表达式，意味着后继序数，其前继是删去最右项所得的表达式。

==== worm加型混合 ====
设有worm型记号<math>A_1,A_2,\cdots,A_m</math>。

定义混合记号<math>\sum_{1\le i\le m}A_i</math>如下。其表达式形如<math>(\langle a_1,b_1\rangle,\langle a_2,b_2\rangle,\cdots,\langle a_x,b_x\rangle)</math>，其中<math>\langle a_i,b_i\rangle</math>是项，各<math>a_i,b_i</math>都是正整数，且<math>a_i\le m</math>。其展开方法为：

如果<math>a_x>1,b_x=1</math>，则<math>(\langle a_1,b_1\rangle,\cdots,\langle a_{x-1},b_{x-1}\rangle,\langle a_x,1\rangle)[n]=(\langle a_1,b_1\rangle,\cdots,\langle a_{x-1},b_{x-1}\rangle,\langle a_x-1,n\rangle)</math>。

如果<math>a_x=b_x=1</math>或<math>b_x>1</math>，表达式按照<math>A_{a_x}</math>的规则展开，其中

# <math>\langle a_x,b_i\rangle</math>视作b_i
# <math>\langle <a_x,b_i\rangle</math>视作1
# <math>\langle >a_x,b_i\rangle</math>比较大小时视作∞，计算“此项±某数”时此项不变
# 如果展开的时候新增了项，原本要新增（<math>A_{a_x}</math>中的项）c，且不由步骤3得来，那此时将新增<math>\langle a_x,c\rangle</math>。

例如，[[-1-Y|(-1)-Y]]序列的极限是<math>\varepsilon_0</math>；如果将2个(-1)-Y序列以worm加型混合，所得记号的极限是<math>\varepsilon_{\varepsilon_0}</math>；如果将3个(-1)-Y序列以worm加型混合，所得记号的极限是<math>\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_0}}</math>；依此类推。

注意，worm加型混合所得的记号不再是worm型记号，因此无法进一步与自己或其它worm型记号混合。

==== worm乘型混合 ====
设有worm型记号<math>A_1,A_2,\cdots,A_m</math>。

定义混合记号<math>\prod_{1\le i\le m}A_i</math>如下。其表达式形如<math>(\langle a_{1,m},\cdots,a_{1,2},a_{1,1}\rangle,\langle a_{2,m},\cdots,a_{2,2},a_{2,1}\rangle,\cdots,\langle a_{x,m},\cdots,a_{x,2},a_{x,1}\rangle)</math>，其中<math>\langle a_{i,m},\cdots,a_{i,2},a_{i,1}\rangle</math>是项，各<math>a_{i,j}</math>都是正整数。其展开方法为：

如果<math>a_{x,1}=a_{x,2}=\cdots=a_{x,m}=1</math>，则表达式相当于后继情形。

否则，令<math>M=\min\{i|a_{x,i}>1\}</math>，即表达式的最右一项为<math>\langle a_{x,m},\cdots,a_{x,M+1},a_{x,M},1,\cdots,1\rangle</math>。

表达式按照<math>A_M</math>的规则展开，其中

# 项的大小比较为字典序
# <math>\langle a_{x,m},\cdots,a_{x,M+1},b,a_{i,M-1},\cdots,a_{i,1}\rangle</math>，计算“此项±某数”时视作b；如果展开时新增的项由此项经历修饰得来，原本要新增（<math>A_M</math>中的项）c，那此时应新增<math>\langle a_{x,m},\cdots,a_{x,M+1},c,a_{i,M-1},\cdots,a_{i,1}\rangle</math>
# 小于<math>\langle a_{x,m},\cdots,a_{x,M+1},1,1,\cdots,1\rangle</math>的项，计算“此项±某数”时视作1；如果展开时新增的项由此项经历修饰得来，原本要新增（<math>A_M</math>中的项）c，那此时应新增<math>\langle a_{x,m},\cdots,a_{x,M+1},c,1,\cdots,1\rangle</math>
# 大于等于<math>\langle a_{x,m},\cdots,a_{x,M+2},a_{x,M+1}+1,1,1,\cdots,1\rangle</math>的项，计算“此项±某数”时此项不变
# 展开前的“先将最右项减去1”，改为将最右项变为<math>\langle a_{x,m},\cdots,a_{x,M+1},a_{x,M}-1,n,\cdots,n\rangle</math>，其中n为基本列项数。

直观上，worm加型混合的结果，其每个项的可能性（可以选取哪些数值）都相当于各“原料记号”中该项的可能性之和；而worm乘型混合的结果，其每个项的可能性都相当于各“原料记号”中该项的可能性之积。

最后，为什么没有worm乘方型混合？因为乘方型混合要涉及到同时展开多个不同的表达式，而它们每展开一轮所增加的项数不一定相等，就无法结合。
[[分类:重要概念]]