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一个给定语言 λ 的'''模型'''是一个对 <math>(A,I)</math>，其中 A 为全域/宇宙，I 为 A 上的解释函数，负责把 λ 中的符号映射到 A 中合适的关系，函数，常元。通常我们将模型写为以下形式：

<math>\alpha=(A,P^\alpha,\cdots,F^\alpha,\cdots,c^\alpha)</math>

在中文语境中，语言的模型也被称为'''数学结构'''。

我们定义，一个数学结构 A 满足某个公式 <math>\varphi(a,b,\cdots)</math>，当且仅当 <math>\varphi(a^A,b^B,\cdots)</math> 在 A 中成立。

一个语句集 Σ 的模型，是一个数学结构 A，使得其满足这个语句集中的任意一条语句。

=== 模型的同构 ===
我们称两个模型 <math>A=(\alpha,P^A,\cdots,F^A,\cdots,c^A),B=(\beta,P^B,\cdots,F^B,\cdots,c^B)</math> 是'''同构的'''，当且仅当存在一个 A 到 B 的双射 f 使得以下四点成立：

* <math>P^A(x_1,x_2,x_3,\cdots)</math> 当且仅当 <math>P^B(f(x_1),f(x_2),f(x_3),\cdots)</math>（P 为某个 n 元关系且 <math>P^A</math> 映射到的对象是 <math>P^B</math>）

* <math>f(F^A(x_1,x_2,x_3,\cdots))=F^B(f(x_1),f(x_2),f(x_3),\cdots)</math>

* <math>f(c^A)=c^B</math>

* <math>A\models\varphi(a_1,a_2,\cdots)</math> 当且仅当 <math>B\models\varphi(f(a_1),f(a_2),\cdots)</math>

=== 子模型 ===
我们称一个模型 <math>A=(\alpha,P^A,\cdots,F^A,\cdots,c^A)</math> 是模型 <math>B=(\beta,P^B,\cdots,F^B,\cdots,c^B)</math> 的'''子模型'''，当且仅当：

<math>\alpha\subset\beta,\quad P^A\subset{P^B},\quad F^A\subset{F^B},\quad c^B\in{A}</math> 且 A 在任意 A 上函数下封闭。

一个从 B 到 A 的嵌入是一个 B 和 A 的子模型 <math>B_1</math> 之间的同构关系。

一个 A 的子模型 B 是 A 的'''初等子模型'''，当且仅当对于任何 B 中的元素 <math>(b_1,b_2,b_3,\cdots)</math>，有 <math>B\models\varphi(b_1,b_2,b_3,\cdots)</math> 当且仅当 <math>A\models\varphi(b_1,b_2,b_3,\cdots)</math>。

两个模型是'''基本等价'''的，当且仅当它们满足同样的语句（无自由变量的命题）。

一个嵌入被称为'''[[初等嵌入]]'''，当且仅当当且仅当它是一个嵌入且它的定义域是值域的初等子模型。

=== 可定义性 ===
我们称一个集合 X 是在模型 A 上'''可定义的'''，当且仅当存在公式 <math>\varphi</math> 和变元 <math>a_{1},a_{2},...\in A</math>，使得

<math>X=\{x\in A\ |\ A\models \varphi(x,a_{1},a_{2},...)\}</math>

如果这个公式 <math>\varphi</math> 只包含 <math>x</math> 一个参数，则称 X 是在 A 中可定义的。

一个元素 <math>a\in A</math> 是可定义的，当且仅当 <math>\{a\}</math> 是在 A 上可定义的。
[[分类:集合论相关]]